D I M E N S I O N C O H O N O L O G I Q U E : PREMIERS R E S U L T A T S
par M. A R T I N
S o m m a i r e :
I n t r o d u c t i o n
R @ s u l t a t s a u x i l i a i r e s pour un corps
Corps des f r a c t i o n s d'un anneau strictement local D i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e : cas ~ inversible dans ~ X D i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e : cas ~ = p .
D i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e pour un p r @ s c h @ m a de type fini sur Spec Z .
I. Introduction.
Dans cet expos6 on convient, sauf m e n t i o n expresse du contraire, que "faisceau" signifie "faisceau ab@lien".
Soient X un sch@ma et ~ ~ P . "Rappelons" quTon appelle
~ - d i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e de X le plus grand entier cd e X = n (ou = co s i c e hombre n'existe pas) tel que Hn(X,F) ~ 0 pour au moins un f a i s c e a u de ~ - t o r s i o n F sur X . Si X = Spec A , nous @crivons cd~ A = c d @ Spec A . Tenant compte du d i c t i o n n a i r e (VIII 2 ) on r e t r o u v e ainsi la n o t i o n "classique" de ~CG] darts le cas off A = k est un corps.
Comme on a @ v i d e m m e n t la formule
od~(I I xi) = sup• cd e x i
l 1
on peut, de fagon @vidente, @~endre la th~orie classique ~ un a n n e a u
a r t i n i e n quelconque. Cette th@orie est expos@edans (CG) ~ "cohomologie G a l o i s i e n n e " de Serre. Nous y a p p o r t e r o n s quelques p r @ c i s i o n s dans le n ° 2.
P r e n o n s par exemple le cas d~une vari@t@ X a l g g b r i q u e irrg- ductible, de d i m e n s i o n n , sur un corps s g p a r a b l e m e n t clos k , et fi- xons ~ ~ car k . Un th@or~me qu'on t r o u v e r a dans le ~ 4 donne pour la d i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e la m a j o r a t i o n 2n , qui est la d i m e n s i o n "v@ri- table" de X (sugg@rge par l'analcgie topologique dans le cas oh k = ~ ). Ce r@sultat est assez @l@mentaire & partir de la th@orie pour les corps, et en fair la m a j o r a t i o n par 2n peut @tre am@lior@e sauf dans le cas oh X est complete : il existe une autre majoration, 2n-I , qui est vraie chaque fois que dans X il "manque au moins un point". Cette derni~re est la bonne " m a j o r a t i o n stable", dans le sens que chaque X de d i m e n s i o n n contient un ouvert de d i m e n s i o n coho- m o l o g i q u e 2n-1 . Une troisi~me m a j o r a t i o n est obtenue pour une vari@t@
affine, oh on obtient n comme d i m e n s i o n cohomologique. C'est une g@n@- r a l i s a t i c n d l u n des th@or&mes de Lefschetz pour les sections hyperplanes.
Ces deux d e r n i & r e s a s s e r t i o n s sont plus profondes et ne po~rront @tre dgmontr@es que plus tard (XIV).
Notons que la d i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e n'est pas une n o t i o n locale (contrairement & ce qui a lieu pour les espaces paracompacts).
Par exemple un anneau h e n s @ l i e n & corps r @ s i d u e l s g p a r a b l e m e n t c l o s e s t de d i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e nulle, mais si on enl~ve le point ferm@, on peut obtenir un nombre a r b i t r a i r e m e n t grand, savoir 2n-I si n = dim A dans les cas les plus importants; ce qui est @galement en accord avec lt analogie t o p o l o g i q u e fournie par la c o h o m o l o g i e de U - Ix} , oh U est un petit v o i s i n a g e ouvert d'un point x d'un espace a n a l y t i q u e c o m p l e x e .
2. R @ s u l ~ a t s a u ~ i l i a i r e s sur un corps On a l e suivant
Th@er~me 2.1. Soit k'/k une extension de type fini d'un corps k , et soit ~ 6 P . Alors
cd~k' ~ cd2k + deg.tr.(k'/k) ,
Si l ' i n ~ a l i t @ stricte est vraie et si ~ ~ c a r k , alers ~ = 2 , k est ordonnable, et k' n'est pas ordonnable (i.e. -I est une somme
... m
de oarr@s dans kt).
R a p p e l o n s que lorsque ~ = car k on a c d ~ k ' ~ I (CG II 2.2 ) done la question dt~galit~ dans 2.1 ne se pose gu~re.
De plus, on a cd2k = co si k est erdonnable. En effet la cl6ture alg@brique ~ de k contient une s e u s - e x t e n s i o n k (un seus-cerps maximal ordonn@ de k) avee [ k : ~ ] = 2 . Evidemment, od2k = co , et c d 2 k ~ cd2k d'apr~s (CG I Prep'. 14).
D@monstration. C'est presque tout bien connu° L'in@galit@
ainsi que l'@galit@ si c d ~ k ( co , sont des r @ s u l t a t s de Tate (CG iI 4oi.2). II reste ~ d @ m o n t r e r que c d ~ k ' ~ co et c d ~ k = oo implique k ordonnable et ~ = 2 , et il suffit de traiter les deux cas suivants :
a) [k',k]
b) k' = k(x) aveo x t r a n s e e n d a n t sur k .
Dans le cas a) on peut supposer k t / k s@parable. Alors le groupe de Galois H = G ( k / k t) est un sous-groupe ouvert de G = G(k/k) et d'apr~s u n r @ s u l t a t de Serre C5 ] on a c d ~ H = c d ~ G sauf si G oontient un @l@ment d'ordre ~ . Comme u n corps a l g @ b r i q u e m e n t clos ne peut pas avoir un sous-corps ~ d'indice fini sauf si ~ = 2 et
est ordonnable [7] , on trouve le r@sultat.
Traitons l e c a s b). Soit R le h e n s S l i s 4 de Spec k[x] au point x = 0 , qui est un anneau de v a l u a t i o n discrete, et soit K le corps des fractions de R . A l o r s c d @ k(x) < co implique c d ~ K < co . I1 suffit donc be dSmontrer que c d ~ K < co implique c d ~ k < co , ce qui est c o n s S q u e n c e du th@or~me suivant :
T hSor~me 2.2 (*). Soit R un anneau de v a l u a t i o n discrete hens@lie D , corps de fractions K et corps rSsiduel k . Soit ~ 6 P . On a
e d g K = c d @ k + I duns les deux situations suivantes :
(i) ~ ~ c a r k .
(ii) ~ ~ oar K , k parfait, e_t o d ~ k < oo .
Remarque
: Naturellement, si ~ = car K on a c d ~ K ~ I en tous cas (CG II 2.2). I1 reste donc ~ @tudier la r e l a t i o n de c d ~ K avec,(EGA Iv 20.4.3),
peut-@tre, le module des d i f f S r e n t i e l l e s absolues ~ k
dans l e c a s d'inSgales c a r a c t S r i s t i q u e s lorsque car k = ~ , k uon parfait.
D S m o n s t r a t i o n du thSor~me. Comme pour le thSor&me (2.1), la plupart est d~e ~ Tare. L e c a s (ii) est trait@ explicitement duns (CG II Prop. 12) si R est complet, et on se rSduit ~ c e c a s au m o y e n du lemme suivant :
Lemme 2.2.1o Soit R un anneau de v a l u a t i o n discrete hensSlien, k corps des fractions K , et soit ~ le corps des fractions du compl~t4
de R . Alors
DSmonstration. Cola veut dire que le foncteur L I > L = L ~ KK
(*) Ce thSor~me a 4t4 dSmontr4 rScemment par Ax [I] .
de la cat@gorie des K-alg~bres @tales dane la cat@gorie des K-alg~bres
^
@tales est une gquivalence. Or chaque alg~bre @tale K' de K est induite par une alg~bre @tale convenable K ~ de K , En effet, si K'
oG o¢ satisfait & l'@quation irr@ductible s@parable f(T) -- 0 coefficients dans R , il suffit de prendre pour K' l'alg~bre
K ~ o ] , oii od o est racine d'une @quation fo(T) = 0 & coefficients dans R avec fo ---- f (~N) ~ N grand et ~ l'id@al maximal de R . CIest l'application de la "mgthode de Newton" habituelle (Bourbaki, Alg. Comm. III 4,5) . I1 reste ~ d@montrer que le foncteur est pleine- ment fidble (il est @videmment fid&le)p et il revient au m@me de d@mon- trer que si K' est un q0rps, il en est de m@me de K' . Soit R' le normalis@ de R dans K' , qui est fini sur R puisque K'/K est s@- parable. LIanneau R' est un anneau de valuation discrete, et le compl@t4 de R' est = R' @ R ~ . D o n c R ~ est un anneau de valua- tion discr&te, et comme K' e n e s t l'anneau total des fractions, il est bien un corps.
Traitone l'assertion i) de 3.1 . Si c d ~ k < co on est encore ramen@ par 2 . 2 . 1 A (CG II Prop. 12) (l'hypoth%se faitedans l'@nonc@ de cette proposition que k soit parfait n'est utilis@ dans la d@monstration que dane le cas de caract@ristique r@siduelle ~ ) . I1 reste donc A d@mon~rer que c d ~ K < oo implique c d ~ k < Go .
Soit G = O(k/k) = G(K/K) off K est l'extension non ramifi@e maximale de K (i.e. le corps des fractions de l'anneau de valuation discrete ~ , ~ corps r@siduel s@parablement clos, hens@lis@ strict de R ) , G = G(K/K) , H = G(K/K~ , donc G = G/H . Soit G' C G un
~ - s o u s - g r o u p e de Sylow, et soient k'/k , K'/K les extensions corres- pondant k G' . On a c d ~ k < ~ si et seulement si c d ~ k ' C
(CG I Prop. 14), donc en remplagant R par son normalis@ dane K' , on se r@duit au cas o~ G est un ~ -groupe. Ii suffit alors de d@montrer que si c d ~ G ~ co , alors HN(G , ~ / ~ ) = 0 pour N assez grand
(CG Z Prop. 2o).
On a c d ~ H = 1 d'apr~s la pattie de i) d4j~ d4montr4e, appliqu~e ~ [ . De plus, on a
(2.2.2 HI(H, ~ ) = Hl(speo ~, ~ ) =
~ * ~ * ~ = Z/,~
En effet, H1(Speo
£,
F ~ ) = K * / K * ~ d'apr~s la th@orie de Kummer IX 3.2. On a tune suite exacte0 - - + ~ * - ~ ~ * - + ~ --, o ,
et ~ * est divisible par ~ puisque ~ est striotement local et inversible dans ~ , d'oh ( 2 . 2 . 1 ) .
Consid@rons la suite spectrale de Hochschild-Serre E~ q = HP(~
,
Hq(H, ~ @ ) )~ HP+q(G,
~ £ )•
On a E~ q = 0 si q > I . Si de plus c d ~ C < ~ , le morphisme
"cobord"
H n+1 (~,
Hn-1 (~., ~1 (~, ~ ) ) ... ~ ~ Z )
doit @tre bijectif pour n assez grand, et il faut d@montrer qu'alors
~ - ~ ( ~ , ~ I ( H , ~ ) ) = ~ n - l ( ~ , = / ~ ) = o .
Posons R' = R[x'] avcc x' 2 = x , x le param~tre local de R , et soient K' le corps des fractions de R', G' = G(K/k') , etc...
Le corps r@siduel de R ~ est k, puisque nous avons suppos~ G u n &-groupe, donc que les racines &.&mes de l'unit~ sont dans K. On a un diagran~ne
H' " > G' >
~ ---> G > ~
d:oh un morphisme de suites speotrales de Hochschild-$erre, qui donne un diagramme commutatif
~n't(8,~'l(H,, ~.Z))
~n-t(~, Ht(~, !ae) ) , f
Comme cd@ G < oo implique c d ~ G' < oo, tous los morphismes darts ce diagramme sont des isomorphismes pour n grand. ~a~s le morphisme
qui induit la fl&che ~ est @videmment n~l, donc Hn-I(G~ Z / ~ ) = O , oqfd.
Th@or~me 2 . 3 . Soient A un anneau noeth~rien hens~lien de dimansio~
I , et ~ ~ R inversible dans A . Soient k le corps r@siduel de A et R(A) l'anneau des fonctions rationnelles sur Spec A ° On
cd~(A)
~ c d ~ k + I ,et l'@galit@ est vraie si ~ 2 ou si k n'est pas ordonnable.
D~monstration. En remplagant A par A/P pour un id@al pre- mier minimal P de A et en appliqu&nt (VIII I) on voit qufon peut supposer A int~gre. Soient K son corps des fractions, R son norma- lis@, qui est local et hens@lien, do~c un anneau de valuation discrete (il est noeth~rlen d'apr~s Krull-Ak~zuki (Bourbaki, Alg. Comm. Chap. 7,
§ 2, prop. 5)) et soit k' le c o r ~ r@siduel de R . I1 est connu que [k':k] < ~ (loc. oit.). Or K amt le corps des fractions de R et on a done
c d ~ K = c d @ k ' + I ,< e d ~ k + I
d~apr~s 2.2 , avec l'4galit@ sous la derni&re h y p o t h & s e de 2.3 , d'apr~s 2.1
E x e m p l e : L'@galit@ n'est pas vraie pour ~ = 2 , A @tant le h e n s @ l i s @
& l'origine de ~ [ x , y ] / ( x 2 + y 2) .
Co rollaire 2.4. Soit A u n anneau local n o e t h @ r i e n ~ corps r@siduel k , et soit ~ E p i n v e r s i b l e dans A . S u p p o s o n s que ~ ~ 2 o~
qutaucun corps r @ s i d u e l de Spec A ne soit ordonnable. Alors on a
crieR(A) ~ c d ~ k + dim A ,
oh R(A) est l ' a n ~ e a u des fonctions r a t i o n n e l l e s sur Spec A .
D @ m o n s t r a t i o n . On peut supposer A int~gre, a corps des fractions R(A) = K . Soit x @ ~ A u n @l@ment qui ntest pas diviseur de z@ro. Alors dim A/(x) = dim A - I . Par r~currenee sur dim A, on a
c d @ R(A/(x)) ~ c d ~ k + dim A - I
Soit k' un corps r @ s i d u e l de R(A/(x)) tel que c d ~ k ' : c d ~ R ( A / ( x ) ) (cf Vlll I), et soit P l~id@al premier, n o y a u de k _ _ ~ k ' . L ~ a n n e a u A p est de d i m e n s i o n I . I1 suffit donc de d g m o n t r e r le corollaire pour l:an- neau local Ap , c'est-&-dire, on est r@duit au cas oh dim A = I . Soit ~ le h e n s @ l i s ~ de A . Chaque corps r @ s i d u e l de R(~) s'identifie
une e x t e n s i o n s@parable de R(~) = K , et on a donc
On est ainsi ramen@ au cas oh A est de d i m e n s i o n 1 et hens@lien, ce qui est c o n s @ q u e n c e de 2.3 •
Corollaire 2.5, Soit inversible sur X . Alors
X an sch@ma n o e t h @ r i e n et soit ~ 6
c d @ R(X) ~ dim X .
En effet, soit x 6 X un point tel que dim X = dim ~X,x (ou tel que dim OX, x est tr~s grand si dim X = co ). Soit A le
hens~lis~ ~trict de
OX, x .
Alors on a od d R ( x )~ cd~R(Ox, x) ~ odOR(A)
d~aprSs le r a i s o n n e m e n t habituel. De plus, dim A = dim X (resp. est tr~s grand). Si ~ = 2 , et si ~ est inversible sur X , alors l ' @ q u a t i o n T2+ I = 0 est s@parable sum A , donc -I est un cart@ dans A parce que A est strictement local, donc les corps r@siduels de A sont non ordonnables. Donc les h y p o t h e s e s de 2.4 sont satisfaites p o u r A en tout cas, et on a c d @ R ( A ) ~ dim A , d'oG le r@sultat.
3. Corps des f r a c t i o n s dlun anneau strictement local.
B.C. Nous aurons u n b e s o i n essentiel, pour les numdros suivants, de la c o n n a i s s a n c e de c d ~ R(A), oh A est un anneau strictement local, c t e s t - ~ - d i r e h e n s d l i e n k corps r@siduel s@parablement clos. M a l h e u r e u s e - ment on ne connalt pas c d @ R(A) dans le cas g@n@ral, par exemple si A = ~p[EX]] (p / ~ ) .
On conjecture c e p e n d a n t que si A est n o e t h @ r i e n et ~ est inversible dans A, on aura
(3.1) C d ~ R ( A ) = dim A ( ~ inversible dans A) ,
du moins dans les cas les plus importants, par exemple si A est un an- neau excellent (E@A IV 7.8.2).
Notons que si dim A = I , (3.1) est vrai d"apr~s 2.3 • De plus, on a l'in~galit~ ~ d'apr&s 2.5 en tout cas. Nous d @ m o n t r e r o n s plus tard (XIX) que (3.1) est aussi vrai si A est excellent de
o a r a c t 4 r i s t i q u e r 4 s i d u e l l e nulle, en u t i l i s a n t la r 4 s o l u t i o n des singu- larit4s [5] • Ici nous d 4 m o n t r e r o n s (3.1) seulement dans le cas facile
3.2. ci-desso~s.
N a t u r e l l e m e n t on a c d ~ R ( A ) ~ I si A est de c a r a c t 4 r i s t i - que ~ , d o n c c e c a s est trivial. I1 reste de plus ~ a n a l y s e r l e c a s d t i n ~ g a l e s caract4ristiques, avec c a r a c t 4 r i s t i q u e r 4 s i d u e l l e 4? , et on ne s ' a t t e n d pas ~ ce que 5.1 soit vrai dans c e c a s l~. II faudra cer- I (k le corps r4siduel), tainement tenir compte du rang du module ~ k
i.e. du degr4 [ k : k ~ ] .
P r o p o s i t i o n 3.2. Soit x un p r ~ s c h 4 m a de type fini sur le s p e c t r e d'un corps k ou sur l e spectre d'un a n n e a u de v a l u a t i o n discrete R , et soit ~ ~ IP i n v e r s i b l e dans k (resp. R). Alors 5.1 est vrai pour chaque a n n e a u A ~ui est un localis4 strict de X .
D 4 m o n s t r a t i o n . P r e n o n s X int~gre (on se r4duit ~ c e c a s eomme d'habitude), et soit n = dim X .
Supposons que X soit d4fini sur un corps s @ p a r a b l e m e n t clos k . A i o r s pour chaque anneau A qui est un localis4 strict de X en un point ferm4, on a dim A = n . Comae chaque corps r4siduel K de R(A) slidentifie ~ une e x t e n s i o n alg4brique de R(X) et comme
deg.tr.(R(X)/k) = dim X = n ,
on a o d ~ K ~ n d'apr~s 2.1 , d'oh o d o R ( A ) $ n . L'in4galit~ oppos~e est cons@quence de 2.5.
S u p p o s o n s m a i n t e n a n t que X soit de type fini sur Spec R , R u n anneau de v a l u a t i o n discrete, et soit A l e localis4 strict de X en un point x . Si x n'est pas a u - d e s s u s du point ferm4 de Spec R , on se r4duit i m m ~ d i a t e m e n t au cas oh X est de type fini sur u n corps (on localisant R). On pout aussi pour la mSme r a i s o n supposer que le m o r p h i s m e X - - ~ S p e c R est dominant.
S u p p o s o n s p o u r i r i n s t a n t que de plus R est u n a n n e a u de v a l u a t i o n d i s c r & t e s t r i c t e m e n t local et que le point x est f e r m @ dans X • A l o r s on a d i m A = d i m X = n (EGA IV ~ 5.6.5) • C o m m e c h a q u e corps r @ s i d u e l K de R(A) s ~ i d e n t i f i e ~ u n e e x t e n s i o n s @ p a r a b l e de R(X) on a
c d @ R ( A ) ~ o d o R ( X ) ~ c d ~ L + d e g . t r . ( R ( X ) / L )
= I + ( n - l ) = n
d ' a p r ~ s 2.1 et 2.2 , oh L est le c o r p s des f r a c t i o n s de R , d ' o h le r @ s u l t a t dans ce cas, c o m p t e tenu de 2.5 •
On d~duit le cas g @ n @ r a l de ces cas p a r t i c u l i e r s au m o y e n du lemme s u i v a n t :
Lemme 3.3.
(i) Soit X de type fini sur le spectre d'un c o r p s k et soit A un a n n e a u l o c a l i s @ strict de X e n un p o i n t x . A l o r s il e x i s t e un c o r p s k' s @ p a r a b l e m e n t clos, un s c h @ m a X' de type fini sur S p e c k ' , et u n p o i n t x' ferm~ dans X' tel que A soit i s o m o r p h e ~ u n a n n e a u localis@ strict de X v e n x' .
(ii) Soit X de type fini sur Spec R , R u n a n n e a u de v a l u a t i o n discr&te, soit x u n p o i n t de X a u - d e s s u s d u p o i n t ferm@ de Spec R et soit A u n l o c a l i s ~ strict de X e_~n x . I1 exists u n a n n e a u de v a l u a - t i o n d i s c r e t e s t r i c t e m e n t l o c a l R ' , u n s c h @ m a X' de type fini sur Spec R'
Spec R'
Soit Y et soit n °
1)
, et u n ~ o i n t ferm@ x' de X' a u - d e s s u s du p o i n t ferm@ de
, tel que A soit i s o m o r p h e ~ u n l o c a l i s ~ s t r i c t de X t en x'.
D @ m o n s t r a t i o n . (i) O n p e u t p r e n d r e X affine.
l ' a d h ~ r e n c e de x dans X , avec la s t r u c t u r e i n d u i t e r~duite, d = d i m Y . P a r le lemme de n o r m a l i s a t i o n ([2] Chap. V § 3 , il existe u n m o r p h i s m e
x - ~ Spec k[yl,... 'Yd] = ~
i n d ~ i s a n t u n m o r p h i s m e fi~i Y --> T . Par suite l ' a n n e a u l o c a l i s @ s t r i c t de OX, x est i s o m o r p h e au loca!is@ strict de Ox',x' , oh
X' = X ×TSpecR--~) , et oh x' est un p o i n t ferm@ bans X'
(ii) Ce cas se t r a i t e d'une f a g o n a n a l o g u e . O n peut s u p p o s e r X affine, d ' a n n e a u A . Bolt Y l ' a d h @ r e n c e de x bans X avec la s t r u c t u r e in- d u i t e r@duite, qul est u n s o u s - s c h @ m a ferm@ de la fibre f e r m @ e X ° de X sur Spec R , et soit d = d i m Y . Alors, en r e l e v a n t les @ l @ m e n t s y l , . . . , y d be A ~ R k e n v i s a g @ s dans i) en des @ l ~ m e n t s de A , on t r o u v e un m o r p h i s m e
x - - - > S p e o R[yl,...,yd] o
i n b u i s a n t u n m o r p h i s m e fin___~ Y - - - ~ T ° . Soit R' le l o c a l i s 4 strict de
R[yl,...,yd]
= B en l ' i d @ a l p r e m i e r ~ B , A l o r s R' est u n a n n e a u de v a l u a t i o n d i s c r e t e s t r i c t e m e n t local, et on peut p r e n d r e X' = X × T S p e c R',et x' u n point ferm4 de X' a u - d e s s u s de x .
4.
D i m e n s i o n c o h o m o l o ~ i ~ u e : c a s ~ i n v e r s i b l e dans ~ X 'T h @ o r ~ m e 4.1 S o i t X u n s c h 6 m a n o e t h @ r i e n , ~ ~ ~ , e_~t une f o n c t i o n sur X , h v a l e u r s d a n s @ , et s a t i s f a i s a n t aux c o n d i t i o n s s u i v a n t e s
(i) Pour chaque x e x , c d ~ k ( x ) ~ ~ (x) •
(ii) Soit x ~ X et y ~ Y = a d h @ r e n c e de x , y ~ x . Soit K l'anneau des fonctious rationnelles d'un localis@ strict de Y au-dessus de y . On a cd~ K <~(x) - ~ (y) .
A l o r s p o u r chaque f a i s c e a u de ~ - t o r s i o n F sur X on a
si
~q(x,F) = o
d ~ f t '
D~monstration. Les h y p o t h e s e s seront aussi v ~ r i f i ~ e s pour la f o n c t i o n r e s t r i c t i o n de ~ , ~ un s o u s - p r ~ s c h ~ m a quelconque de X , donc par r ~ c u r r e n c e n o e t h ~ r i e n n e nous pouvons supposer le th~or~me vrai pour chaque s o u s - p r ~ s c h ~ m a ferm6 de X distinct de X . Soit F donn6 et
~crivons F = l i m F i oh les F i sont les s o u s - f a i s c e a u x c o n s t r u c t i b l e s de F (IX 2.9 ( i l l ) ) .
Pour chaque Fi, l'ensemble des x ~ X fiels que F x # 0 esfi consfiruc- tible dans X , et nous pouvons appliquer l'hypoth~se de r ~ c u r r e n c e &
chaque F i dont le support n'est pas dense. On volt ainsi que l'hypoth~se de r ~ c u r r e n c e implique en fait que le th6or&me est vrai pour chaque F qui est nul en au moins un des points m a x i m a u x de X . Nous allons donc supposer que F ne satisfait pas & cette condition.
Soit m a i n t e n a n t i : Spec R(X) ---> X l'inclusion, oh R(X) est llanneau des fonctions r a t i o n n e l l e s de X , et consid~rons la suite exacte suivante, oG K et C sont d~finis comme noyau et conoyau r e s p e c t i v e m e n t :
0 ----> K ~ F ~ i i*F > C > 0
ici K et C sont nuls en chaque point maximal de X , donc d'apr&s (ii), ~ (K) (resp. ~ (C)) est strictement plus petit que n = ~ ( F ) , d~oh Hq(X~K) = Hq(x,c) = 0 pour q ~ n . D o n c p o u r d~mon- trer Hq(X,F) = 0 pour q ~ n , il suffit, grace aux suites exactes de cohomologie, de d ~ m o n t r e r H q ( X , i . i * F ) = 0 , donc nous pouvons supposer que F est de la forme i.C , pour un ~ - f a i s c e a u convenable G sur
Speo R(x) .
E x a m i n o n s l a suite spectrale de Leray.
E~,q = HP(x,~q~.G) ~HP+q(Speo R(X), G) .
Or R ( X ) r ~ d est produit des corps k(x) pour x maximal dans X , d o n c c d ~ R ( X ) ~ n dtapr~s (i) , d o n c l ~ a b o u t i s s e m e n t de la suite
spectrale est nul en dim ~ n .
Nous voulons d4montrer que E~ 0 = 0 pour p > n . En examinant la suite spectrale, on volt qulil suffit de d@montrer que E~ q = O si q > O
et si p > n-q-i .Donc, par r4eurrence, il suffit
de d4montrer que q ( R q i , G ) < n - q pour q > 0 . Mais d'apr~s
V I ~ 5 . 2 la fibre de Rqi.G en un point g4om4trique ~ au-dessus d'un point y ~ X n~est autre que Hq(spec K, GK) , oh K est 1Tanneau des fonctions rationnelles du localis4 strict de X en ~ , et G K est le faisceau induit sur Spec K . On a c d z K < n - ~ [ y ) d'apr~s (ii) , dtoh (Rqi.G)~ = 0 si q ~ n - ~ ( y ) , ce qui donne le r4sultat cherch4.
Corollaire 4.2. Soient X un sch4ma noeth4rien, ~ 6 P , n £ et sapposons ~ue lee cgnditions suivantes sgient satisfaites : (i) Pour cha~ue point y d e_e X de codimension c , on a c d ~ k ( y ) ~ n - 2c .
(ii) Pour chaque anneau A , localis4 strict d'un sous-sch~ms ferm4 irr@ductible Y d_£e X , on a o d o R ( A ) ~ dim A .
Alors
cd 6 X ~ n .
Plus pr@cis@ment, si F est un ~ -faisceau qui est nul en chaque point y de codimension < s , on a
Hq(X,F) -- 0 si q > n - 2 s
En offer, on peut prendre ~ (y) = n-2codim y et appliquer 4°I, dont la condition (i) (resp. (ii)) ~4sulte de la condition corres- pondsmte de (i) (resp. (ii)) de (4.2), compte tenu pour (ii) de l'in4- galit4 dim ~y,y + dim ~X,x ~ dim ~X,y "
Corollaire 4.5. Soit X de type fini et de dimension n sur un corps k et soit ~ # car k . Alors cd~.X .< 2 n + cd~ k .
On applique le corollaire pr@c@dent, en y remolagsut n par 2n + cd~k, et utilisant 2.1 et 3.2 pour v~rifier les conditions (i) et (ii) de 4.2, et tenant compte pour (i) de l~in~galit@
deg.tr.K(y)/k + d i m ~ x , y ~ d i m X .
Corollaire 4.~° Soit X n6eth@rien, et ~ ~ ~ inversible sur X . Supposons que la condition (ii) d e 4.2 est satisfaite~et que de plu s
~ 2 ~ qu'aucun o0rps r@siduel de X ne soit ordonnable. Alors on a
od$ X g cd~R(X) + dim X g 2odgR(X)
On pose n = c d ~ R ( X ) + dim X dans 4.2 , et on applique 2.4 , qui implique la condition (i) de 4.2 , car
crick(y) ~ c d ~ R ( ~ x , y ) - dim ~ X , y ~ c d ~ R ( X ) - dim ~ X , y ~ n - 2 dim ~X,y' La deuxi~me in~galit~ d~ns 4.4 r@sulte de 2.5 •
Exemple 4,.5.L'hypoth~se in@i@gante sur !es corps r~siduels faite dans 4.4 , est n@cessaire, comme on volt avec X = S p e c ~ E x , y , z ] / ( x 2 + y2+ z2), o~
routes les autres conditions sont satisfaites, avec dim X = c d ~ R ( X ) = ~ = 2 , mais le faisceau 2 / 2 concentr@ au point (0,0,0) a une cohomologie non nulle en chaque dimension, donc c d ~ X = + co •
4.6. On est tent~ aussi d'essayer dans 4.2 de mettre des hypotheses seulement sur les points ferm~s de X , mais ce n'est pas possible. Par exemple il existe des anneaux de valuation discrete ~ corps r@siduel alg@briquement c l o s e t ~ corps de fonctions ayant une dimension cohomolo- gique arbitrairement grande (.). Le spectre dtun tel armeau aura aussi une dimension cohomologique tr~s grande.
(*) Pour s'en convaincre, il suffit de noter que si X est u n sch@ma alg@brique lisse sur un corps k , admettant un point x E X(k), alors on peut trouver un "arc de courbe formel"passant par x dont
"l'enveloppe ~lg@brique" soit X , et dont le corps des fonctions contient donc celui K de X , et y induit une valuation discrete
5. D i m e n s ! o n o o h o m o l o g i q u e ~ c a s ~ : p .
5.0. En u t i l i s a n t la th4orie d ' A r t i n - S c h r e i e r (IX 3.5) on obtient une m e i l l e u r e m a j o r a t i o n que 4.3 pour la p - d i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e d'un schema X de c a r a c t @ r i s t i q u e p . Soit cdqc X le plus g r a n d hombre n tel que Hn(X,F) / 0 pour au moins un f a i s c e a u de M o d u l e s F q u a s i - c o h @ r e n t sur X (au sens de Zariski). On a l e
T h @ o r & m e 5.1. Soit X u n p ~ 0 . Alors
sch@ma n o e t h g r i e n de c a r a o t ~ r i s t i q u e
CdpX ~ cdqc X + I .
En particulier, 15a p - d i m e n s i o n c o h o m 0 1 o g i q u e d'un soh@ma n o e t h @ r i e n affine X de c a r a c t @ r i s t i q u @ p > 0 est au plus ~gale & I
D @ m o n s t r a t i o n . A p p l i q u o n s IX 5.5 :
T e n a n t compte du fait que los R q f F , q > 0 , sent nuls pour un mor- phisme f fini et pour un f a i s c e a u a b @ l i e n F (VIII 5.5) (resp. un f a i s c e a u F quasi-coh@rent), on se f a m i n e & d @ m o n t r e r que
H q (X,i1( X / p ) @ = 0 pour i~U ---)X une i m m e r s i o n ouverte et pour q > cdqo X .
Or soit Y un s o u s - p r @ s c h @ m a ferm~ de X de support X - U et soit J le faisceau coh@rent d ' i d @ a u x d g f i n i s s a n t Y . Le morphisme p : f ~-->fP- f (IX 3.5) induit un m o r p h i s m e J - - , J . En e x a m i n a n t la suite exacte IX 3.5 et la suite exacte
on voit qu'en a en fait une suite exacte
(*) o ,, ~ i z ( ~ / p ) ~ > J > J ,, > o .
Puisque J est coh@rent on a Hq(x,J) = 0 pour q ~ cdqc X , d'oh le
r g s u l t a t par la suite exacts de cohomologie.
Pour un ssh@ma q u a s i - p r o j e c t i f sur un corps k sEparablement clos, on peut r @ d u i r e cette m a j o r a t i o n duns c e r t a i n cas par I . On a en fait
C o r o l l a i r e 5 , 2 . Soit X un schema de type fini sur un corps k de c a r a c t E r i s t i q u e p ~ 0 . On a
CdpX ~ dim X + I ,
et si k e st s@parablement c l o s e t X q u a s i - p r o j e c t i f ~ ) , on a
CdpX ~ dim X .
En effet, la premiere a s s e r t i o n est claire, puisque
cdqc X ~ dim X ([6] 4.15.2) . Traitons la deuxi~me : Pour un tel X , les groupes de c o h o m o l o g i e Hn(X,F) (n = dim X) , pour un faisceau coherent F , sont des espaces v e c t o r i e l s de d i m e n s i o n finie sur k . Soit V = Hn(x,J), o~ J est le faisceau d'idEaux qui figure duns la suite exacts (*). Le morphisme ~: V - g V dEduit de (*) est 4videm- ment de la forme ~ = ~ - id ou ~ satisfait ~ E (rv) = r p £ ( v ) pour r 6 k et v ~ V ~ La jacobienne de l ' a p p l i c a t i o n @ du schema affine dEduit de ~ est donc -I , I la matrice identique. Par suite ~ est Etale, doric s u r j e c t i f parce que additif, et il s'ensuit que ~ est s u r j e c t i f puisque k est s E p ~ r a b l e m e n t clos, d~oh aussitSt la conclusion.
(*) Utilisant le lemme de Chow, il est facile de r e m p l a c e r la c o n d i t i o n
"X quasi-projectif" par "X sEparE".
6. Dimension oohomolo~ique pqur un p r 4 s c h 4 m a d e type fini sur Spec ~ . PropOsition 6 . 1 . Soit X quasi-fini au-dessus de S p e c • .
Supposons que ~ ~ 2 oh que chaque corps r4siduel de X de caract4- ristique z4ro est totalement ima6inaire. Alors o d ~ X ~ 3 •
C'est une cons@quence de Th4or~me 2.2 (ii), du Corollaire 4.2 et du fait qu'un corps de nombres (totalement imaginaire si
= 2) est de ~ - d i m e n s i o n ¢ohomologique ( 2 (CG II
4.4).
I1 s'ensuit en fait de la th4orie des corps de classes qu'on a l'4galit4 s i l e morphisme X ) Spec ~ est propre et surjectif.
Malheureusement los r4sultats d u n ° 4 ne s'appliquent p a s t e l s quels si X est seulement de type fini sur Spec Z , parce que llhypo - th~se (ii) de (4.2) n'est pas en g4n4ral v4rifi4e pour les anneaux looaux de caract4ristique r4siduelle~.0n dolt donc utiliser le r~sultat (5.1) pour obtenir la bonne majoration; on va maintenant se payer pour le th4or~me (5.1).
Th4or~me 6.2. Soit X de type fini sur Spec ~ , et soit ~ ~ Supposons, s_~i ~ = 2 , qu'aucun corps r4siduel de X n'est ordonnable.
Alors
c d ~ X ~ 2 dim X + I
P l u s ~r@cis@ment, soit F un faisceau de ~ -torsion tel que ~our tout point x d_ee X tel que F~ ~ 0 , on ait
dim
[(~-1)/2 s i ~ / c~r k(=)
N-I si ~ = car k(x)
i adherence aloes
RP(x,F) = 0 si p > ~
D@monstration° Par r g c u r r e n c e sur X , nous pouvons supposer le th@or~me vrai pour chaque s o u s - p r @ s c h g m a ferm~ distinct de X . Si F est comme dans l'gnoncg et si on @crit F - lim F i oG los F i sent los sous-faisceaux c o n s t r u c t i b l e s de F (IX 2.9 (iii)), chaque F i v@rifie aussi los m@mes hypotheses. I1 smffit donc de d@montrer le th@or~me lorsque F est construetible.
Or dans ce cas l'ensemble E des x E X tels que F~ ~ 0 est un s o u s - e n s e m b l e constructible, et l'hypoth~se de r @ c u r r e n c e implique que le th@or~me est vrai pour chaque F tel que E ne soit pas dense.
De plus, le th@or~me est une c o n s @ q u e n c e de 5.1 pour un f a i s c e a u concentr@ sur la fibre de X en le point (~) de Spee ~ , e t de 4.3 pour un f a i s c e a u conoentrg sur la fibre en (p), oh p ~ ~ , compte tenu que cd 4 Z / p ~ = 1 (CG I I 2 . 2 ) .
Prenons X r@duit, et soit X = X o U X I oh X I est le sous- ensemble ferm@, r @ u n i o n des c o m p o s a n t e s i r r @ d u c t i b l e s de X de earact@- ristique ~ , et oh X o est la r@union des autres c o m p o s a n t e s irr@duc- tibles, X ° et Xt @tant munis des structures induites r@duites.
Soient J9 : X ~ - - ~ X les inclusions et soit d ~ = dim X 9 , et N = sup { 2 d +I, dI+I ~ . Pour tout F constructible sur X on a une suite exacte.
• " * F " " *
( * ) 0 .-.--> F ~ 3 o * j ° (~ 0 1 - 0 1 F ... > C ---~ 0 ,
oh C est concentr@ sur X ° o X I , qui est de c a r a e t @ r i s t i q u e ~ et de d i m e n s i o n ~ di-I . I1 s'ensuit que
~q(x,c) = o ~i q > N - 1 ,
c~r en v e r t u de 5.1 on a c d ~ ( X o n X I) ~ dim X o o X I + I ~ d I # N-I En examinant la suite exacte de cohomologie relative de (.) , on se famine au cas X = X o oh X = X 1 , et ce dernier est c o n s @ q u e n c e de 5.1 , comme on l'a d@j& signal@.
Supposons donc que chaque point maximal de X est de c a r a c t 4 - r i s t i q u e diff4rente de ~ , et soient i ~ : x~---> X les inclusions des points maximaux. En examinant la suite exacte
0 ~ K ... > F ~ ~ i ~ . i g * F ~) C ) 0
on se r4duit par r 4 c u r r e n c e au cas F = 19 . i j F , c ' e s t - ~ - d i r e F de la forme i.G pour u n faisceau G c o n v e n a b l e sur Spec k(x) , x un point de X . On peut donc supposer X irr4ductible et r4duit, ~ point g 4 n 4 r i q u e x , et que la c a r a c t 4 r i s t i q u e de k(x) est z4ro d'apr~s 4.3 •
E x a m i n o n s la suite spectrale
(**) RP(x,R%.G) ~ H P + q ( s p e c k(x) , G)
Soit s = dim X . Ii nous faut d 4 m o n t r e r que
(+)
E~ 0 = 0 pour p ~ 2s + IOr k ( x ) [ i ] est de degr4 de t r a n s c e n d a n c e s-1 a u - d e s s u s de O [ i ] qui est u n corps de d i m e n s i o n c o h o m o l o g i q u e 2 . Puisque k(x) n'est pas o r d o n n a b l e si ~ = 2 , il s'ensuit de 2.1 qu'on a c d ~ k(x) = s + I . 9 a i m p l i q u e que le but de la suite spectrale est nul pour n > s + I II suffit donc pour (+) de d @ m o n t r e r que dans (**) on a
(++) E~ q = 0 si p ~ 2s - q et q > 0 .
Soit y u n point de X et K l'a~ueau des fractions d'un localls4 strict en un point g @ o m 4 t r i q u e ~ de X a u - d e s s u s de y . A l o r s K est produit direct de corps dont chacun est de degr4 de
t r a n s c e n d a n c e s-1 sur u n localis4 strict de ~ , et on a doric, d'apr~s 2.1 et 2.2 , c d ~ K ~ s . De plus on peut a p p l i q u e r 5.2 si la c a r a c t 4 r i s t i q u e r 4 s i d u e l l e de y n'est pas ~ . On a donc
( - ) ( R % . G ) ~ - - o I
si q > codim y, i.e. dim y > s-q ,et f # car k(y), ou si q > s e n tout cas.
En particulier on a E~ q = 0 si q > s . Pour v4rifier (++) dans le
eas 0 < q $ s , on applique l~hypoth&se de r4ourrence aux faisceaux Rqi.(G).
D'apr~s l:4none4 et ("),il faut poser deux in4galit@s
oh X ~ est le fibr4 de X Elles sont bien vraies si
N' = 2s - q
s - q 4 ( ~ , - t ) / 2
S-1 = dim X ~ N'-I ,
au-dessus du peint 0 < q ~ s , cqfd.
et v~rifier les
( ~ ) de S p e o ~-. °
BIBLIOGRAPHIE
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