Commande optimale d'une centrale nucleaire GCFR ä l'aide de la programmation quadratique

gc

UJ

Eidg. Institut für Reaktorforschüng Würenüngen Schweiz

Commande optimale d'une centrale nucleaire GCFR ä l'aide de la programmation quadratique

P.B.Raboud

T

Würenüngen, November 1972

Commande optimale d'une centrale nucléaire GCCR à l'aide de la programmation quadratique

P.B. Raboud

November 1972

- 1 -

Table des matières

page

Introduction vii Chapitre 1: Système physique (Description de l'in-

stallation nucléaire GCFR)

Chapitre 2: Modèle mathématique de la centrale nu-

cléaire 3 S 2.1: Propriétés des systèmes physiques et

types de modèles mathématiques

S 2.2: Méthodes pour établir le modèle mathéma-

tique "a priori" d'un système physique 4 S 2.3: Etablissement du modèle "a priori" de

l'installation nucléaire GCFR 4 S 2.4: Choix des variables de commande 29

Chapitre 3: Simulation de la centrale nucléaire à

l'aide du langage de programmation MIMIC 3C

5 3.1: Méthodes de simulation 30 S 3.2: Simulation du processus physique â l'aide

du langage MIMIC 31 S 3.3: Difficultés numériques liées au système

non-linéaire représentant la centrale

nucléaire 32 S 3.4: Performances du code COPINE 34

Chapitre 4: Formulation du problème de recherche

d'une loi de commande optimale 36 S 4.1: Données et formulation du problême 36 S 4.2: Choix d'un critère de performance qua-

dratique 38 S 4.3: Remarques concernant les valeurs des élé-

ments Q.. et R.. des matrices Q et R 40 ii jj

Chapitre 5: Linéarisation du modèle mathématique 42 5 5.1: Problèmes posés par la recherche d'une loi

de commande optimale. Simplifications 42

$ 5.2- Conditions pour simuler un processus phy- sique è l'aide d'un modèle mathématioue

liiéaire 44

$ 5.3: Méthodes d'estimation des paramètres con- cernant le modèle linéaire d'un système

dynamique 46

$ 5.4: Estimation des paramètres du modèle li- néaire du CCFR a l'aide des réponses,

à des perturbations, du modèle non-linéaire 50 Chapitre 6: Méthodes d'optimisation utilisées dans la

théorie de la commande optimale 60

$ 6.1: Méthodes d'optimisation pour les processus

continus 60

§ 6.2: Méthodes d'optimisation pour les processus

avec variables de commande discrétisées 72

$ 6.3: Stratégie optimale de commande pour un sy-

stème non-asservi 77

$ b.4: Stratégie optimale de commande pour un sy-

stème asservi 60 Chapitre 7: Détermination de la stratégie optimale de

commande de la centrale nucléaire GCFR è

l'aide de la programmation quadratique 89

$ 7.1: Données du problême 89

$ 7.2: Comportement dynamique de la centrale nu- cléaire GCFR sous l'action du système de

commande optimale 91

$ 7.3: Discussion des résultats 99

Chapitre 8: Conclusions 104 S 8.1: Elaboration du modèle mathématique non-

linéaire de la centrale nucléaire 104

$ 8.2: Obtention du modèle linéaire de l'irstalla-

tion 105

$ 8.3: Choix de la méthode d'optimisation 105

- 111

Appendices:

Appendice A: Caractéristique ds fonctionnement d'un compresseur axial S O J S forme d'équa-

tions (fluide moteur, hélium) 107 Appendice B: Modèle mathématique du bloc (l) 112 Appendice C: Réduction d'un système dynamique S de

dimensions p en un système S_ de

dimensions n 119 Appendice D: Propriétés de la matrice G(t,t ) 124

Appendice E: Propriétés des matrices \-rn* L « et L^p 131 Appendice F: Algorithme de programmation quadratique

de Fletcher 139

Nomenclature 147 Références 149 Figures 1 - 3 8

Biographie

- v

Remerciements

Je tiens à remercier Monsieur le Professeur Weinberg pour ses encouragements et ses conseils tout au long de ce travail.

Bien que Monsieur le Professeur Mansour ait été associé tardi-

vement à cette thèse je tiens à le remercier pour l'intérêt qu'il a montré.

Je voudrais mentionner spécialement le Docteur H.A. Nour-Eldin à qui j'ai emprunté la méthode présentée au Chap. 6 et, avec qui j'ai eu de multiples et précieux échanges d'idées.

Au cours de ce travail j'ai reçu un appui généreux de la part de Messieurs Tom Liebling et Kasra Hazeghi, collaborateurs du Prof. F. Weinberg.

Je tiens à remercier le Docteur Gerassimos Sarlos et ses collègues du Département d'Etudes de l'Institut Fédéral de Recherches en Matière de Réacteurs â Wûrenlingen. Un remerciement spécial va à Mademoiselle Irène Schenker qui a dactylographié ce travail.

Pour les travaux de programmation, l'appui de Monsieur Pierre- André Thomi (du Département de Physique) a été très utile et

efficace, je lui doit toute ma reconnaissance.

Je remercie Monsieur Léo Lys (ancien Chef du Département d'Etudes) qui a su créer les possibilités matérielles pour entreprendre

ce travail.

Last but not least, j'aimerais exprimer ma gratitude â la maison FIDES-Treuhandvereinigung de Zurich qui a adapté spé- cialement son compilateur de langage MIMIC aux besoins de ce problème et qui m'a fait don de nombreuses heures de calcul sur son ordinateur CDC 6500.

- vii -

Introduction

Le développement de la technologie des ordinateurs et des tech- niques de programmation ont conduit à" les utiliser de façon sy- stématique pour la surveillance et l'exploitation des centrales nucléaires <23.'LL'IÈ^ • Pour des applications futures on prévoit en particulier d'utiliser des ordinateurs en ligne* pour la com- mande digitale directe des centrales (2£,_76,79..JH)»Èl^ • ^{D a n s}

l'étude que nous présentons, nous nous sommes fixés les deux buts suivants:

déterminer, de façon hors ligne* et à l'aide d'un algorithme de la Recherche Opérationnelle, la stratégie** optimale de

commande - pour un système non asservi*** - d'une centrale nucléaire GCFR**** de 1000 MWe (Chap. 7).

trouver un procédé d'application - sur ordinateur en ligne (voir fig. 11) - de l'algorithme trouvé qji permet d'obtenir un système asservi (Chap. 6 ) .

Ce procédé ievrait, d'une part, tenir compte des capacités ac tuelles des ordinateurs et, d'autre part, être facilement amélio- rable en fonction de l'évolution technologique des ordinateurs.

*) On trouve plus couramment dans la littérature de? ordina- teurs les expressions anglaises on-line (en ligne) et off- line (hors ligne)

••) Nous utilisons ce terme "stratégie optimale" par confor- misme intellectuel. En réalité nous devrions parler de

stratégie sous-optimale, car la stratégie optimale que l'on trouve est optimale par rapport à un modèle mathé- matique rit un critère de performance, qui sont des in- strument- plus ou moins parfaits pour définir les per- formances du processus physique étudié.

***) Un système asservi est défini dans la théorie de l'in- formation comme "un système â retour destiné â trans

mettre des informations avec amplification de puissance".

****) GCFR est l'abbréviation anglaise de Gas Cooled Fast Reac- tor.

Afin de déterminer - pou.- un intervalle de temps donné - la stra- tégie optimale de commande de la centrale GCFR, nous avons dû

reorésenter le processus physique (Chap. 1) par des relations mathématiques dont l'ensemble constitua le modèle mathématique

(Chap. 2)

simuler le comportement dynamique du processus afin d'en con- naître les propriétés essentielles (Chap. 3)

définir un critère de performance permettant d'effectuer ra- tionnellement ' - choix de la politique optimale de commande

(Chap. 4)

choisir, pour les contraintes sur les variables du processus, des expressions mathématiques qui ne compliquent pas trop le

calcul de la stratégie optimale à l'aide d'un algorithme de la Recherche Opérationnelle (Chap. 5)

chercher un algorithme de la Recherche Opérationnelle qui, lors da son application sur ordinateur, est économique quant au temps de calcul et aux places occupées dans la mémoire cen- trale de l'ordinateur (Chap. 6 et 7 ) .

Ces différentes étapes sont représentées de manière schématique en fig. 1.

A notre connaissance, aucune étude de ce genre n'a été faite

jusqu'à ce jour dans le domaine des surrégénérateurs rapides GCFR*.

Oe telles installations sont actuellement à l'étude aux Etats Unis, Gulf General Atomics Inc. (San Diego, Calif.), en Alle- magne, GfK (Karlsruhe), KFA (Julich), BBK (Mannheim), et, en

Suisse, Eidg. Institut fur Reaktorforschung (Wûrenlingen), Brown- Boveri-Sulzer Turbomaschinen AG (Zurich).

*) On trouve en (2!(3) et (2!3) des études similaires concernant d'autres installations (réacteu nucléaire BW'R, etc.)

1

C H A P I T R E 1

SYSTEME PHYSIQUE

Description de l'installation nucléaire GCFR

Ce type de réacteur étant décrit d'une manière exhaustive dans la littérature ^Z'U'IZ'IA'I^^ nous ne faisons ici qu'un bref rappel.

L'installation est un réacteur refroidi à l'He (fig. 2) avec trois cycles à gaz en parallèle» chacun étant composé de trois

compresseurs et deux turbines (fig. 3 et 4 ) . L'installation que nous étudierons est légèrement différente do celle représentée en fig. 2: nous considérons que le compresseur (haute pression) se trouve sur le même arbre que la turbine (haute pression)

(fig. 3).

Cet arrangement à deux arbres qui est dynamiquement très stable, permet d'une part â la turbine B.P. d'entrainer le générateur au nombre de tours synchrone, d'autre part de laisser tourner librement la turbine H.P. et les compresseurs à un nombre de tours plus élevé; cette mesure permet de réduire les dimensions géométriques resp. les coûts des turbomachines sur l'arbrs H.P.

(8,9).

Si l'on considère le diagramme Température-Entropie du cycle ê gaz (fig. 4 ) , ce dernier se laisse définir de la façon suivante:

L'énergie thermique produite dans le réacteur est transformée en énergie mécanique dans les turbines H.P. et B.P.

la turbine H.P. entraine les compresseurs qui fournissent le débit d'He nécessaire pour refroidir le coeur. Les re- froidisseurs sont chargés de maintenir la température de

l'He suffisamment basse à l'entrée des compresseurs, afin d'en améliorer le rendement. Le récupérateur est chargé de récupérer une partie de l'énergie thermique (à la sortie de la turbine B.P.), qui autrement serait perdue dans les refroidisseurs.

la turbine B.P. fournit la puissance mécanique utile pour entrainer le générateur électrique.

Les valeurs des grandeurs thermodynamiques et géométriques de l'installation nucléaire qu'on étudie ont été calculées de telle façon que le prix du kWh soit minimum (JJ_,13}. La liste des principales données géométriques, thermodynamiques, etc, de la centrale étudiée est donnée en fig. 5 et en (6).

- 3 -

C H A P I T R E 2

MODELE MATHEMATIQUE DE LA CENTRALE NUCLEAIRE

2.1 Propriétés des systèmes physiques et types de modèles mathématiques

Il est connu que la plupart des systèmes physiques à régler sont dépendants du temps» non-linéaires* entachés de bruits et possèdent des paramètres distribués (34,53).

La théorie contemporaine de la commande traite de tels sy-

stèmes à l'aide de modèles composés d'éléments idéaux, discrets et sans bruits. Les outils mathématiques utilisés sont des

équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles et, la théorie de la stabilité linéaire. Les non-linéarités et

les bruits sont étudiés en général très sommairement (J7)•

En fait si le modèle mathématique d'un système physique est basé sur des éléments fortement idéalisés, ce modèle n'est applicable que lorsque les résultats qu'on en tire sont en accord avec la pratiqte. Un tel modèle est dit du type "a pos- teriori" d'après la terminologie de Tomovic (63).

Cependant nous recherchons une théorie qui soit capable de dé- duire â partir d'une connaissance raisonnable des propriétés de composantes (du processus physique) une bonne connaissance des propriétés issues de la combinaison de ces mêmes composantes entre elles. Une telle théorie est appelles "théorie a priori"

d'après Tomovic (£3) et le modèle mathématique correspondant est dit "modèle a priori".

Pour établir celui-ci, on dispose de deux méthodes distinctes, mais équivalentes, qui correspondent en définitive h l'alter-

native physique microscopique ou macroscopique* conduisant à ce qui peut être appelé un modèle inductif resp. déductif.

2.2 Méthodes pour établir le modèle mathématique "a priori"

d'un système physique

Modèle inductif; partant d'une connaissance détaillée des pro- priétés des composantes, leurs interactions élémentaires sont déterminées et, on en déduit les propriétés du système physique entier. La variabilité de celui-ci est ainsi exprimée en termes de variabilité des composantes individuelles.

Modèle déductif: partant des propriétés observées du système physique complet (variabilité incluse)» le modèle global de son comportement est établi. La variabilité des composantes est exprimée implicitement par la variabilité du système physique complet.

2.3 Etablissement du modèle mathématique "a priori" de l'in- stallation nucléaire GCFR

2.3.1 Considérations générales

Au cours de l'élaboration du modèle mathématique "a priori" de l'installation nucléaire GCFR nous utilisons pour une partie des composantes du processus physique (compresseurs et turbi- nes), un modèle déductif et pour l'autre partie, un modèle in- ductif. La raison d'une telle division s'explique par les deux exemples suivants:

- 5 -

Ex. 1: Les relations qui fournissent les caractéristiques d'un compresseur à plusieurs otages ont été trouvées à l'aide de données expérimentales, obtenues en me- surant le comportement global du compresseur pour di- vers états de marche. On a ainsi un modèle déductif de celui-ci (Appendice A ) .

Ex. 2: Les relations qui définissent le comportement d'un refroidisseur sont les trois équations bien connues de conservation. A l'aide d'une discrétisation dans l'es- pace il est possible de connaître le comportement du refroidisseur en ses divers points discrets et par le même fait son comportement global. On a donc un modèle

inductif du refroidisseur (voir S 2.3.4).

2.3.2 Concept des blocs

L'installation nucléaire est composée de *rois cycles à gaz (en parallèle) identiques, dont nous simulons un seul (fig. 3 et 6). Cette hypothèse est permise car chaque cycle possède son propre système de réglage et l'interaction des deux autres cycles à gaz sur le cycle simulé peut être assimilée à une

perturbation.

Il est simple et rationnel de diviser le modèle mathématique du cycle considéré en blocs. Un bloc est défini comme une par- tie du cycle comprenant par définition (voir exemple, App. B ) : - deux turbomachines consécutives

les tuyaux, accumulateurs, échangeurs de chaleur situéB entre ces turbomachines. On considère ici le réacteur comme un échangeur de chaleur d'un type particulier.

En rendant aisé le choix des conditions aux limites, une sché- matisation en bloc permet

de programmer chaque bloc pour soi

- d'effectuer séparément pour chacun les tests et la mise au point du programme digital le concernant.

Dès que les cinq blocs sont au point, on obtient aisément le modèle mathématique de toute l'installation par un couplage en cascade de ces blocs.

Nous faisons dans les paragraphes qui suivent une brève des- cription des équations qui régissent le comportement de l'He et d'un solide pour les composantes faisant partie des blocs, ainsi qu'une justification des hypothèses et simplifications.

Une description plus complète du modèle mathématique peut être trouvée en [23).

Nous allons étudier les différents cas qui suivent:

comportement dynamique de l'He dans un canal non chauffé (tuyau)

comportement dynamique de l'He dans un canal chauffé ou re- froidi (refroidisseur, récupérateur, réacteur, etc)

compurtement cinétique des neutrons

comportement thermodynamique d'un solide (ceci concerne soit la gaine et le combustible du réacteur, soit les pa- rois des échangeurs)

comportement quasi-stationnaire de l'He dans un by-pass

comportement quasi-stationnaire de l'He dans un compresseur comportement quasi-stationnaire de l'He dans une turbine

- 7 -

2.3.3 Classification des phénomènes en fonction des diffé- rentes constantes de temps " T *

On distingue dans la centrale nucléaire GCFR des phénomènes à constantes de temps très différentes qu'on peut énumérer de la manière suivante

a) phénomènes à petites constantes de temps ayant trait à l'hydrodynamique: ondes de pression, de débit et de température se déplaçant à la vitesse du son (6_6,jîjJ) ;

T * 10~4 * 10"3 (s)

la cinétique des neutrons: évolution des neutrons prompts; T ~ 10 (s)

b) phénomènes à grandes constantes de temps ayant trait à l'hydrodynamique: transport de chaleur se faisant à la vitesse du gaz (£6,6J3); T « 10~2 * 10~1 (s)

la thermodynamique: comportement de la température dans un corps solide (J_5) ; ^T • 10 * 1 (s) -2

la cinétique des neutrons: comportement des neutrons retardés; * « io"1 * 10*2 (s)

la mécanique: variation du nombre de tours des turbo- machines; T » 1 * 10 (s)

Il est nécessaire de prendre en considération tous ces phéno- mènes lorsqu'on fait un modèle pour des études de sécurité

(pertes de réfrigérant» etc). Cependant pour un modèle servant à l'étude du système de commande il serait superflu de tenir compte des phénomènes â petites constantes de temps, car un tel système ne peut techniquement pas les prendre en charge. De

plus les variations de régime qu'on se propose d'étudier ne sont pas d'un caractère catastrophique tel qu'une rupture de

tuyau - provoquant des ondes de pression, de densité et de dé- bit qui sont des phénomènes très rapides - mais* des change- ments de niveau de puissance électrique, qui sont des phéno- mènes très lents. La première simplification essentielle que nous faisons consiste à

éliminer dans les équations du modèle mathématique les ter- mes simulant les phénomènes rapides (voir S 2.3.4).

2.3.4 Comportement dynamique de l'Hélium dans les blocs

Nous introduisons ici la deuxième simplification essentielle du modèle mathématique en posant que le flux d'He dans les blocs est monodimensionnel.

Ne perdons pas de vue qu'un bloc est constitué par des tuyaux, des échangeurs de chaleur et des turbomachines. Les équations d'un flux monodimensionnel de gaz visqueux et compressible

sont tirées des réf. (V) et (71). La signification des symboles est donnée dans la nomenclature.

2.3.4.1 Bilan_de_la_gu§ntité^-de_mouvement 2

3m ^c 3 fi /m\ 1 C 2 e fo A.

e • +1 si le débit m est orienté vers les i croissants e • -1 dans le cas contraire (voir fig. 2.1)

- 9 -

Hi - 1 m

Hi * l

PU1

i - 1 ~ i " i * l

//////J//////y|

y y /////k// / / / / ;

2 AX(

Fig. 2.1 Flux de gaz dans un canal non chauffé

L ' é q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e d i s c r é t i s é e ( a v e c e • +1) s ' é c r i t s o u s l a forme:

2 3m. î

3t ^{- S}

f^Pi + 1 " ^Pi - 1 (^mi \ ^pi + 1 " ^pi - 1

\

i v

i /

^

2 m . m. ., - m. „

î 1+1 1-1 nr

PjS' ^2Ax. _I 2 - pⁱ- S «D

H

( 2 . 2 )

2 . 3 . 4 . 2 B i l a n _ ç T é n e r g i e

L ' é q u a t i o n g é n é r a l e du t r a n s p o r t de c h a l e u r s ' é c r i t (J_, page 1 8 5 ) :

dv.

pT

( s • - ^s )

pation dû â la conduction de

viscosité chaleur où s est ici l'entropie de l'He

2.3.4.3 Bilan_de_masse

3p 1 ôm ._ .

L'équation différentielle discrétisée s'écrit sous la forme:

I T ' S.2-AX.

i-1 - " W

'

2.3.5 Hypothèses et simplifications

2.3.5.1 Ç9QǧrD§Dt_l§_^Jl§G.^§_l§_9y§D^i^É_^§.

9yy§

§D^

Nous savons que la vitesse de propagation de petites perturba- tions de débit est égale à la vitesse du son (J.). Lorsque nous perturbons le débit à l'entrée d'un bloc, un train d'ondes le traverse; cependant nous ne nous intéressons pas à l'évolution de ces ondes mais au comportement dynamique du débit moyen

m(t) du bloc. On obtient une bonne approximation de ce débit d'He lorsqu'on le pose égal â la moyenne arithmétique du dé- bit à rentrée et du débit à la sortie du bloc considéré. Pour

les régimes qu'on se propose d'étudier (65 % - 105 % de la puissance électrique normale) on a pu vérifier (_7) que les erreurs dues à cette hypothèse sont faibles et, ne faussent pas l'estimation des débits et des pertes de charge dans l'in- stallation nucléaire. La conséquence logique de l'hypothèse formulée ci-dessus est de poser dans (2.2):

3m.

j ~ « 0 s s s ^ m ^ U ) - m

(t) « m

(t) « m(t) (2.6) avec

~f*i entrée sortie

-,

mit) « = (2.7)

- 11 -

Pour un canal non chauffé (tuyau), on trouve à l'aide de (2.2) et (2.6)

/ **i Pj*1 " «>i-lVm\

PLI • >^+ Ç I ^ - - - T — ) W

(2.8)

v

/

négligeable

(seulement dans ce cas)

pi - 1 " ^{( p}i - l • P i * 1^{) / 2} i

on obtient

" i - RÎT ( 2-9 )

•M • Pi-i Y ' (?) ^ * v ^T *

Pour un canal chauffé ou r e f r o i d i , on intégre l'équation (2.1) en posant diru/dt « 0 e t , en faisant les hypothèses suivantes:

f t vi ^ 1 "vi - 1 > ~ ( f Ï i f c , T M " Tl - 1 »

et

_2Ax,

-4 R T .

dx ~ _ i 2 i x .

P PM i

On obtient ainsi pour p .

l'expression qui suit:

Pi . - p., \ / - ( « J ^ ; ( « ^ v w v i ) « - ¹¹⁾

2.3.5.2 Çonçernant_le_bilan_d^§nergie

Dans les tuyaux et dans leô échangeurs de chaleur (réacteur excepté) nous avons des nombres de Mach < 0.1, d'où l'énergie de dissipation due â la viscosité peut être négligée. De même les pertes de charge dans les tuyaux et les échangeurs de cha- leur (réacteur excepté) sont faibles comparés è la pression ambiante. Ainsi on peut poser dans l'équation de transport de chaleur que la pression à un instant donné dans un tuyau (ou dans une zone axiale d'un échangeur de chaleur) est environ

la même en tout point de ce tuyau.

Cette hypothèse nous permet d'écrire selon (1^ page 188):

8s (ll\ U iLi / 9s\ 3Î t? \?\

3t " \ïl) 3t

3x " \dJj 3x l*-i*J où

(s) T = C (2.13)

P

En introduisant les équations (2.12) et (2.13) dans (2.3) on obtient

p ^3t 3x/ 6Q

+ ôQ

(2.14)

OÙ 9 v >

6

°D

iK J^

C

6

(2.15) A défaut de meilleures expressions nous posons pour 6 0

^Zl*

page 22):

S0

0 • «2ÉL l 7 J £

'

- 13 -

L'expression (2.16) sert à estimer l'énergie de dissipation dans le réacteur. Dans les tuyaux et les échangeurs de cha-

leur nous posons* selon la remarque faite au début de ce para- graphe.

«Q, (2.17)

Dans un canal chauffé l'apport d'énergie Qc, dû à la con- duction axiale de chaleur, est négligeable. Tout apport de chaleur dans le gaz ne peut être représenté que par convec- tion latérale, que nous simulons à l'aide de l'équation sui- vante:

«0,

V

G

R GP S (2.18)

où Rpp - résistance thermique entre l a p s r o i et le gaz ( v o i r f i g . ci-dessous et r e l a t i o n ( 2 . 1 9 ) )

F i g . 2.2 Flux de gaz dans un

canal chauffé ou r e f r o i d i

Paroi Gaz

Exemple;

GP

1

2 w r1°PG

«

2*X

\ 2i\, J Ax

\ » conductibilité thermique de la paroi op G • coefficient de transfert de chaleur

(2.19)

A l'aide des hypothèses faites ci-dessus, l'équation (2.14) discrétisée, s'écrit:

Canal non chauffé

3T. RT. A . , - T. A

1 m m î f i*1 i-1 l

ôt S p

^ 2Lx

J

— •

C P

ky±) s ³

où

p ₁ i RT.

î

(2.20) où p^F est la pression d'entrée du canal

Canal chauffé (ou refroidi), réacteur excepté

ST. RT. A . ,-T. \ T .-T. RT. «

_JL = - 12 __i [-il] IZl) + P

* 1 1 (2.21

3t S p^E ^ 2Ax. ) R. ^{G p} p^E S.A^x..C^p m » débit d'He dans le canal

i s indice de la zone axiale considérée Canal chauffé (réacteur exclusivement)

3T. RT. A . .-T. A T .-T. RT. „ i m i f i»1 1-1 \ ⁺ pi i i 1

3t " S p. ^ 2AX. J R .

p. S-Ax.-

+ Ç

2t

^

"^

'

2.3.5.3 Çgnçernant_le_bilan_de_masse

Compte tenu des hypothèses faites aux 5 2.3.5.1 et S 2.3.5.2 nous posons le bilan de masse pour le bloc et non pas pour les composantes à l'intérieur du bloc.

- 15 -

Ainsi, l'équation (2.5) s'écrit sous la forme:

| | « - 1 (m^s - m^£) (2.23)

p * densité moyenne de l*He dans le bloc rru - débit d'He à la sortie du bloc

m = débit d'He à* l'entrée du bloc

V ^s volume occupé par l'He dans le bloc

La densité p équivaut à la moyenne faite sur les volumes

l V p .

i = 1 ^{x a} r

i=1

i = 1,...r (2.24)

où r est le nombre de composantes dans le bloc et V. est le volume d'He dans la composante i du bloc.

A l'aide des équations (2.23) et (2.24), la pression à l'entrée du bloc peut être explicitée (voir exemple. Appendice B)

2.3.6 Comportement thermodynamique d'un corps solide

2.3.6.1 çri§^i9Q-§t_ç9Dyyçtî9

Q.d§_9b§ï§y?-^§o§-yD_^§rr§5y-^§

combustible

Comme nous n'avons pas assez de mémoires â disposition sur le calculateur digital, il ne nous est pas possible de simuler le réacteur en considérant plusieurs barreaux de combustible. Ce- pendant pour une étude du système de commande d'une centrale nucléaire il est courant et suffisant de représenter le réac- teur â l'aide d'un seul barreau de combustible (19,20) entouré

dans notre cas par un canal d'He (voir fig. 2.3 ci-dessous).

En divisant l'élément de combustible en anneaux concentriques il est possible de remplacer l'équation aux dérivées partiel- les (2.25) par l'équation aux différences finies (2.26)

© ® ® © ©

S- ,

i t l

'-i.i

*i,2

Ti,2

Xi,2

\2

-i,3

Ti,3

Xi.3

y

Si,4

Ti,4

»1.4

'i,5

t H f

1,5

Az.

Fig. 2.3 Division d'un élément de combustible en anneaux

Nous c h o i s i s s o n s radialernent: 3 zones, Q ) » ® * \2) d'égale v°"*

lume pour le combustible 1 zone (t)

1 zone (y

pour la gaine pour le gaz

Le bilan d'énergie en un point (de rayon r) du combustible s'écrit ( 1 5 ) :

-div h

•]

p(r) « densité du solide

- 17 -

C(r) * chaleur spécifique du solide

X(r) * coefficient de conductibilité thermique du solide Nous remplaçons l'équation (2.25) par une équation aux diffé- rences finies. On obtient, en considérant une zone radiale K

(K * 1....4) de volume V., et de longueur axiale Az. (fig. 2.4), la relation suivante (avec S. é 0, pour 10*1,-2.3):

1,1s.

i,K^Ki,n.K dt' ^{= q}i , M " ^Qi,K*1 * ^Si,K^VK ( 2 , 2 6 )

W » I / O * | / w »

où

*^{{ r}K " ^rK - 1^{) # A z}i

° i , K - 1 * ( Ti , K - 1 " Ti , K) / Ri . K - 1 , K

Qi , K * 1 l Ti , K *Ti , K + 1) / Ri , K , K * 1

( 2 . 2 7 ) ( 2 . 2 8 ) ( 2 . 2 9 )

@00

I

Vl

rK

TK - 1

•

\

•

FK . l

• AZ,

Fig. 2.4 Anneaux dans un élément de combustible

Les températures T. , / * # T* ** T. . , . sont l e s températures moyennes (sur l e s volumes) des zones (^"O'OO» v^*¹) •

La d e n s i t é p. ~ e s t admise constante pour tous l e s i e t K.

Les grandeurs R. „^ r*^i K K>1 ^{s o n}* *^{e s} résistances ther- miques qu'on peut calculer à l'état stationnaire du solide

(19,20).

En consultant (20), pages 16 et 17, on obtient les relations suivantes pour les résistances thermiques dans les zones ra- diales d'une portion axiale Az. du coeur:

Zone radiale(ï):

1,1,2

(

2 2

r2"^r1

AZ. (2.30)

Zone radiale(2):

Ri»2,3

1

V

1

l8wXi,2 r² BwX 1,3 r. I AZ. (2.31)

Zone radiale^):

i,3,4

\

3

i.3.4 *

i.3 T\ * \

y

i . y

i

% ^ / v ». ^ y » -^

Terme dû au transfert de

Terme dû à la conduction de chaleur entre chaleur dans

le combusti- le combustible ble et la

gaine

Terme dû à la conduction de chaleur dans

la gaine

( 2 . 3 2 ) Zone r a d i a l e ^ ^ :

Ri , 4 , 5

1 ^2T.

2 i r Xi , 4

In

V

4,

1.

AZ ( 2 . 3 3 )

- 19 -

C. „ et À. „ sont des fonctions de la température T. „ dans la zone (K.J

Les sources de chaleur radiales S. v (S. v + 0, pour K « 1,2,3) sont égales et radialement constantes, ainsi elles ne dépendent que de la répartition axiale.

La source de chaleur axiale S. v (i«1,...,6) est donnée selon une loi de répartition en sinus (23).

2.3.6.2 Iransgort_de_çhaleur_dans_les_parois

Pour simuler un prérefroidisseur (ou un refroidisseur, fig.

2.5) nous faisons une hypothèse concernant l'écoulement de l'eau. Les fig. 2.6 et fig. 2.7 indiquent l'écoulement réel resp. l'écoulement simplifié de l'eau, dont la valeur de la vitesse est choisie de telle manière que les conditions thermo- dynamiques du gaz dans l'échangeur restent inchangées â l'état stationnaire.

eau gaz

eau

gaz

Fig. 2.S

c c

t

)

)

gaz Fig. 2.6

eau

I

t

eau

I

gaz Fig. 2.7

Le bilan d'énergie dans la paroi pour une zone axiale de longueur Ax. est donné par l'expression

dT.

dt Ax.S p C.(p) i P P i

T.-T. T. -T. _ i î.p . i>P i»E

Ri,GP Ri.PE ou

Ri,GP

Ri,PE

1

2irr„a. _._ 2irX

1 i,PG p

1 . f V

2 '

• •= I n

1 1

2 i r rna . Dr 2irÀ 2 i , P E p

In

2r.

2 r.

r + r

r

2 r

Ax.

1

Ax.

(2.34)

(2.35)

(2-36)

o. D O = coefficient de transfert de chaleur (Paroi-Gaz)

a. D£- » coefficient de transfert de chaleur (Paroi-eau)

Eau Paroi Gaz

A x.

1

i , E '

/

* ;

a © |

• i

' . * >

t^

Ji,

Fig. 2.8 Zones radiales d'un échangeur à contre-courant

*) Les é q u a t i o n s pour l e p r é r e f r o i d i s s e u r sont i d e n t i q u e s à c e l l e s du r e f r o i d i s s e u r .

- 21 -

Dans l e r é c u p é r a t e u r , l e gaz e s t de chaque c ô t é de l a p a r o i » a i n s i l e b i l a n d ' é n e r g i e dans c e l l e - c i s ' é c r i t :

dT.

dt

1

Ax.S p C . ( p ) 1 P P 1

î . B î . p _ i , p i , H

Ri . B P Ri . H P

où

Ri . B P

Ri . H P

L

2

i.BP

p

V

2

l / J

i

. r_i_ ⁺ J_ ^ln ppYl J .

L

i

i.HP

v

i / J

i

(2.37)

(2.38)

(2.39)

o. ^{D D} = coefficient de transfert de chaleur (Paroi-He H.P.)

1 , Dr

o. ^{U D} « coefficient de transfert de chaleur (Paroi-He B.P.)

1 »rlr

c ) ç§T§rQy§§

La densité o et la conductibilité thermique X sont admises

P P constantes

La chaleur spécifique C.(p) est une fonction de la tempé- rature T. de la paroi

i*P K

On a décomposé la prérefroidisseur et le refroidisseur en 5 zones axiales, le récupérateur en trois zones axiales.

2.3.7 Flux d'Hélium dans un by-pass

Les équations donnant le débit dans un by-pass sont définis en (17). Nous nous bornons ici à en faire un bref rappel.

•"B =

W

où

VKT

pour

K - C /C » 1.66 P v

où * » exp. isentropique

fi > f-iY" ¹

p

\<

V

( 2 . 4 1 )

* =

j 2

> * - 1

t* v ' \ry

•c-1 1

pour

p

" V «

y

S -- = <**Sⁿ ; section d'ouverture effective du by-pass (2.43) ett b

a * coefficient de contraction (fonction de la géométrie du bypass et de S_)

S„ « section d'ouverture du bypass

Comme a ne peut être connu d'une manière précise - le type du bypass ainsi que ses dimensions ne peuvent être déterminés qu' après avoir étudié le système oe commande - il est plus simple

- 23 -

de travailler avec la grandeur S ._ sans se soucier de 1*in-

terdépendance de S „ , S. et ou Dès que la loi de contrôle pour S ~. est déterminée, on choisit un type de bypass et, à l'aide d'expériences et de mesures, les relations liant S .«, a et Sⁿ

ett D

peuvent être trouvées.

2.3.8 Relations définissant les caractéristiques d'une turbine à gaz et d'un compresseur axial

2.3.8.1 Caractéristiques d'une turbine à gaz (14)

Pour calculer le débit m d'Hélium dans une turbine en fonction du rapport d'expansion «(^p./p-)* la loi du cône de débit (Ke- gelgesetz) est valable pour autant que la vitesse du son ne soit pas dépassée dans les canaux situés entre les pales de la turbine.

V

2

fig. 2.9 Schéma d'une turbine

Il est possible tjt_4) de donner la loi du cône de débit sous la forme relative suivante

T T

!

a - . L ! l . g i r ^t / ¹ - ^t ^Pi» ^{n (2t44)}

m

° ï „

i o Y

i \ /

. * *

ou

n = -S (2.45)

K - n^p ( K - 1 )

n = rendement polytropique moyen

L'indice "0" se réferre au régime normal de l'installation.

On fait les hypothèses supplémentaires suivantes

a) v * 7 (2.46)

o

Cette simplification est valable pour des régimes voi- sins du régime normal de la turbine (70-130 % du nombre de tours normal) (14)

b) Le rendement isentropique de l'étage n. est posé constant.

X 5

Ceci est valable pour des régimes voisins du régime normal de la turbine.

Ainsi le rendement isentropique pour tous les étages de la tur- bine est donné par la relation

n. - n? (1⁺f) (2.47)

is is

f s facteur de gain (dû au réchauffement dans la turbine) On a

(z-1)(1+f ) + 1

(1+f) - — - (2.48)

- 25 -

z « nombre d'étages dans la turbine fm * facteur de gain (pour z •* • )

L'expression (1*f«0 peut être déterminée à l'aide de la re- lation suivante (16)

*-1 n_

(1*f«) » £ - n

, - ( * )

-(a)

(2.49)

n = rendement polytropique moyenne sur tous les étages de la turbine

Lorsque z est grand (z > 5),

— /v/ e

îs (2.50)

Ainsi à l'aide des relations (2.47), (2.48) et (2.49) nous trouvons:

i s

e z

-1 1 \ p 1 /

it i s

n ^e _is

-GO'

L l l

ic

• 1

2.3.0.2 Çaractéristigyes.d^yn.çomgresseyr^axial

Les caractéristiques d'un compresseur axial sous forme de re- lations sont données en (£). Trouvées â l'aide d'expériences et de mesures faites sur un compresseur axial de la maison

Escher-Wyss AG, Zurich, ces relations donnent des résultats très satisfaisants (j>). On trouve en Appendice A un résumé des relations utilisées.

2.3.9 Equations de la cinétique des neutrons 2.3.9.1 Modèle_ponctuel

Il est connu [A] que le modèle ponctuel d'un réacteur thermique, utilisant une répartition de flux non perturbé comme fonction de répartition, peut conduire à des grandes erreurs pour des pro- blèmes avec ou sans rétroaction. La réf. (3_) donne des expli- cations à ce sujet. Par contre pour les réacteurs GCFR l'emploi d'un modèle cinétique ponctuel - pour simuler de petites per- turbations - est approprié pour la raison suivante:

à cause du grand libre parcours moyen (mean free path) des neutrons et des petites dimensions physiques du coeur, les différentes zones géométriques de celui-ci forment un ensem- ble étroitement couplé; ainsi les déformations locales du flux sont négligeables (2_, pp. 300-302).

2.3.9.2 Hypothêse§_et_simplifications

La théorie de la cinétique neutronique est donnée en [2). Pour l'étude du système de commande il n'est pas nécessaire d'utili- ser un modèle neutronique â plusieurs groupes de neutrons retar- dés (3_8). Les équations du modèle â un seul groupe sont:

dt " "T"

'

n • population des neutrons prompts

- 27 -

%ï * - XC • 7 (2.52) dt A

c * population des précurseurs

X = temps moyen de décadence des neutrons où

Aeff ' '\

° o z r o .

-*^ ->

Effet Doppler Effet de densité T » température moyenne du combustible

p" • densité moyenne de l'He dans le réacteur 04iQ^? = constantes neutroniques

A = 1/(K ^X..B) (2.54)

ett

Nous distinguons deux cas:

a) jj| = 0 (2.55)

b) 3T - 0 (2-dt ⁵⁶>

a) Si l'on pose dc/dt • 0, ceci signifie qu'on néglige les neutrons retardés lorsque le réacteur est prompt critique

(2, pp. 20 et 267)

b) Si l'on pose dn/dt = C, ceci signifie que la puissance neu- tronique suit l'évolution des neutrons retardés sans les- quels le pilotage de l'installation serait pratiquement im- possible [2_, pp. 25-26). Cette simplification est possible pour les raisons suivantes:

la durée de vie 1 des neutrons prompts étant très petite (environ quatre ordres de grandeur plus petite que pour un réacteur thermique) la population de neutrons n change presque instantanément en fonction de petites perturba- tions de la réactivité.

Ainsi:

or

or. n XcA

de Xc XK dt " K-1 " A c = c 1-K

A

O 1-K c = c e

o

= $ > "

XAc o K-1

J *K ^

o THC d T

e

n o

o 1-K dr

n = j^- e (2.57)

2.3.10 R§n?§E9y?§

Après avoir présenté les principales équations du modèle mathé- matique divisé en cinq blocs il serait utile de présenter pour

l'information du lecteur, la liste complète des équations con- stituant ces blocs. Comme celle-ci est donnée en (2j3), nous ne ferions qu'alourdir cette présentation en la reproduisant. Ce- pendant à titre indicatif nous donnons en Appendice B la liste des équations du bloc © , représentatif pour les quatre autres blocs.

- 29 -

2.4 Choix des variables de commande

Après avoir décrit brièvement les principales équations pour les variables d'état du modèle il est nécessaire de préciser quelles sont les variables de commande dont nous allons déter- miner la stratégie optimale d'action dans le temps. L'étude

du système de réglage conventionnel (J_0) a permis de passer en revue les variables de commande susceptibles d'être utili- sées pour régler l'installation nucléaire dans le domaine des conditions de marche nominales. Les résultats de cette étude montrent que le by-pass des compresseurs et les barres de

contrôle (fig. 6) sont des éléments qui permettent un réglage rapide et stable de l'installation. C'est pourquoi notre choix se porte sur ces deux variables, dont nous allons chercher au Chap. 7 la stratégie optimale d'action au cours du temps.

Il est à noter que la méthode de recherche d'une stratégie optimale de commande décrite au Chap. 6 ne sert pas seulement à déterminer la stratégie optimale d'action de variables de commande données ou choisies d'avance; en effet lorsqu'une constellation de variables existe, cette méthode permet aussi de déterminer parmi toutes les combinaisons de ces variables, celle qui donne les meilleurs résultats.

C H A P I T R E 3

SIMULATION DE LA CENTRALE NUCLEAIRE A L'AIDE DU LANGAGE DE PROGRAMMATION MIMIC

3.1 Méthodes de simulation

Si l'on considère la -Fig. 7 oh se rend compte qu'il y a deux ca- tégories de processus qui peuvent être simulés

a) processus à caractère continu b) processus à caractère discret.

Pour chacune de ces catégories, on choisit la méthode de simula- tion la plus adéquate. Ayant un problême de caractère continu, nous nous trouvons devant l'alternative suivante:

soit élaborer une simulation sur calculateur digital

soit élaborer une simulation sur calculateur hybride/analo- gique.

Pour des problèmes de complexité et de dimensions moyennes*, il est certain que le calculateur hybride/analogique a un avantage économique par rapport à un calculateur digital (J_6).

Si l'on considère quelques simulations de centrales nucléaires sur calculateur hybride/analogiqu? (_^fl,21,22,2A), on s'aperçoit

*) Nous entendons par complexité moyenne un système d'équations différentielles où la précision exigée est <_ 4 décimales,

le nombre d'équations différentielles <^ 40, le nombre de variables £ 200, le nombre de fonctions non linéaires <" 100,

- 31 -

que celles-ci ont nécessité l'emploi des plus grandes installa- tions de calcul, existant sur le marché.

Etant donné

la nature de notre modèle mathématique

- la précision exigée (au delà de 4 décimales) pour résoudre ce système

- la dimensions du problème (plus de 130 équations différen- tielles, 2000 variables et constantes, et 1800 fonctions li- néaires ou non linéaires)

il devient évr.dent que ce problême ne peut qu'être simulé par voie digitale et non par voie hybride/analogique.

3.2 Simulation du processus physique à l'aide du langage MIMIC (73)

Nous avons éliminé certains langages (fig. 7) pour les.rai- sons suivantes

le langage CSMP est éliminé pour une raison pratique, notre Institut étant relié à un calculateur CDC 6500.

nous trouvons en (7_5) une comparaison d'efficacité entre l'ALGOL et le FORTRAN, où celui-ci aurait une efficacité moyenne de 4/1 par rapport â l'ALGOL. Il semble que pour

cette raison la plupart des simulations de processus physi- ques continus (â grandes dimensions), décrits dans la litté- rature, sont programmées plutôt en FORTRAN qu'en ALGOL.

Ayant â opter entre les langages FORTRAN et MIMIC*, nous avons

*) Le schéma, selon lequel le modèle mathématique - INPUT du code MIMIC - est traité par celui-ci, se trouve en fig. 8.

porté notre choix sur ce dernier à cause des avantages q**i à l'époque et dans des conditions de contraintes temporelles, l'emportaient sur les désavantages.

Avantages de MIMIC

simplicité et compacité du langage

langage se prêtant à une programmation rapide du modèle langage bien conçu pour la résolution d'un système d'équa- tions différentielles

Désavantages de MIMIC

le temps de compilation est plus grand qu'avec le FORTRAN le fait d'utiliser une seule méthode d'intégration pourrait être un désavantage dans le traitement de certains problèmes

où une adaptation de la méthode au problème traité serait nécessaire ou désirable.

3.3 Difficultés numériques liées au système non linéaire repré- sentant la centrale nucléaire

Les difficultés numériques rencontrées sont dues:

(ij au type d'équations traitées (équations aux dérivées par- tielles) (£5,£6, j>8,B9, 72)

\ln à la méthode d'intégration (Runge-Kutta 4^e ordre) choisis- sant elle-même son pas d'intégration (J56, pp. 228-249)

©

- 33 -

(IV) aux mauvaises conditions initiales qui existent tout au début de la simulation lorsqu'aucune répartition exacte de température» pression, etc, n'est connue.

La façon dont ces difficultés ont été surmontées, eet décrite ci-dessous.

PointQ

La façon de résoudre des équations aux dérivées partielles con- siste à les écrire sous forme d'équations aux différences fi- nies (voir I 2.3). Ceci revient à décomposer les éléments

(tuyaux, échangeurs de chaleur, etc) de la centrale nucléaire en un certain nombre de zones axia'js et radiales. Ainsi les échangeurs de chaleur ont été décomposés en un nombre de zones axiales et radiales permettant d'obtenir - pour les conditions de marche nominales •une répartition spatiale discrète (de la température» pression etc) aussi proche que possible de la ré- partition spatiale continue. Le choix du nombre de zones axia- les, permettant de bien simuler un tuyau, a été fait selon le procédé suivant: en perturbant la température d'entrée du tu- yau considéré - selon un échelon suivi d'une rampe - nous dé- terminons le nombre de zones axiales (<^ 6)*, de tslle façon que l'erreur relative (au cours du temps) de la température è la sortie du tuyau soit (< 1%) par rapport à la même tempé- rature du tuyau divisé en 8 zones. On trouva en (££) une mé- thode d'évaluation de l'erreur due au remplacement d'une équa- tion aux dérivées partielles par une équation aux différences finies.

*) Dans notre cas, nous avons choisi la répartition discrète de température de l'He, dans un tuyau divisé en 6 zones, comme

la répartition exacte de référence.

Poi

int(l?)

Poi

Nous avons posé, pour le pas d'intégration, des bornes infé- rieures et supérieures qui sont variables dans le temps et choisies en fonction des perturbations introduites dans le système d'équations différentielles. Cetbe façon de faire a donné des résultats satisfaisants.

Ces difficultés étant liées à celles de ul) » les mesuras prises ci-dessus ont permis de les surmonter. En outre nous avons constaté que le principe de la méthode d'intégration, consistant à choisir le nouveau pas d'intégration en divi- sant (ou multipliant) l'ancien pas par un facteur constant

(égal à 2), peut être dans certaines conditions une cause d'instabilité numérique (j5£, pp. 228-248)

Poi

1"*©

Pour résoudre les équations différentielles dont les condi- tions initiales sont inexactes, il faut imposer pendant les premières fractions de secondes du calcul, un pas d'intégra- tion At très petit (At & 10 ) pour éviter que l'erreur, due - 3 à la discrétisation spatiale, soit amplifiée au début de l'in- tégration (6J5, pp. 96-111).

3.4 Performances du code COPINE*

Le rapport (temps de calcul ordinateur)/(temps réel), bien qu' il dépend des perturbations introduites dans le système d'équa-

*) Le code COPINE est le modèle mathémjtique du GCFR programmé en langage MIMIC.

- 35 -

tions différentielles, se situe entre 100 et 200. Il faut envi- ron une seconde de calcul (ordinateur) par pas d'intégration

égal, en moyenne, è 10 (sec). -2

La simulation (MIMIC) a nécessité un travail de 6 mois-homme, y compris les transformations nécessaires (2 mois) pour adapter

le compilateur MIMIC aux dimensions de notre problème. Ces 6 mois de travail sont comptés depuis le début de la perforation des cartes jusqu'à l'obtention du régime stationnaire de l'installa- tion, étape primordiale, qui permet de vérifier le processus d'intégration numérique, de détecter les erreurs du modèle ma- thématique, et de fournir le point de départ pour l'étude du comportement dynamique de l'installation.

C H A P I T R E 4

FORMULATION DU PROBLEME DE RECHERCHE D'UNE LOI DE COMMANDE OPTIMALe

4.1 Données et formulation du problème

Considérons le modèle mathématique de l'installation décrit par le système d'équations suivant:

d* d

-TT— = j£. = fJ.y.H*.y_ »u_,t) ; système d ' é q u a t i o n s ( 4 . 1 ) d i f f . n o n - l i n é a i r e s du 1er

ordre

G_(y_ ,y_ ,u_,t) = 0 ; système d'équations (4.2) algébriques non-linéaires

^,G : fonctions vectorielles de dimersion p resp. s

y_. - vecteur d'état à p composantes (défini par un svstème d'équations différentielles)

y_ = vecteur d'état à s composantes (défini par un système d'équations algébriques)

u_ = vecteur de commande à r composantes

En admettant qu'à partir de la relation (4.2) on trouve une re- lation explicite pour ^ , on introduit cette dernière dans (4.1) ce qui donne:

1 = l(y_.u»t) (4.3)

où

1 ^r *d

Afin que le problème de recherche d'une loi de commande optimale soit posé correctement, il faut:

- 37 -

1. des contraintes sur le vecteur de commande jj(t):

u(t) £ U pour t £ t ,t

M

où U est un sous-ensemble constant de E (E espace euclidien à r dimensions)

2. des contraintes "éventuelles" sur le vecteur d'état ^(t)

y(t) £ Y pour t € t ,t. (4.5)

['•'*']

où Y est un sous-ensemble constant de E¹³ 3. des conditions aux limites

y(t) = y pour t = t (4.6)

_y_(t) £ S pour t = t^f (4.7)

où t» est le temps final du réglage

4. un critère de performance sujet à être minimisé

j

Lr^(t),u(t),t

/» * • > i # % l'Ai •

z(

-

Jt

Ly^'ü^'t

-

où L est une fonction à définir (voir S 4.2).

Etant donné le système (4.3), les points 1., 2., 3. et 4., la recherche d'une stratégie de commande optimale consiste à trou- ver une stratégie _u(t) qui minimise l'indice de performance tel que

,t Z(t ,t„) * min z(u) * min

Ht» " « f

°

(4.9)