Théorème de Kronecker
Soitn∈N∗. On considère H:
®P unitaire de degré n, à coefficients entiers, et
∀z∈C, P(z) = 0 =⇒ 0<|z|61. SoitP :=a0Xn+· · ·+an−1X+an∈C[X].
Théorème 1 (Kronecker). On supposeP ∈ H. Alors les racines deP sont des racines de l’unité.
Démonstration. ÉcrivonsP(X) :=Qn
i=1(X−zi)avec|zi|61pour touti= 1, . . . , n. Alors
∀k= 1, . . . , n, |ak|6P
16i1<· · ·< ik6n
|zi1| · · · |zik|6 Çn
k å
,
doncH est fini. Soit pour toutk∈N,Pk(X) :=Qn
i=1(X −zik
). Alors P2(X2) = (−1)nP(X)P(−X) et pour toutk>1,P2k+1(X2) = (−1)nP2k(X)P2k(−X), donc par récurrence immédiate les polynômesP2k(X), k∈N, vérifient tous H. Ceux-ci sont donc en nombre fini, et l’ensemble Rde toutes leurs racines est lui aussi fini. Si P(z) = 0alors∀k∈N, z2k∈R, donc∃k < ℓ, z2k =z2ℓ :z est une racine de l’unité.
Références.
190 Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
[email protected] – v20140910 1/1
