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Alors les racines deP sont des racines de l’unité

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Academic year: 2022

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(1)

Théorème de Kronecker

Soitn∈N∗. On considère H:

®P unitaire de degré n, à coefficients entiers, et

∀z∈C, P(z) = 0 =⇒ 0<|z|61. SoitP :=a0Xn+· · ·+an−1X+an∈C[X].

Théorème 1 (Kronecker). On supposeP ∈ H. Alors les racines deP sont des racines de l’unité.

Démonstration. ÉcrivonsP(X) :=Qn

i=1(X−zi)avec|zi|61pour touti= 1, . . . , n. Alors

∀k= 1, . . . , n, |ak|6P

16i1<· · ·< ik6n

|zi1| · · · |zik|6 Çn

k å

,

doncH est fini. Soit pour toutk∈N,Pk(X) :=Qn

i=1(X −zik

). Alors P2(X2) = (−1)nP(X)P(−X) et pour toutk>1,P2k+1(X2) = (−1)nP2k(X)P2k(−X), donc par récurrence immédiate les polynômesP2k(X), k∈N, vérifient tous H. Ceux-ci sont donc en nombre fini, et l’ensemble Rde toutes leurs racines est lui aussi fini. Si P(z) = 0alors∀k∈N, z2k∈R, donc∃k < ℓ, z2k =z2ℓ :z est une racine de l’unité.

Références.

190 Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

benjamin.dadoun@ens-cachan.fr – v20140910 1/1

Références

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