I. Calculer avec des fractions
Exercice 1 : Écrire sous forme de fractions irréductibles les nombres suivants : A=4×3+8 4 ou A= 4×3+8 4 A=12+8 4 A= 4×3+4×2 4 A=20 4 A= 4×5 4 A=5 A=5 B= 1 0,25
B=4 (4 et 0,25 sont inverses l'un de l'autre, leur produit étant égal à 1!) C=432
192
C'est l'occasion de revoir les critères de divisibilité par 2, par 3, par 4, par 5, par 9.
432 est pair : il est donc divisible par 2 ; il est même divisible par 4 puisque le nombre formé par les deux derniers chiffres est multiple de 4.
432 est divisible par 3 puisque la somme de ses chiffres est multiple de 3 ; la somme de ses chiffres est même multiple de 9, donc 432 est multiple de 9.
432=400+32=4(100+8)=22×108 et 108=90+ 18=9(10+ 2)=32×12 et 12=22 ×3 Donc, 432=22
×32×22×3=24×33
De même, 192 est divisible par 4 ( 92=80 +12=4×23 ) et par 3. 192=180+12=3×64 et 64=44+20=4×16=22 ×24=26. Donc 192=3×26 =26×3 Finalement, C=24×33 26×3 C=3 2 22 C=9 4
Comme je le disais déjà, la calculatrice donne directement ce résultat, mais toutes les stratégies élaborées pour arriver au résultat sans calculatrice sont très utiles au raisonnement mathématique et il faut se contraindre à cet exercice de l'esprit.
D=4 9− 2×13+1 13−1 D=4 9− 26+1 12 D=4 9− 27 12
Inutile ici de simplifier 27
12 par 3 puisque le dénominateur commun de ces deux fractions est nécessairement multiple de 3.
Le dénominateur commun qu'il est recommandé de choisir est le Plus Petit Commun Multiple de 9 et 12. 9=32 et 12=22 ×3 . PPCM (9 ;12)=22×32=36 D=4×4 36 − 27×3 36 D=16−81 36
D=−65 (c'est une fraction irréductible)
E= 1−4×7 6
(
1−1 6)
2 E= 1−2×7 3(
5 6)
2 E=−11 3 × 36 25 E=−11×12 25 E=−132 25 F= 1−1 3 6 × 9 4− 1 5 F=2 3× 1 6× 9 4− 1 5 F= 2×3 2 32×2×4− 1 5 F=1 4− 1 5 F= 1 20Exercice 2 : a et b désignant des nombres entiers non nuls, écrire les nombres suivants sous la forme d'une fraction, aussi simple que possible.
A=1 3+ a 5 A=5+ 3 a 15 B=1 3+ 5 a−1 B=a+ 15−3 a 3 a B=15−2 a 3 a C= 3 2 a× 10 3 b C=3×2×5 2 a×3 b C= 5 ab D=a 2×
(
1− 1 a)
D=a 2× a−1 a D=a−1 2E= 1 ab−a×
(
b 2− 1 b)
E= 1 ab− a(b2−2) 2 b E=2−a 2 (b2−2) 2 ab E=−a2b2+2 a2+2 2 ab F= 3√
2 1+√
3× 4√
18 1−√
3 F=3×4×√
2×2×9 12−(
√
3)
2 F=3×4×2×3 −2 F=−36Exercice 3 : Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions définies par les expressions suivantes :
a) f (x )= 1 2 x−4
2 x−4=0 ⇔ x=2
df = ]−∞; 2[ ∪]2 ;+∞[ (on peut aussi écrire, mais je ne le conseille pas forcément : df = ℝ\{2}) b) g ( x)=2 x−3 5 x +4 5 x+4=0 ⇔ x=−4 5 dg =
]
−∞;−4 5[
∪]
− 4 5;+∞[
c) h( x)= x +3 x2−9 x2 −9=0 ⇔ (x−3)( x+3)=0 ⇔ x=3 ou x=−3 dh = ]−∞;−3[ ∪]−3 ;3[ ∪]3 ;+∞[ (ou dh = ℝ\{–3;3}) d) k ( x)= 1 x−3 dk = ]−∞;3 [∪]3;+∞[II. Calculer avec des racines carrées
Exercice 4 : Simplifier les écritures suivantes : A=
√
28×√
35 A=√
22×7×5×7 A=14√
5 B=(4√
3−5)(2√
2−√
3) B=4√
5×2√
2−4×√
32−5×2√
2+5√
3 B=−12−10√
2+5√
3+8√
10C=(7+3
√
5)2 C=72+2×7×3√
5+(3√
5)2 C=49+42√
5+45 C=94 +42√
5 D=3√
5×5√
2×2√
15 D=3×5×2×√
5×2×3×5 D=30×5√
6 D=150√
6 E=√
200 E=10√
2 F=(2√
5)3 F=23×5√
5 F=40√
5 G=√
√
1 G=1 H=√
1−√
25 H=1−5 H=−4 I=(√
3)6 I=33 I=27 J=√
100 000 000 J=√
108 J=104 J=10 000Exercice 5 : Écrire sans racine carrée au dénominateur : A=6+2
√
3√
3 A=√
3 (6+2√
3) 3 A=6√
3+6 3 A=2+2√
3 B= 7 2√
7 B=7√
7 2×7 B=√
7 2C= 5 1+
√
2 C=5(1−√
2) 1−2 C=−5+5√
2 D=√
5+2√
3 5√
3−√
5 D=(5√
3+√
5)(√
5+ 2√
3) 25×3−5 D=5√
15+10×3+5+ 2√
15 70 D=35+7√
15 70 D=5+√
15 10Exercice 6 : Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions définies par les expressions suivantes :
a) f (x )=
√
xdf = [0 ;+∞[ (on peut aussi écrire : df = ℝ+) b) g ( x)=
√
−xdg = ]−∞; 0 ] (on peut aussi écrire : df = ℝ-) c) h( x)=
√
2 x−52 x−5⩾0 ⇔ 2 x⩾5
⇔ x⩾5
2 (multiplier les deux membres d'une inégalité par 1
2 n'en changeant pas le sens) dh =
[
5 2;+∞[
d) k ( x)=√
−3 x +4 x{
−3 x +4⩾0 x≠0 ⇔{
−3 x⩾−4 x ≠0 ⇔{
x⩽43 x ≠0(multiplier les deux membres d'une inégalité par –1
3 en changeant le sens) dh = ]−∞ ;0 [ ∪
]
0 ;4 3]
e) l (x )=√
2 x−4√
−3 x+9{
2 x−4⩾0 −3 x +9>0 ⇔{
x−2⩾0x−3<0 (en multipliant les membres de chacune des inégalités par 2, d'une part, et
par −3 d'autre part) dl = [ 2; 3[
f) k ( x)=
√
2 x−4 −3 x +9 2 x−4 −3 x +9⩾0 ⇔ − 2 3× x −2 x−3⩾0 ⇔ x−2 x−3⩽0 x –∞ 2 3 +∞ x−2 – 0 + + x−3 – ⋮ – + x−2 x−3 0 ⋮ 0 0 dk = [ 2; 3[Remarque importante : la façon de déterminer dl diffère de la façon de déterminer dk , les deux expressions n'étant pas identiques !
Finalement, on trouve dl = dk .
Et on peut alors affirmer que les fonctions l et k sont égales. III. Calculer avec des puissances
Exercice 7 : Simplifier les écritures suivantes : A=213×14−3 A=213 × 1 143 A=
(
21 14)
3 A=(
3 2)
3 A=27 8 B=235×0,536 ou B=235×0,536 B=235×(
1 2)
36 B=235×0,535×0,5 B=235× 1 236 B=(2×0,5) 35 ×0,5 B=1 2 B=1 35 ×0,5 B=0,5 B=0,5 C=b 2 a3× a2 b3× b a C=a 2 ×b3 a4 ×b3 C=1 a2 C=a−2 D=5 n−2 5n+ 2 D=5−4E=(a −2b)4 ×(−a2b)−1 (−ab−1)−3 E=−a −8b4 ×a−2b−1 −a−3b3 E=a−8−2+3b4−1−3 E=a−7b0 E=a−7 E=1 a7
