MéthodCiS da minimisation d'un critère quadratique avec contraintes linéaires

Parmi les méthodes ou algorithmes qui servent à minimiser un cri tore quadratique on trouve selui-ci sous forme d'intégrale (équa-tion 6.27) ou sous la forme suivante

ïf- ^T

K=1 L

Î

- 1

JÜK-1J

(KT) Q x(KT) • m ^ R m „ _⁴| (6.33) Suivant la méthode considérée, les contraintes sur x et m sont

traitées directement (en ce sens que mathématiquement elles

in-terviennent directement dans la recherche du minimum, voir exemple Appendice F) ou indirectement (dans ce cas elles sont considérées

d'une manière imparfaite qu'au travers du critère quadratique) à l'aide des matrices Q et R qui permettent de pénaliser les écarts de certaines variables d'une manière sélective.

Les méthodes ou algorithmes les plus utilisés sont:

a) les algorithmes de la programmation non-linéaire (£5,49) qui permettent d'une part de minimiser un critère sous la forme

(6.26) ou (6.33) et de traiter des contraintes linéaires ou non-linéaires sur x et m

b) les algorithmes de la programmation quadratique (33,35,47, 46) qui permettent de minimiser un critère sous la forme

(6.26) ou (6.33) et, de traiter des contraintes linéaires sur x et m

c) la méthode de Tou (2£»£6)» basée sur le principe d'optimalité de Bellman qui permet d'asservir le système de commande. Le critère utilisé est sous la forme (6.33) et les contraintes linéaires sur x et m ne sont pas traitées directement.

d) la méthode de G.W. Deley et G.F. Franklin (.32), basée sur le principe d'optimalité de Bellman qui permet s'asservir le

système de commande. Il est similaire â celui de Tou, ce-pendant les contraintes sur m sont traitées directement.

e) la méthode de H.A. Nour-Eldin (40,41^) basée sur le principe d'optimalité de Bellman et la programmation quadratique.

H.A. Nour-Eldin est le premier auteur qui a utilisé avec les variables de commande discrétisées, un critère de per-formance sous la forme d'une intégrale (voir (6.25) et

6.26)). Puisque cet algorithme est basé sur la programmation quadratique il est évident qu'on peut traiter des contraintes

sur x. et m. L'utilisation du principe d'optimalité permet d'autre part d'asservir le système de commande.

f) l'algorithme de la programmation dynamique (J36 ,jij5), expliqué au S 6.1.3, permet de tenir compte de contraintes linéaires ou non-linéaires sur x et m et, asservit le système de com-mande. L'utilisation de cet algorithme n'est pas limité à un

critère de performance quadratique.

Ayant à trouver parmi ces méthodes celle qui s'applique le mieux à notre problème il est nécessaire de poser des critères qui vont nous aider dans ce choix. Ces critères, cités dans l'ordre des priorités, sont indiqués ci-dessous.

La méthode choisie devrait permettre, selon un traitement simple des données sur l'ordinateur,

fi) de considérer un grand nombre de contraintes sur x et m (il) de trouver le minimum global du critère de performance

avec un nombre aussi petit que possible d'itérations (ill) Puisque la méthode d'optimisation du système de commande

doit être choisie en prévision de son application sur un ordinateur en ligne, il est nécessaire, que le nombre de mots M nécessités et les temps de calcul, soient aussi petits que possible.

(IV) Comme nous désirons obtenir un système de commande asservi, la méthode d'optimisation devrait permettre de tenir

compte des valeurs instantanées du vecteur d'état x.

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-Les résultats de nos recherches concernant une méthode satis-faisant les critères énoncés ci-dessus, sont les suivants:

l'algorithme de la programmation dynamique, qui est apparem-ment le plus approprié pour résoudre notre problème ne

sa-tisfait pas le critère fill) pour les raisons données au S 6.1.3.

l'algorithme de la programmation quadratique, développé par Fletcher (voir 3^ et appendice F ) , est celui qui satisfait

les critères (î), (il) et ail) .

la méthode de H.A. Nour-Eldin (expliquée au S 6.4) - con-sistant à utiliser la programmation quadratique et le prin-cipe d'optimalité de Bellman - est celui qui permet de

sa-tisfaire les critères (l)# ftÔ et m/) . Nous verrons au Chapitre 7 que le critère fill) ne peut être satisfait que si l'on attribue à la période d'échantillonnage T une grande valeur; ceci n'est évidemment pas toujours acceptable pour

le système de commande.

Nous présentons au S 6.3 les équations qui ont servi â trouver la stratégie optimale de commande (pour un système non asservi) selon l'algorithme de Fletcher. Au paragraphe 6.4 nous expliquons brièvement la méthode de H.A. Nour-Eldin.

6.3 Stratégie optimale de commande pour un système non asservi Pour un système non asservi, la stratégie optimale de commande est obtenue en résolvant le problème suivant (40,41);

C h e r c h e r l e m i n [ 2m l_^G ( N T , o ) xio) * m C ( N T , o ) m ]

G<J>

m

avec la condition i n i t i a l e a} x(o) = x

— —o

et les contraintes suivantes: (6.34) b) (X(KT)). „ < x(KT) < (X(KT)) ; K=1,...,N

x - ' î nf — \ — i ^SUn

c) M. - < m < M

— m f sup

Le vecteur 2<(K-T) obéit à la relation suivante x(KT) = <|>(KT,o) x(o) + G(KT,o) m

avec

M. ^P,M : limites inférieures resp. supérieures imposées

—inf —sup ** r H aux composantes de m (vecteur Nrx1)

( X(KT)) . «,( X(KT)) : limites inférieures resp. supérieures

* — 'inf *— 'sup r r

imposées aux composantes du vecteur d'état x,(KT) (vecteur nx1)

Si l'on considère l'algorithme donné par Fletcher (3^), celui-ci traite le problême suivant:

Etant donné les contraintes

F^Tm >_ d (6.35)

M. ^r < m < M (6.36)

—inf sup ^;

il faut trouver le minimum du critère de performance suivant

f (m) = j J A m • _b^T m (6.37)

Si l'on compare la notation de Fletcher et la nôtre, on obtient les correspondances suivantes:

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Les matrices G(KT,o), (K=1,...,N), sont données en Appendice D par la relation (9.D)

A = 2 [ LG G( N T , O ) + L^R(NT,o)] (6.40) b^T i -2 [x^T(o)

L

G*

'

]

Les matrices L^pG, L„. et L^R sont déterminées selon les relations données en Appendice E.

On trouve, au Chapitre 7, différentes applications numériques de cette algorithme pour la centrale GCFR. A l'aide de la poli-tique optimale m°^p obtenue, il est possible de déterminer se-lon (6.2) tous les états £(KT), où K«1,...,N, en fonction de la condition initiale x(o).

6.4 Stratégie optimale de comm.nde pour un système asservi