M´ethode de la phase stationnaire

(1)

M´ethode de la phase stationnaire

Maximilien Dreveton July 29, 2016

R´ef´erences Candelpergher , Queffelec-Zuily p.333 0.1 Recasages

Passe `a l’aise 218 Applications des formules de TAYLOR.

224 Exemples de d´eveloppements asymptotiques de suites et de fonctions.

236 Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables réelles.

239 Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

247 Exemples de probl`emes d’interversion de limites.

0.2 Le d´eveloppement

On s’int´eresse au comportement en l’infini de : F(x) :=

Z _b

a

e^ixφ(t)f(t)dt f, φ∈c^∞(R) (1)

Th´eor`eme 0.1. Supposons φ s’annule en un unique t₀ ∈ [a, b], et tel que φ⁰⁰(t₀) 6= 0.

Alors

Z b a

e^ixφ(t)f(t)dt=e^ixφ(t⁰⁾f(t0)

p(2π)

p|φ⁰⁰(t₀)|e^sgn(φ⁰⁰^(t⁰^))iπ/4 1

sqrtx+O(1 x) Lemme 0.2. Lemme de compensation, ou m´ethode de la phase NON stationnaire.

Supposons que φ⁰ 6= 0 sur [c, d]. Alors Z _d

c

e^ixφ(t)f(t)dt=O(1/x) Proof. IPP

Z d c

e^ixφ(t)φ⁰(t)f(t)

φ⁰(t)dt= 1 ix

e^ixφ(t)f(t) φ⁰(t)

d c

− 1

ixint^d_ce^ixφ(t) f(t)

φ⁰(t) 0

dt (2)

1

(2)

Proof. Preuve du th´eor`eme Pour tout α >0 on a :

Z b a

e^ixφ(t)f(t)dt= Z t0+α

t0−α

e^ixφ(t)f(t)dt+O(1

x) (3)

Changement de variable Par Taylor : φ(t) =φ(t0) + ^φ⁰⁰₂^(t⁰⁾(t−t−0)²(1 +ρ(t)(t−t0) Posons ψ(t) :=

√

|φ⁰⁰(t0)|

√2 (t−t₀)p

1 +ρ(t)(t−t₀) On a : ψ(t)≈_t₀

p|φ⁰⁰(t0)|

√2 (t−t0)

ψ⁰(t0) =

p|φ⁰⁰(t₀)|

√ 2

Donc quitte `a diminuerα, ψ est localement un C¹ diff´eomorphisme de [t₀−α, t₀+α]

vers [β−, β⁺].

Effectuons le changement de variable s=ψ(t).

Z _t₀_+α

t0−α

e^ixφ(t)f(t)dt=e^ixφ(t⁰⁾ Z _t₀_+α

t0−α

e^{ix sgn(ψ}⁰⁰^(t⁰^))s² f(ψ⁻¹(s))|∂ψ⁻¹(s)|dsdt (4) Posons g(s) =f(ψ⁻¹(s))|∂ψ⁻¹(s)|De plus,ψ(t0) = 0, donc

g(0) =f(t₀) 1

ψ⁰(ψ⁻¹(0)) (5)

=f(t₀) 1

ψ⁰(0) (6)

=f(t₀)

√2

p|φ⁰⁰(t0)| (7) Le lemme suivant permet de conclure.

Lemme 0.3.

Z β⁺ β−

e^±ixs²g(s)ds=g(0) 1

√xe^±iπ/4√

π+O(1 x) Proof.

g(s) =g(0) +s h(s)

int^β_β⁺

−e^±ixs²g(s)ds=g(0)int^β_β⁺

−e^±ixs²ds+int^β_β⁺

−e^±ixs²sh(s)ds (8) La deuxième intégrale est un O(1/x) par le lemme de la phase non stationnaire. Notons I la première intégrale.

2

(3)

I =g(0) Z ∞

−∞

e^±it²dt−g(0) Z β−

−∞

e^±it²dt+ Z ∞

β⁺

e^±it²dt

(9)

=g(0) 1 sqrtx

Z ∞

−∞

e^±it²dt+O(1

x) (10)

=g(0) 1

√xe^±iπ/4√

π+O(1

x) (11)

0.3 Compl´ements

Proposition 0.4. Int´egrale de Fresnel

Z ∞

−∞

e^it²dt=e^iπ/4√ π

Proof.

z=ee^−iπ/4t⇒ −z² =it² Donc par le théorème des résidus :

Z ∞ 0

e^it²dt=e^iπ/4√

π= lim

R→∞

Z

d

e^−z²dz

O`u d est le contour form´e des droite [0, R] dans la direction−π/4 et [0, R] sur l’axe des abscisse ainsi que le quart de cercle les reliant.

L’intégrale sur l’axe des abscisses donne l’intégrale de GaussR∞ 0 e^−x². Celle dans la direction −π/4 donne l’intégrale de Fresnel.

On majore celle sur l’arc de cercle γ_R: Z

γR

e^−z²dz =R Z ₀

−π/4

e^−R²^e^2i‘θie^iθdθ (12)

≤R Z 0

−π/4

e^−R²^cos(2θ)dθ (13)

≤R Z 0

−π/4

e^−R²⁽^π⁴^θ+1)dθ (14)

≤ π 4

1−e^−R²

R →0 (15)

On conclut.

Z ∞

−∞

e^it²dt= 2 Z ∞

0

e^it²dt=e^iπ/4√

π (16)

3