Structures Algébriques
Ces notes ne constituent pas un cours - elles ne sont ni exhaustives, ni rigoureuses, et ne contiennent que trop peu d’exemples et à peu près aucune preuve. Il ne s’agit que d’une fiche de brefs rappels.
Lois de composition
Nous avons simplement défini un ensemble comme une collection d’objets, sans condition particulière.
Mais bien souvent, ces objets s’arrangent bien ensemble, dans le sens où on peut les ajouter/multiplier entre eux (par exemple), et cela suivant certaines ’règles’ naturelles : on parle de lois de composition.
Suivant les règles que vérifient ces lois de composition, on dit que les ensembles correspondants portent certainesstructures algébriques (groupe, anneau, espace vectoriel)...
Loi de composition interne SoitE un ensemble.
• Uneloi de composition interne, ou loi interne, sur E est une application de E×E dansE.
Soit∗:E×E →E une loi interne surE.
• La loi∗est associative si :
∀x, y, z∈E;x∗(y∗z) = (x∗y)∗z.
Autrement dit, l’ordre dans lequel on combine les objets ne change pas le résultat, que l’on peut noterx∗y∗z sans ambiguïté.
• La loi∗est commutative si :
∀x, y∈E;x∗y=y∗x.
Autrement dit, on peut permuter les objets sans changer le résultat.
• Si?est une autre loi interne surE, on dit que∗ est distributive à gauche/droite sur ?si : à gauche :∀x, y, z∈E;x∗(y ? z) = (x∗y)?(x∗z)∈E.
à droite : ∀x, y, z∈E;(y ? z)∗x= (y∗x)?(z∗x)∈E.
Si∗ est distributive à gauche et à droite sur?, on dit simplement qu’elle estdistributive sur?.
• Une partieA de E est stable par∗ si :
∀a, b∈A;a∗b∈A.
Autrement dit,∗induit une loi de composition interne sur A.
Remarque.Si ∗ est une loi associative/commutative/distributive, sur E, et qu’une partieA ⊂E est stable par ∗, alors la loi interne ∗ sur A est bien sûr encore associative/commutative/distributive (une propriété satisfaite pour tous les éléments deE, est en particulier vraie pour tous les éléments de A...).
Quelques exemples :
– l’addition et la multiplication sur N(ou Z, Q, R,C) sont deux lois internes, associatives et com- mutatives, et la multiplication est distributive sur l’addition,
– la multiplication sur Mn(R), la division sur R∗, et la composition sur C0(R,R), sont des lois in- ternes non commutatives.
• Unelement neutre pour ∗est un element1E∈E tel que :
∀x∈E;x∗1E = 1E∗x=x.
◦ SiE possède un élement neutre pour la loi ∗, alors cet élement est unique.
• Supposons queE possède un élement neutre 1E pour ∗. Un élement dex est inversible pour∗ si :
∃x0 ∈E;x∗x0=x0∗x=e.
On dit quex0 est un inverse dex pour la loi∗.
◦ Six∈E est inversible pour ∗, alors il possède un unique inverse.
Remarque.Pour la loi+, on notera l’élément neutre0E, et on parlera plutôt d’opposé que d’inverse.
Loi de composition externe
• Une loi de composition externe, ou loi externe, sur E est une application de F ×E dans E, pour un ensembleF a priori différent deE; les éléments de F sont appelés desopérateurs.
L’exemple typique est la multiplication d’un vecteur de E =R2 ou R3 par un réel (F =R) ; dans ce cas (et par extension dans le cas d’un espace vectoriel, cf plus bas) on parle plutôt de scalaires pour les opérateurs deR.
Soit·:F×E →E une loi externe surE.
• Une partieA de E est stable par·si :
∀f ∈F,∀a∈A;f·a∈A.
Autrement dit,·induit une loi de composition externe surA.
• Si∗est une loi interne sur E, on dit que·est distributive sur ∗ si :
∀f ∈F,∀x, y∈E;f ·(x∗y) = (f ·x)∗(f ·y)∈E.
Remarque. Une loi interne est en fait un cas particulier de loi externe où F = E. Dans ce cas on retrouve les notions de stabilité et distributivité vues plus haut.
Structures Algébriques
Rappelons les définitions des principales structures algébriques que nous allons rencontrer et étudier : groupes, anneaux, corps et espaces vectoriels.
Groupes
• Ungroupe (E,∗) est un ensembleE muni d’une loi de composition interne∗tel que :
·Associativité : la loi ∗est associative,
·Neutre : l’ensembleE contient un élément neutre1E pour la loi∗(en particulier, E est non vide !),
·Inverse : tout element deE a un inversedans E.
• Si la loi∗ est commutative, on dit que(E,∗) est un groupecommutatif, ou abélien.
• Si (E,∗) ne verifie que les deux premières conditions (associativité et neutre), on dit que c’est un monoïde. Et c’est un monoïde commutatif si la loi∗est aussi commutative.
Quelques exemples :
– (K,+)est un groupe abélien pour K=C,R,Q,Z,
(N,+)est un monoïde mais pas un groupe (aucun élément non nul n’a d’inverse), – (K∗,×) est un groupe abélien pour K=C,R,Q,
(K,×) est un monoïde mais pas un groupe (0n’a pas d’inverse),
(Z∗,×)est un monoïde mais pas un groupe (tout élément différent de ±1 n’a pas d’inverse),
– (Mn(K),+) est un groupe abélien pour K=C,R,Q,Z,
– L’ensemble des isométries du plan muni de la composition◦ est un groupe, qui n’est pas abélien, – (C0(R,R),◦) est un monoïde mais pas un groupe (seules les applications bijectives ont un inverse).
Soit(E,∗) un groupe.
•Un sous-ensembleF deE est un sous-groupe si c’est lui–même un groupe pour la loi induite par∗, autrement dit si :
◦ F est stable par∗,
◦ 1E ∈F (et doncF est non vide),
◦ l’inverse de tout element deF est dansF.
Note : pour le dernier point ci-dessus, tout élémentx de F admet un inverse dansE, puisquex∈E qui est un groupe... toute la question est de savoir si cet inverse est bien lui aussi dansF!
Quelques exemples :
– ({1E},∗) est un sous-groupe de (E,∗),
– (K,+)est un sous-groupe de (C,+) pourK=R,Q,Z,
– (R+,+) n’est pas un sous-groupe de (R,+) (car l’inverse d’un élément de R∗+ est dans R∗−), mais (R∗+,×) est un sous-groupe de (R∗,×),
– L’ensemble des rotations du plan de centre l’origine est un sous-groupe du groupe des isométries.
◦ Les sous-groupes de(Z,+)sont les nZ;n∈Z.
◦ L’intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe.
• Le sous-groupe engendré par un sous-ensemble F ⊂ E du groupe E, est le plus petit sous-groupe deE contenantF, notéhFi.
Si F est réduit à un élément f, on parlera simplement du sous-groupe engendré par f, noté hfi. En notation multiplicative, on a donc :hfi:={fn; n∈Z} ⊂E
◦ hFiest l’intersection de tous les sous-groupes de E contenantF.
◦ hFiest l’ensemble des produits finis d’éléments de F et leurs inverses.
Par exemple, dans(Z,+), le sous-groupe engendré par2est2Z, et le sous-groupe engendré par{9; 15}
est3Z(car 3 est le pgcd de9et15).
• Le groupe E est dit monogène s’il est engendré par un unique élément, autrement dit s’il existe a∈E tel queE =hai={an ; n∈Z}.
• Le groupeE estcyclique s’il est monogène et fini (i.e. a un nombre fini d’éléments).
◦ Pour toutn≥2,(Z/nZ,+)est un groupe cyclique.
La classe de kengendre ce groupe si et seulement si kest premier avec n.
◦ Tout groupe monogène est isomorphe àZ.
◦ Tout groupe cyclique de cardinalnest isomorphe à Z/nZ.
• L’ordre du groupe E est le nombre d’éléments deE : il peut donc être (d’ordre) fini ou infini.
• Un élément xdu groupe E estd’ordre fini s’il existen≥1 tel que an = 1E. Le plus petit entier n vérifiant cette égalité est alors appelé l’ordre de x.
◦ L’ordre d’un élémentx∈E est égal à l’ordre du sous-groupehai.
◦ Soitx∈E d’ordren. On aak= 1E si et seulement sindivise k.
◦ Soitx∈E d’ordren. Alorsndivise l’ordre du groupeE.
◦ Théorème de Lagrange : SoitG un group fini etH un sous-groupe deG. Alors l’ordre de H divise celui deG. (En particulier, l’ordre d’un élément d’un groupe fini divise l’ordre du groupe.)
Anneaux et corps
Ces deux structures correspondent à un groupe abélien (on peut ’ajouter’ les éléments entre eux) muni d’une seconde loiinterne (on peut aussi les ’multiplier’ entre eux) ; la nuance entre anneau et corps est que, dans le second, tout élément est aussi inversible pour cette seconde loi interne.
Anneaux
• Unanneau (E,∗, ?) est un ensembleE muni de deux lois de composition internes∗et? tel que :
· (E,∗) est un groupe abeĺien, dont on note le neutre 0E,
· La loi ?est associative et admet un élément neutre 1E différent de 0E,
· La loi ?est distributive (à gauche et à droite) sur la loi ∗.
• Si la loi? est aussi commutative,(E,∗, ?) est un anneaucommutatif.
Remarque. Ce que l’on appelle anneau est parfois appelé anneauunitaire (existence de1E).
Quelques exemples :
– (K,+,×) est un anneau commutatif pourK=C,R,Q,Z,
– (Mn(K),+,×) est un anneau non commutatif pour K=C,R,Q,Z,
– (C0(R,R),+,×)est un anneau commutatif, mais pas(C0(R,R),+,◦), car ◦n’est pas distributive à gauche sur+.
• Un élémenta non nul deE est un diviseur de zéro s’il existe un autre élément b non nul de E tel quea ? b= 0.
•SiEest un anneau commutatif qui ne possède pas de diviseurs de zéros, alors on dit queEestintègre.
• Un sous-ensemble F d’un anneau E est un sous-anneau s’il est lui-même un anneau pour les lois induites, autrement dit si :
◦ (F,∗)est un sous-groupe de (E,∗) (commutatif, donc),
◦ F est stable par?, et l’élément neutre1E est dansF. Quelques exemples :
– Z est un sous-anneau deQ, qui est un sous-anneau de R, qui est un sous-anneau deC. – (C1(R,R)est un sous-anneau de(C0(R,R),+,×).
Mais, plus que les sous-anneaux, c’est la notion d’idéal qui s’avère intéressante pour les sous-ensembles d’anneaux :
• Unidéal d’un anneau(E,∗, ?) est un sous-ensembleI de E tel que :
· (I,∗)est un sous-groupe de (E,∗),
· I est absorbant pour la loi?:∀x∈I,∀e∈E,x ? e ete ? x sont dansI.
◦ Les idéaux de(Z,+,×) sont lesnZ;n∈Z (preuve à connaitre).
Corps
• Uncorps est un anneau(E,∗, ?) dont tout élément deE\ {0E}a un inverse pour la loi ?.
Autrement dit :
· (E,∗) est un groupe abélien, dont on note le neutre 0E,
· (E\ {0E}, ?) est un groupe commutatif, dont on note le neutre1E,
· La loi ?est distributive (à gauche et à droite) sur la loi ∗.
Quelques exemples :
– L’anneau(K,+,×)est un corps pourK=C,R,Q, maisZn’est pas un corps (tout élément différent de ±1n’est pas inversible),
– L’ensemble R(X) des fractions rationnelles (quotients de polynômes) à coefficients dans R, muni de la somme et du produit, est un corps.
Remarque. Un corps est donc, dans cette définition, par défaut commutatif (pour la loi ?). Cette convention ne fait pas l’unanimité, du moins, dans l’école mathématique française, mais nous ne devrions pas trop avoir à nous en soucier. Contentons-nous ici de dire que l’exemple à connaitre de ’corps non commutatif’ est l’ensemble desquaternions.
•Une partieF d’un corpsEest unsous-corps deE si c’est un sous-anneau deE qui a une structure de corps. Par exemple,Rest un sous-corps de (C,+,×).
Espaces vectoriels
Il s’agit d’un groupe abélien (on peut ’ajouter’ les éléments entre eux) muni d’une seconde loiexterne (on peut ’multiplier par un scalaire’).
• Un espace vectoriel (E,+,·) sur un corps(K,∗, ?), ou K-espace vectoriel, est un ensemble E muni de d’une loi interne+et d’une loi externe·: K×E→E, tel que :
· (E,+)est un groupe abeĺien, dont on note le neutre 0E,
· La loi ·est distributive (à gauche) sur+:∀λ∈K,∀x, y∈E, λ·(x+y) =λ·x+λ·y,
· La loi ·est distributive (à droite) sur∗ :∀λ, µ∈K,∀x∈E,(λ∗µ)·x= (λ·x) + (µ·x),
· Les lois ?et·sont compatibles, dans le sens où :∀λ, µ∈K,∀x∈E,(λ ? µ)·x=λ·(µ·x),
· L’élément 1K (le neutre pour? dansK) agit trivialement :∀x∈E,1K·x=x.
• Les éléments deE sont appelés des vecteurs, et ceux deKdesscalaires. Quelques exemples :
– Le prototype de R-espace vectoriel est l’ensemble (R2,+,·) des vecteurs du plan Euclidien ; plus généralement(Kn,+,·)est un K-espace vectoriel,
– L’ensembleCdes complexes a une structure deR-espace vectoriel, mais aussi deC-espace vectoriel, – L’ensemble(F(K,K),+,·) des fonctions du corpsK dans lui-même, est unK-espace vectoriel, – L’ensembleRN des suites réelles, l’ensembleR[X]des polynômes à coefficients réels, et l’ensemble
Mm,n(R) des matrices réellesm×n, sont d’autres exemples classiques de R-espaces vectoriels.
•Une partie non vide F deE est unsous-espace vectoriel deE si F est stable par +et·, autrement dit si :
◦ 0E ∈F (et doncF est non vide),
◦ ∀x, y∈F,∀λ∈K,λ·x+y∈F.
Dans ce cas,F est lui-même un espace vectoriel : pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, on pourra donc montrer que c’est un sous-espace vectoriel de l’un des espaces de la liste ci–dessus.
Quelques exemples :
– R est un sous-espace vectoriel duR-espace vectorielC,
– {(x, y)∈R2; 2x−3y = 0}est un sous-espace vectoriel deR2, mais pas{(x, y)∈R2; 2x−3y= 1}, – {z∈C;arg(z)≡ π2 (2π)}est un sous-espace vectoriel de C, mais pas{z∈C;|z|= 1},
– R5[X] ={P ∈R[X] ;degP ≤5}est un sous-espace vectoriel de R[X], mais pas{P;degP = 5},
– {(un)∈RN; lim
n→+∞un= 0} est un sous-espace vectoriel de RN, mais pas{(un) ; lim
n→+∞un= +∞}.
Les rappels sur les espaces et sous-espaces vectoriels, et leurs applications linéaires, se trouvent dans la ficheAlgèbre Linéaire
Morphismes
Les quelques structures algébriques ci–dessus décrivent donc desensembles dont les éléments se com- portent bien pour certaines opérations (lois de composition). Uneapplication entre deux tels ensembles, qui est ‘compatible’ avec ces opérations est ce qu’on appelle un morphisme, ou homomorphisme.
•Si(E,∗E)et(G,∗G)sont deux groupes, une applicationf :E→Gest un morphisme de groupe si
·f(a∗Eb) =f(a)∗Gf(b),∀a, b∈E.
• Si(A,∗A, ?A) et(B,∗B, ?B) sont deux anneaux (resp. deux corps), une application f :A→B est unmorphisme d’anneaux (resp.de corps) si
·f(a∗Ab) =f(a)∗Bf(b) et f(a ?Ab) =f(a)?Bf(b),∀a, b∈A,
·f(1A) = 1B.
• Si (E,+E,·E) et (G,+G,·G) sont deux K-espaces vectoriels, une application f : E → G est une application linéaire (= ’morphisme d’espace vectoriel’) si
·f(x+E y) =f(x) +Gf(y),∀x, y∈E,
·f(λ·E x) =λ·Gf(x),∀λ∈K,∀x∈E.
• Unhomorphisme est un morphisme (c’est juste un synomyme),
• Unendomorphisme est un morphisme d’un ensemble dans lui-même,
• Unisomorphisme est un morphisme qui est une bijection,
• Unautomorphisme est un endomorphisme bijectif (endomorphisme + isomorphisme).
