MPSIA 2012/2013 Devoir en temps libre n˚6 Pr´eparation du DS n˚3 du 24 octobre
Ceci est le texte du DS n˚3 (3h) du 4 novembre 2011
Les calculatrices et les t´el´ephones portables ne sont pas autoris´es.
Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep´ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.
Le plus grand soin sera port´e `a la r´edaction ainsi qu’`a la pr´esentation de la copie. Environ deux points sur vingt y seront consacr´es dans le bar´eme de correction.
Les deux exercices et le probl´eme sont ind´ependants. L’´enonc´e contient 2 pages.
Exercice I
Dans le plan affine euclidien E2, on consid`ere le cercleC de centreO et de rayonR >0. SoitM un point du plan et ∆ une droite passant parM et coupantC en deux points Aet B. On d´esigne parA0 le point diam´etralement oppos´e `aA sur le cercleC.
1. Montrer que−−→
M A|−−→
M B
=−−→
M A|−−→
M A0
=k−−→
M Ok2−R2.
2. SoitEF GH un quadrilat`ere inscrit dans le cercleC etI le point d’intersection des droites (EG) et (F H). Montrer que −→
IE|−→ IG
=−→ IF |−→
IH .
3. SoientC1etC2 deux cercles de centresO1 etO2 distincts et de rayonsR1et R2. D´eterminer l’ensemble des pointsM du plan tels quek−−−→
M O1k2−R12
=k−−−→
M O2k2−R22
.
Exercice II
On se place dans un rep`ere cart´esien orthonormal R= (O;−→e1,−→e2,−→e3).de l’espaceR3.
On consid`ere le pointMa de coordonn´ees (1,1,2a) et les quatre plans d’´equations cart´esiennes
P1 :x+y= 0 , P2 :y+z= 1 , P3 :z+x= 1 , P4 :x+y+ 2z= 2.
D´eterminer les valeurs a ∈R pour lesquelles les quatre projet´es orthogonaux de Ma sur chacun des quatre plansPk sont coplanaires.
Probl` eme : partitions d’un ensemble fini
Pour toutn∈N∗, on noteEn un ensemble `a n´el´ements (pour simplifier les notations, on supposera que En = [[1, n]]). On cherche `a ´etudier le nombreBn (appel´e nombre de Bell) de partitions d’un tel ensemble.
On rappelle qu’une partition d’un ensembleE est un ensemble de parties deE,{A1, . . . , Ak} tel que :
∀j∈[[1, k]], Aj6=∅
∀i6=j, Ai∩Aj=∅ Sk
j=1Aj =E
Par exemple{{1},{2}}est une partition deE2;{{1,2}}en est une autre.
Partie I Nombres de Bell
I.1. CalculerB1, B2, B3. (On poseraB0= 1).
I.2. Soitn∈N∗. On consid`ere l’ensembleEn+1. On se fixek∈[[1, n+ 1]], etA une partie `ak´el´ements de En+1 contenant l’´el´ement n+ 1. Exprimer en fonction d’un nombre de Bell, le nombre de partitions de En+1 dont A est l’une des parties ?
I.3. En d´eduire la relation de r´ecurrence suivante :Bn+1=Pn j=0
n j
Bj.
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I.4. Donner une proc´edure Maple>B :=proc(n) permettant de calculer les nombres de Bell. On supposera connu la pro- c´edure Maple>binomial(n,k)qui calcule nk
.
Partie II Nombres de Stirling
Soitn∈N∗. Pour toutk∈[[1, n]], on d´efinit le nombre de StirlingSn,k comme ´etant le nombre de partitions enkparties deEn.
II.1. ExprimerBn en fonction des (Sn,k)16k6n. II.2. CalculerSn,1 etSn,n
II.3. Montrer queSn,n−1= n2
et queSn,2= 2n−1−1.
II.4. Soitn>2. Montrer queSn,k =Sn−1,k−1+kSn−1,k.
II.5. R´ediger une proc´edure Maple>S :=proc(n,k)qui calcule le nombre de Stirling correspondant.
Partie III Partitions ordonn´ ees
On s’int´eresse dor´enavant aux partitions ordonn´ees de En, c’est-`a-dire aux familles de parties (A1, . . . , Ak) formant une partition deEn (l’ordre des parties importe d´esormais). Ainsi ({1},{2}), ({2},{1}) et ({1,2}) sont les trois partitions ordonn´ees deE2.
Pour n>1, on noteraan le nombre de partitions ordonn´ees deEn. III.1. D´eterminera3.
On cherche `a d´eterminer une relation de r´ecurrence entre les (an).
III.2. Soitn>2. On se fixek∈[[1, n]], etA1 une partie `ak´el´ements deEn. Quel est le nombre de partitions ordonn´ees (du type (A1, . . . , Aj)) dont la premi`ere partie estA1? On pourra l’exprimer en fonction d’unap, pour unpconvenable.
III.3. En d´eduire une expression dean en fonction des (ak)06k6n−1 (en posant par conventiona0= 1).
III.4. Posons pour toutn∈N,bn= an!n. Montrer que cette suite (bn)n∈Nv´erifie la relation de r´ecurrence : pour toutn∈N∗, bn=Pn
k=1 bn−k
k! .
III.5. On admettra que pour toutx∈R+, pour toutn∈N, Pn k=0
xk
k! 6ex. En d´eduire que pour toutn∈N, bn6 (ln 2)1 n. III.6. Pour n ∈ N∗ et 1 6 p 6 n, introduisons An,p l’ensemble des partitions ordonn´ees de En constitu´ees de p parties
(A1, . . . , Ap). Et notonsan,p le cardinal deAn,p. Exprimeran en fonction des (an,p)16p6n. III.7. Pourn∈N∗, 16p6n, exprimeran,p en fonction du nombre de StirlingSn,p.
Partie IV Nombres de Stirling et applications surjectives
Notons Σn,p l’ensemble des applications surjectives deEn dansEp= [[1, p]]. On consid`ere l’application ψ : Σn,p → An,p
f 7→ f−1({1}), . . . f−1({p}) .
IV.1. Montrer que pour tout f ∈Σn,p, on a bienψ(f)∈ An,p. IV.2. Montrer queψr´ealise une bijection de Σn,p surAn,p.
IV.3. En d´eduire une expression du nombre de StirlingSn,p en fonction du cardinal de Σn,p.
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