Montrer que Kerf et Imf sont stables parg

LM-125 Calcul Matriciel, deuxi`eme semestre 2009-2010 Universit´e Pierre et Marie Curie Feuille de TD 4 : Applications lin´eaire, espaces vectoriels de dimension finie, bases

Applications lin´eaires

Exercice 1.Les applications suivantes sont-elles des applications lin´eaires surR? Si oui, indiquez leur noyau et leur image. En d´eduire si elles sont injectives, surjectives ou bijectives.

f₁ :

R → R

x 7→ 2x² f₂:

R → R

x 7→ 2x−3 f₃:

R² → R²

(x, y) 7→ (−x,3y+x)

f₄ :

C → C

z 7→ z f₅:

C → C

z 7→ |z+ 1|²− |z|²−1 f₆:

C → C

z 7→ iz+ 1

f₇ :

R² → R

(x, y) 7→ 3x+ 4y f₈:

R³ → R²

(x, y, z) 7→ (2x+y−z,1) f₉:

R³ → R²

(x, y, z) 7→ (xy+x−z, x)

f₁₀:

C(R,R) → R

f 7→ f(1) f₁₁:

C²(R,R) → C(R,R) f 7→ f⁰⁰−f Les applicationsf₄,f₅, etf₆sont-elles lin´eaires surC?

Exercice 2. SoientE un espace vectoriel surK etϕune application lin´eaire deE dansE. On suppose que Kerϕ∩Imϕ={0}. Montrer que six /∈Kerϕalors pour toutn∈N,ϕⁿ(x)6= 0.

Exercice 3.SoientE un espace vectoriel surKetf etgdeux endomorphismes deEtels quef◦g =g◦f. Montrer que Kerf et Imf sont stables parg.

Exercice 4.SoitE un espace vectoriel sur un corps commutatifK. On appelleprojecteurde E tout endo- morphismepde E tel quep◦p = p. On d´esigne parI_E l’application identit´e deE (on notera que c’est un projecteur deE).

1. Montrer quepest un projecteur si et seulement siIE−pest un projecteur deE. Quelles relations y a-t-il entre les images et les noyaux depetIE −p?

2. Montrer que sipest un projecteur deE, alorsE =Imp⊕Kerp.

3. Montrer que sipest un projecteur deE et sif est un endomorphisme deEtel quef(Imp) ⊂Impet f(Kerp)⊂Kerp, alorsf◦p=p◦f.

Exercice 5. Soit E un espace vectoriel sur K. Soit f ∈ L(E) tel que Im(f) soit une droite vectorielle et f² 6= 0. D´emontrer queKer(f)∩Im(f) ={0}. En d´eduire queKer(f)⊕Im(f) =E.

Exercice 6.SoitE1etE2deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectorielEsurK. Soitf :E1×E2 7→E l’application d´efinie parf(x₁, x₂) =x₁+x₂.

1. Montrer quef est lin´eaire.

2. Montrer que Kerf ={(x₁,−x₁) :x1 ∈E1∩E2}.

3. Montrer que Kerf etE1∩E2sont isomorphes.

4. Montrer quef a pour imageE1+E2.

5. Dans le cadre de la dimension finie, d´eduire de ce qui pr´ec`ede la formule : dim(E1+E2) +dim(E1∩E2) =dimE1+dimE2.

1

Familles Libres, Familles G´en´eratrices et Bases Exercice 7.Les familles suivantes sont-elles libres ?

1. v1 = (1,0,1),v2 = (0,2,2)etv3= (3,7,1)dansR³. 2. v1 = (1,0,0),v2 = (0,1,1)etv3= (1,1,1)dansR³.

3. v₁ = (1,2,1,2,1),v₂ = (2,1,2,1,2),v₃= (1,0,1,1,0)etv₄ = (0,1,0,0,1)dansR⁵. Exercice 8.On consid`ere les deux sous-ensembles deR⁴suivants :

•F est l’ensemble des vecteurs(v1, v2, v3, v4)qui satisfontv1 =v2etv3 =v4,

•Gest l’ensemble des vecteurs(w₁, w₂, w₃, w₄)qui satisfontw₁+w₂−w₃ = 0.

1. Montrer queF etGsont des sev deR⁴. 2. D´eterminer une base deF et une base deG.

Exercice 9.D´eterminer une base et la dimension de chacun des espaces vectoriels suivants :

•E₁={(x, y, z)∈R³;x−2y+z= 0}.

•E₂={(x, y, z)∈R³;x= 2y = 3z}.

•E3={(x, y, z)∈R³;x+y = 0ety+z= 0}.

•E4={(x, y, z, t)∈R⁴;x+y+z= 0, x+y= 0etz+t= 0}.

•E₅={(u_n)∈R^N;∀n∈N, u_n+2=au_n+1+bu_n}o`ua,bsont deux r´eels fix´es.

Exercice 10. Soit E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E). Si x ∈ E et k ∈ N^∗ v´erifientf^k(x) = 0 et f^k−1(x)6= 0, montrer que(x, f(x), . . . , f^k−1(x))est une famille libre.

Dans les deux exercices suivants on consid`ereN r´eels (N ≥1),(a<sub>i</sub>)<sub>1≤i≤N</sub> ∈R<sup>N</sup>, distincts deux `a deux, c’est-`a-dire : pour tout indices1≤i6=j≤N on aa_i 6=a_j.

Exercice 11.Pour touta∈R, on noteϕ_ala fonction deRdansRqui `axassocie|x−a|.

Montrer que la famille(ϕ_ai)_1≤i≤N est libre.

Exercice 12.Pour touta∈Ron noteχa, la fonction charact´eristique de[a,+∞[.

Rappelχ_a:R→Relle vaut 1 sur[a,+∞[et est nulle ailleurs.

Montrer que la famille(χai)_1≤i≤N est libre.

Exercice 13.Montrer que les vecteurs(a, b)et(c, d)forment une base deR² si et seulement siad−bc6= 0.

Exercice 14. D´eterminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels qui figurent dans les exercices5,6 et10duT D3.

Exercice 15.SoitV ⊂C^∞(R,R)leR-espace vectoriel engendr´e par les fonctions f1 =x, f2 =e^x, f3 =xe^x et f4 = (x+ 1)e^x. 1. La famille(f₁, . . . , f₄)est-elle libre ?

2. Donner une base deV. Exercice 16.Soit

E ={f_a,b(:x7→(ax+b)e^2x)∈ A(R,R) : a, b∈R}.

1. D´emontrer queEest unR-espace vectoriel en donner une base.

2. D´emontrer que l’ensembleF des fonctionsfa,bmonotones surRest un sous-espace vectoriel deE. En donner une base.

2

Exercice 17.SoitV le sous-espace vectoriel deR⁴engendr´e par les vecteurs

v1 = (1,0,1,0), v2 = (0,1,0,1), v2= (1,1,0,0) et v4 = (0,0,1,1).

1. Donner une base deV et l’´etendre en une base deR⁴.

2. Trouver une ´equation cart´esienne deV (dans la base canonique).

Exercice 18.Consid´erons les deux sous-espaces vectoriels

U ={(x, y, z)∈R³ : x+ 2y+ 3z= 0} et V ={(x, y, z)∈R³ : 3x+ 2y+z= 0}.

D´eterminer une base deU, deV et deU ∩V. Exercice 19. Soit A =

1 3

2 4

.Montrer que les matrices de M₂(R) qui commutent `a A forment un sous-espace vectoriel dont on donnera une base.

Exercice 20.Soite1, e2, e3, e4la base canonique deR⁴. SoientE = Vect(e1, e2+e3+e4),F = Vect(e2, e1+ e₃+e₄),G= Vect(e₃, e₁+e₂+e₄)etH= Vect(e₄, e₁+e₂+e₃).

1. Quelle est la dimension de ces sous-espaces vectoriels ? 2. D´eterminerE∩F ∩G∩H.

Exercice 21.Soitaun param`etre r´eel. On poseX1 = (1,1,1,1),X2 = (−a,2,3, a)etX3 = (a²,4,9, a²).

Calculer le rang de la famille(X₁, X₂, X₃)en fonction dea.

Applications lin´eaires en dimension finie.

Exercice 22.On d´efinit l’applicationϕ: ϕ:

R³ −→ R³

(x, y, z) 7−→ (x+y+z,2x+z,2x+y)

Montrer queϕest un isomorphisme deR³dans lui-mˆeme. On consid`ere le sous-espace deR³: F ={(x, y, z)∈R³; 2x+y+z= 0}.

Calculerϕ(F).

Exercice 23. Montrer qu’une applicationf : R² → Rest R-lin´eaire si et seulement si elle est de la forme f(x, y) =ax+byaveca, b∈R.

Exercice 24.SoitEun espace vectoriel de dimension finie sur le corps commutatifK, et soituun endomor- phisme deE. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes

1. Keru= Imu

2. u²= 0et dim Keru= dim Imu= dimE/2.

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