Application au Chaos
LAUNAY Frédéric 2 mars 2011
Introduction à l’étude des systèmes Non Linéaire
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Identification :
1) Modèle mathématique réalisant un compromis entre sa fidélité de comportement qualitatif et quantitatif et sa simplicité de mise en oeuvre à des fins d’analyse et de synthèse.
2) La modélisation entraîne obligatoirement des approximations et des simplifications afin de permettre une analyse des propriétés du modèle qui ne soit pas trop complexe et une procédure de synthèse de commande efficace.
Contexte général
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Par hypothèses, (approximation des faibles déviations autour d’un ”mouvement” nominal), certains systèmes peuvent être décrits par un modèle mathématique linéaire,
Les méthodes fréquentielles d’analyse et de synthèse:
Réalité plus complexe : retenir dans la modélisation du système physique des éléments non linéaires difficilement modélisables par ailleurs et que l’on ne peut approximer.
Différents cas génériques se présentent pour lesquels les modélisations linéaires ne peuvent suffire:
- transformation (cosinus,sinus), saturation, hystérésis…
- D’importants processus physiques sont décrits par des modèles non linéaires. Caractéristiques courant tensions des éléments électroniques, modèles chimiques…
Contexte général
Contexte général
5
Les méthodes temporelles :
Linéarisation du modèle non linéaire autour d’un point de
fonctionnement mais la méthode de linéarisation n’est pas suffisante outils propres au non linéaire.
Deux faits limitent la portée des résultats obtenus par la méthode de linéarisation.
-La méthode de linéarisation est une méthode par approximation valide localement.
-Les dynamiques d’un système non linéaire sont beaucoup plus riches que celles d’un système linéaire dans le sens qu’elles reflètent des comportements et des phénomènes purement non linéaires.
Etude Non Linéaire
Contexte général
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Etude des trajectoires d’un système non linéaire :
1) Méthode fréquentielle : Méthode du premier harmonique 2) Méthode temporelle : Méthode du plan de phase (Isoclines)
Lyapunov (stabilité)
A la différence des systèmes linéaires qui possèdent un point d’équilibre unique, les systèmes non linéaires peuvent posséder plusieurs points d’équilibre.
Exemple:
Soit le système physique régi par l’équation différentielle suivante:
Le système linéarisé autour du point x0 est donné par:
Contexte général
Contexte général
Le système non linéaire, quant à lui a les caractéristiques suivantes:
Linéaire
Cycles limites
Un système linéaire invariant dans le temps, pour osciller, doit avoir une paire de pôles sur l’axe imaginaire fragile vis à vis de perturbations et/ou erreurs de modélisation
De plus, l’amplitude de l’oscillation obtenue en théorie dépend uniquement de la condition initiale.
Au contraire, les systèmes non linéaires peuvent être le siège d’oscillations, (cycles limites), caractérisées par leur amplitude et leur fréquence, indépendantes de la condition initiale et sans excitation extérieure.
Il est donc indispensable d’utiliser un système non linéaire si l’on souhaite réaliser en pratique une oscillation stable.
Contexte général
Contexte général
Cycles limites
Exemple: équation de Van der Pol :
Contexte général
Cycles limites
Exemple: équation de Van der Pol :
Quasi harmonique
Plan de phase
Contexte général
Bifurcation :
Des changements quantitatifs des paramètres peuvent entrainer des changements qualitatifs des propriétés du système, (nombre de points d’équilibre, stabilité des points d’équilibre).
Exemple: équation non amortie de Duffing :
L’équation donnant le point d’équilibre est:
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Introduction
Bifurcation :
Suivant que a sera négatif ou positif, le nombre de points
d’équilibre sera différent. Quand a varie, le nombre de points d’équilibre varie de 1 à 3:
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Ecriture générale
état sortie
commande
entrées exogènes
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Ecriture générale
Systèmes linéaires Systèmes non linéaires
Équations différentielles linéaires
à coefficients constants Équations différentielles à coefficients variables
Équations différentielles non linéaires
Équations aux dérivées partielles
Systèmes chaotiques
Ecriture générale
Théorème de Lyapunov Le système décrit par
est stable si et seulement si il existe une fonction telle que
Ecriture générale
Cas particulier de la stabilité quadratique
On considère une fonction de Lyapunov du type où
variation d’énergie
interne
énergie
entrante énergie
sortante énergie générée dans le système
énergie dépensée
dans le système
Interprétation
Ecriture générale
est assimilable à une fonction d’énergie
Un système est stable s’il dépense plus d’énergie qu’il n’en reçoit
Ecriture générale
Cas d’un système linéaire
avec
d’où la condition de stabilité quadratique d’un système linéaire:
une condition nécessaire et suffisante est d’avoir
et donc que les valeurs propres de soient à parties réelles strictement négatives
• Qu’est ce que le chaos ?
• Pourquoi l’utiliser ?
• Objectif de ce travail de thèse.
21
Introduction
• Qu’est ce que le chaos ?
• Pourquoi l’utiliser ?
22
Introduction
Exemple discret de la suite logistique
Eléments de construction
Pour μ= 1.6, la suite converge vers un point fixe de valeur 0,375.
23
Exemple de la suite logistique
Eléments de construction Convergence de la suiteμ
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Exemple discret de la suite logistique
Pour μ= 2.8, la suite converge vers un point fixe de valeur 0,64
Exemple de la suite logistique
Eléments de construction Convergence de la suiteμ
25
Exemple discret de la suite logistique
Pour μ= 3.4, la suite oscille entre 0.84 et 0.45
Exemple de la suite logistique
Eléments de construction Convergence de la suiteμ
26
Exemple discret de la suite logistique
Pour μ= 3.47, la suite oscille entre les 4 valeurs 0.47, 0.86, 0.4, 0.84
Exemple de la suite logistique
Eléments de construction Convergence de la suiteμ
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Exemple discret de la suite logistique
Pour μ= 3.9, la suite est apériodique, elle ne converge pas.
Exemple de la suite logistique
Eléments de construction Convergence de la suiteμ
28
Exemple discret de la suite logistique
Pour μ= 3.9, avec une autre condition initiale, la trajectoire est différente
Exemple de la suite logistique
Exemple continu avec un système dynamique de Chua:
avec
et
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Exemple avec un système dynamique
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Trajectoires produites en fonction des C.I
Représentation du générateur sous forme de treillis:
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circuit électronique :
Exemple de génération de séquences à 100 Mega Symboles/s sur 256 niveaux
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Les systèmes chaotiques
Le terme " chaos " vient des faits suivants:
- il ne se répète jamais (et semble erratique),
- il a une dépendance sensible par rapport aux conditions initiales (effet papillon)
- mais il n’en est pas moins ordonné et caractérisé par un déterminisme imprévisible.
Le déterminisme imprévisible signifie que même un modèle parfait de système chaotique (équations de mouvement identiques et mêmes
conditions initiales) débouche sur des résultats imprévisibles.
Les systèmes en état de chaos sont donc légitimes, ordonnés, déterministes et imprévisibles.
Les systèmes chaotiques: introduction
L’effet papillon= sensibilité aux conditions initiales:
Le météorologue Edward Lorenz indique que pour un système chaotique:
On peut considérer que le simple battement d'aile d'un papillon en
Australie peut entraîner une tempête sur côte américaine. Ceci signifie qu'une perturbation en apparence mineure à l'échelle de l'atmosphère peut avoir de grandes répercutions.
Il faut comprendre que deux systèmes chaotiques de modèle identique avec des conditions initiales pourtant très proche peuvent se
comporter de manière complètements différentes.
Les systèmes chaotiques: introduction
L’effet papillon= sensibilité aux conditions initiales:
Exemple le même systèmes chaotiques avec des conditions initiales différentes:
« Aspect » aléatoire
Exemple simple de système chaotique (naissance du chaos):
La démographie d’une population peut être approchée par l’équation suivante :
Population nouvelle= Taux de natalité * Population ancienne*(1-population ancienne)
Cas f<1
Les systèmes chaotiques: introduction
Exemple simple de système chaotique:
Cas 1<f<3 Stabilisation autour de 0,66
Cas f>3
Doublement de période:
instable et oscillation entre deux valeurs
Les systèmes chaotiques: introduction
Exemple simple de système chaotique:
Cas f> 3,4495
Lorsque le taux de natalité dépasse 3,4495 une seconde bifurcation (embranchement) apparaît; l'oscillation double devient quadruple (la population prend successivement quatre valeurs différentes, chacune revenant une fois tous les quatre ans). Les
dédoublements se poursuivent et surviennent de plus en plus fréquemment (8 à 3,56 puis 16 à 3,596, …) et les cycles s'allongent de plus en plus à mesure que le taux de croissance augmente.
Exemple simple de système chaotique:
Cas f> 3,57
Lorsque le taux atteint 3,57, cette régularité disparaît pour laisser la place au chaos.
Pourtant, au sein de ce chaos, l'ordre n'est pas complètement banni : des cycles totalement chaotiques sont invariablement accompagnés d'autres parfaitement réguliers. Ainsi, un modèle déterministe simple peut engendrer de « l'aléatoire ».
Les systèmes chaotiques: introduction
Caractérisation d’un système chaotique : l’attracteur
Système chaotique Système aléatoire
Caractérisation dans le Plan de phase
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.8
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
x1
x2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104 -4
-3 -2 -1 0 1 2 3
x1,x2,x3
Plan de phase
• Imprédictibilité temporelle
• très grande sensibilité aux conditions initiales
• structuré dans l’espace des phases : attracteur
Les systèmes chaotiques: Définitions
• localement instable
• globalement borné
du système pour une condition initiale
Une solution est dite chaotique
si elle est instable au sens de Lyapunov et que toutes les solutions obtenues à partir d’un voisinage de (bassin d’attraction) sont bornées
Soit le système non-linéaire
Un système chaotique est:
Les systèmes chaotiques: Définitions
Définition d’un système chaotique
• Un ensemble est un ensemble d’attraction pour le système si il existe un ensemble ouvert , tel que
pour toute solution avec
• Un ensemble d’attraction fermé est un attracteur du système si il est minimal.
Il n’existe pas de plus petit ensemble d’attraction que L’ensemble est appelé le bassin d’attraction
• Un attracteur est étrange ou chaotique si il est borné et que toutes les trajectoires qu’il renferme sont chaotiques.
Un système est chaotique si il possède au moins un attracteur chaotique.
Les systèmes chaotiques: Définitions
Définition d’un système chaotique
• Une fonction est récurrente si pour tout il existe
tel que pour tout il existe , tel que
Soit l’ensemble contenant
un segment de trajectoire de
est récurrente si pour tout il existe tel que pour tout
étant le de l’ensemble
Une fonction récurrente retourne dans tout voisinage de toutes valeurs précédentes au moins une fois (et par défaut une infinité de fois)
Les systèmes chaotiques: Définitions
attracteurs
L’attracteur de Lorenz :
C'est une simplification à l'extrême d'équations régissant les mouvements atmosphériques.
Lorenz les a étudié afin de mettre en évidence sur un système simple la sensibilité aux conditions initiales qu'il avait observée.
Dans cette expérience, on considère un fluide entre deux plaques portées à deux températures légèrement différentes. Les deux plaques sont horizontales et la plaque la plus chaude est située en bas. On observe des tourbillons.
Les systèmes chaotiques: différents attracteurs
L’attracteur de Lorenz :
Le comportement du fluide est très bien déterminé par les équations de la mécanique des fluides. Ces dernières aboutissent aux équations suivantes:Équation de Navier-Stokes:
Équation de l'incompressibilité du fluide:
Équation de propagation de la chaleur:
T est la température rapportée à celle du fluide sans la convection.
Ra est le nombre de Rayleigh. Il dépend des propriétés du fluide, de la
distance entre les plaques et de la différence de température entre les plaques.
Les systèmes chaotiques: différents attracteurs
L’attracteur de Lorenz :
Les équations précédentes peuvent être réduites. Elles se présentent alors sous la forme d'un système, le système de Lorenz que voici:
Pour Pr = 10, b = 8/3 et Ra = 28, on obtient un comportement chaotique.
Les systèmes chaotiques: différents attracteurs
L’attracteur de Lorenz :
Voici l’attracteur de Lorenz dans le plan Z,,T
Les systèmes chaotiques: différents attracteurs
L’attracteur de Lorenz :
Voici l’évolution de dans le temps:
Les systèmes chaotiques: différents attracteurs
L’attracteur de Rossler :
Proposé par l'Allemand Otto Rössler, le système de Rössler est lié à l'étude de l'écoulement des fluides; il découle des équations de Navier- Stokes. Les équations de ce système ont été découvertes à la suite de travaux en cinétique chimique.
Les équations de ce système sont les suivantes:
Les dérivées des premiers membres sont des dérivées partielles par rapport au temps. a, b et c sont des contantes réelles. Pour a = 0.398, b = 2 et c = 4. On est alors en présence d'un système chaotique.
Les systèmes chaotiques: différents attracteurs
L’attracteur de Rossler :
Les systèmes chaotiques: différents attracteurs
L’attracteur de Rossler :
Doublement de période pour la variable Z:
Les systèmes chaotiques: différents attracteurs
Le pendule de Moon :
Le pendule de Moon est un système physique.
Il est constitué d'un pendule (avec une boule métallique à son extrémité) accroché à une potence légèrement flexible.
De plus, le pendule est placé entre deux aimants situés à égale distance de la boule lorsque celle-ci et la potence sont au repos.
La potence est ensuite excitée à l'aide d'un mouvement oscillatoire harmonique d'amplitude constante.
Stimulé, le pendule se met en mouvement et les forces magnétiques dûes aux aimants. Le mouvement est alors chaotique.
Les systèmes chaotiques: différents attracteurs
Le pendule de Moon :
L'équation de ce système est dite équation de Duffing :
X est la position du pendule.
m est la masse de la boule métallique, a est l'amplitude de l'excitation et w est la pulsation de cette excitation.
Les systèmes chaotiques: différents attracteurs
Le pendule de Moon :
Pour m = 0.15, a = 0.15 (en fait, entre 0.1 et 0.2 environ) et w = 0.81 (en fait, entre 0.8 et 0.82)
Outils
D’analyse
Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse
La section de Poincaré
Une section de Poincaré est l'intersection entre un attracteur d'un système à n degrés de liberté et un sous-ensemble de l'espace de
n . Le plus souvent, une section de Poincaré est un lieu
particulier par lequel le système passe régulièrement au cours du temps. Une section de Poincaré permet d'étudier certaines
propriétés d'un système dans un espace de dimension inférieure.
Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse
La section de Poincaré
Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse
Application du 1er Retour :
Au cours du temps, un système décrit son attracteur (après avoir convergé vers celui-ci).
On suppose définie une section de Poincaré particulière.
Régulièrement, le point courant du système traverse la section de Poincaré.
On repère au cours du temps ces points de la section de Poincaré, ce qui constitue une suite de points notée (Pn)n, indexée par l'ordre de passage.
Une application de premier retour relative à la iième coordonnée est une fonction qui, pour tout n, à la coordonnée Pni associe la
coordonnée Pn+1i du point suivant.
Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse
Application du 1er Retour :
On peut généraliser à l'application f de mième retour relative à la iième coordonnée que l'on peut définir comme suit:
f: Pin Pin+m
Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse
Les exposants de Lyapunov :
On considère un système à n degrés de liberté.
Soient X0 et Y0 deux conditions initiales pour ce système (valeurs initiales des n degrés de liberté).
On note X et Y les fonctions du temps telles que X(t) et Y(t)
représentent respectivement l'état du système (les valeurs des n degrés de liberté) à l'instant t et telles que X(0) = X0 et Y(0) = Y0.
On note d la distance euclidienne définie comme suit:
d: n× n
Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse
Les exposants de Lyapunov :
S'il existe un instant tl, une constante réelle et une constante réelle a tels que, si I = [0, tl],
Alors, est appelé exposant de Lyapunov.
On comprend que l'exposant de Lyapunov caractérise la qualité chaotique ou non d'un système car il rend compte de la sensibilité aux conditions initiales.
Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse
Les exposants de Lyapunov :
Exemple pour l’attracteur de Lorenz :
La différence relative dans les conditions initiales est de 10-12, =0.8
Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse
Diagramme de Bifurcation :
Le diagramme de bifurcation permet de mieux visualiser l’évolution d’un système vers le chaos par doublement de période.
Imaginez un Y majuscule, puis ajoutez à chaque pointe supérieure un Y quatre fois plus petit, et ainsi de suite. A chaque bifurcation, la période du système double, autrement dit, il met deux fois plus de temps à retrouver son état initial.
A ce petit jeu, au bout de quelques bifurcations …, il ne la retrouvera jamais.
Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse
Diagramme de Bifurcation :
Application à la modélisation de la démographie :
3 3,45 3,56
Doublement De fréquence
Chaos
Outils
De Contrôle
Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos
But du contrôle :
Lors du contrôle d'un système chaotique, on peut agir de diverses manières, selon le but recherché:
- On peut souhaiter qu'un système chaotique reste dans un domaine chaotique.
En effet, il est possible que, naturellement, le système évolue jusqu'à perdre les caractéristiques chaotiques (sensibilités aux conditions initiales, ...).
- On peut vouloir le forcer à rester chaotique, auquel cas on procède à des opérations de contrôle convergeant vers ce but.
De même, on peut vouloir amener un système, à l'origine non chaotique, vers un domaine chaotique. Réciproquement, on peut souhaiter voir un système chaotique évoluer de façon à perdre son caractère chaotique.
Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos
Méthode OGY proposée par Ott, Grebogi et Yorke au début des années 1990.
Principe : Point fixe
On considère un point fixe, noté X0 = X0(p), de la section de
Poincaré pour la valeur du paramètre (de contrôle du chaos) p = p0.
Ce point fixe vérifie h(X0) = X0 si h est une application de premier retour (la propriété doit être vérifiée pour l'application de premier retour relative à n'importe quelle coordonnée).
Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos
Méthode OGY proposée par Ott, Grebogi et Yorke au début des années 1990.
Principe : Point fixe
Supposons que la condition initiale d'un système soit très proche du point fixe. Lors de son évolution, le système ne se stabilise jamais de lui-même autour du point fixe, le point fixe étant instable. Ceci signifie qu'à chaque passage dans la section de Poincaré, le point courant est de plus en plus éloigné du point fixe. Pour contrôler le système, on se propose de lui imposer de rester autour du point fixe, en modifiant légèrement la valeur du paramètre p.
Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos
Principe :
Si fi est l'application de premier retour relative à la iième coordonnée, on note f le vecteur tel que:
f = (f1, f2, ..., fn) (11).
On note A la matrice jacobienne associée à f. A dépend du point où elle est évaluée.
On a alors: Xn+1 = f(Xn) (12).
La matrice jacobienne A décrit le comportement des points de la section de Poincaré, en particulier au voisinage du point fixe. On remarque que, au voisinage de ce point fixe, deux directions régissent les passages du système dans la section de Poincaré et donc l'éloignement du point fixe. Une
direction est stable: elle n'a pas besoin d'être affectée. L'autre direction est instable: il convient de s'intéresser à cette direction afin de déterminer les corrections à apporter pour compenser l'action de cette direction instable.
Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos
Section de Poincaré
On linéarise l'équation (Xn+1 = f(Xn)) au voisinage du point fixe:
Xn+1 = X0(pn) + A(X0(pn)). (Xn - X0(pn)) (13).
De plus, on considère qu'au voisinage du point fixe on a:
De plus, A est constante et vaut:
Pour simplifier la lecture, on introduit les expressions suivantes:
pn=pn-p0, Xn=Xn-X0 et
A=A(X0(p0))
(1)
Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos
Alors, on peut réécrire la relation (1) sous la forme:
Xn+1= pn.g+A.(Xn- pn.g)
On souhaite désormais calculer la variation à imposer, de sorte que Xn+1 = 0
A présente deux directions propres dont l'une instable eu (valeur propre associée strictement supérieur à 1, en valeur absolue) et l'autre stable es (valeur propre associée strictement inférieure à 1, en valeur absolue). On note les vecteurs adjoints dans la base duale fu et fs.
En remarquant que A =sesfs +ueufu, on a:
Xn+1-pn.g=(sesfs +ueufu)(Xn- pn.g)
Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos
Finalement :
On a ainsi déterminé la correction à appliquer au voisinage du point fixe et à chaque passage dans la section de Poincaré. Ainsi, au
passage suivant, on revient au voisinage du point fixe et on est donc de nouveau dans les conditions d'application du contrôle
Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos
Application à l’attracteur de Lorentz
La section de Poincaré considérée ici est assez simple car elle est l'ensemble des points de l'attracteur tels que Z = Zmax.
Le paramètre de contrôle est Ra
Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos
Application à l’attracteur de Lorentz
Le contrôle se fait au voisinage du point fixe, il est donc nécessaire de le déterminer.
Vu la structure de l'attracteur, trouver la valeur de la troisième coordonnée du point fixe permet de déterminer le point fixe dans la section de Poincaré. On utilise donc
l'application de premier retour par rapport à la troisième coordonnée.
Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos
Calcul des perturbations
La méthode OGY nécessite de déterminer les directions et valeurs propres de la matrice jacobienne A. Ici, les sections de Poincaré sont assimilables à des courbes: on ne
s'intéresse qu'à une seule direction propre et on obtient directement la correction On détermine pour cela l'influence du paramètre de contrôle, Ra pour le système de Lorenz, sur le point fixe. Pour plusieurs valeurs du paramètre, on recherche le point fixe, tout comme précédemment. On génère alors plusieurs applications de premier retour.
Superposition de deux applications de premier retour du système de Lorenz (Ra = 28, en bleu, et Ra = 28.5, en vert). Recherche de deux points fixes et de l'influence du paramètre.
Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos
Application à l’attracteur de Lorentz
Connaissant l'influence du paramètre sur le point fixe et, par extension, sur les points au voisinage du point fixe, on est en mesure de déterminer quelle variation du
paramètre doit être appliquée pour ramener, dans la section de Poincaré et au prochain passage, le point courant au point fixe
Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos
Application à l’attracteur de Lorentz
• Qu’est ce que le chaos ?
• Pourquoi l’utiliser ?
• Objectif de ce travail de thèse.
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Introduction
• Non sinusoïdaux => large spectre => robustesse au fading
• Non périodiques =>séquences de longueur infinies =>sécurité de la transmission
• Quasi-orthogonaux =>grand nombre de séquences possibles=> augmentation du nombre d’utilisateurs
• Remplacer des porteuses sinusoïdales par des signaux chaotiques.
• Remplacer des codes d’étalement par des codes chaotiques.
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Avantage des signaux chaotiques
2 champs de recherche
Proposer un schéma de démodulation dans le cas d’une transmission multi-utilisateurs avec porteuse chaotique.
Contraintes:
• Discriminer chaque utilisateur.
• Les conditions initiales de l’ émetteur ne sont pas connues au récepteur
Implantation d’un codeur/décodeur chaotique numérique autosynchronisant en présence de bruit.
Contraintes:
• Fonctionnement en temps réel et en présence de bruit
• Implantation sur système embarqué
81
Plan
Etat de l’art
Synchronisation de porteuse chaotiques analogiques
Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques
Etude de la consommation en ressources électroniques
Conclusion.
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Plan
Etat de l’art
Synchronisation de porteuse chaotiques analogiques
Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques
Etude de la consommation en ressources électroniques
Conclusion.
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84
•Les modulations analogiques
•Les modulations numériques
•Utilisation de codes d’étalement chaotiques
Etat de l’art
L. Pecora and T. Carroll. Synchronization in chaotic systems. Physical Review Letters, 64 :821–825, 1990.
• Première synchronisation
• Masquage chaotique
• Modulation d’état et démodulation par observateur
M.Itoh and H.Murakami. New communication systems via chaotic synchronizations and modulation. IEICE Trans. Fundam. Electron., Commun. Comput. Sci., E78- A(3) :285–290, 1995.
Observateur de Luenberger ou filtre de Kalman étendu.
85
Démodulation avec un récepteur identique. Démodulation avec un récepteur dont les paramètres varient de 1%
Généralement la précision requise au niveau des paramètres du récepteur est supérieure à celle atteinte par les composants analogiques classiques
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•Les modulations analogiques
•Les modulations numériques
•Utilisation de codes d’étalement chaotiques
Etat de l’art
Principe: Remplacer les fonctions de bases sinusoïdales par des fonctions de base chaotiques
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Principe: Remplacer les fonctions de bases sinusoïdales par des fonctions de base chaotiques
Système à démodulation non-cohérente
1997 Chaotic ON OFF switch keying G. Kolumban, M.P.Kennedy, and G.Kis. Performance improvment of chaotic communications systems. Proc. European Conference on circuit Theory and Design, Budapest, pages 284–289, 1997.
1996 Chaos Shift Keying differentiel G. Kolumban, B. Vizvari, W. Schwar, and A. Abel. Differential chaos shift keying : A robust coding for chaos communication. PROC. IEEE Workshop on Nonlinear Dynam. Electon Syst., NDES’96 :87–92, 1996.
2007 Schéma à porteuses
chaotiques et démodulation par régression
A. Buscarino, L. Fortuna, and M. Frasca. Separation and synchronization of chaotic signals by optimization. Phys. Rev. E, 75 :2007, 2007.
89
Principe: Pour la démodulation cohérente, la porteuse chaotique doit être connue et synchronisée.
90
Principe: Remplacer les fonctions de bases sinusoïdales par des fonctions de base chaotiques
Système à démodulation cohérente 1993 CSK avec synchronisation maitre
esclave
H.Dedieu, M.P.Kennedy, and M.Hasler. Chaos shift keying : modulation and demodulation of a chaotic carrier usi self-synchronising chua’s circuit. IEEE Trans. Circuit & Systs. Part IIAnalog and Digital Signal Processing, 40(10) : 634–642, 1993.
2000 CSK avec détection par corrélation M.P. Kennedy, R. Rovatti, and G.Setti. Chaotic electronics in telecommunication.
CRC press, 2000.
91
92
•Les modulations analogiques
•Les modulations numériques
•Utilisation de codes d’étalement chaotiques
Etat de l’art
L’ étalement de spectre à séquence directe
L’idée de base est de remplacer les séquences binaires pseudo-aléatoires traditionnellement utilisées dans les systèmes à étalement de spectre par des séquences binaires ou multi niveaux issues de générateurs chaotiques.
93
Etat de l’art : Des codes pour le CDMA
Systèmes à Etalement de spectre 1997 Etalement par séquences
par corrélation : chaotiques multi-niveaux
G. Mazzini, R. Rovatti, and G. Setti. Chaotic complex spreading sequences for asynchronous ds-cdma-part i : system modelling and results. IEEE Trans.
Circuits Systems-I : Fundam. Theory Appl., 10 :937–947, 1997.
2007 Etalement par séquences chaotiques multi-niveaux combinées à des séquences pilotes classiques.
B. Jovic, C. P. Unsworth, G.-S. Sandhu, and S.-M. Berbe. A robust sequence synchronization unit for multi-user ds-cdma chaos-based communication systems. Signal Processing, 87 :1692–1708, 2007.
2008 Etalement par séquences chaotiques multi-niveaux combinées à des séquences pilotes classiques.
G.Kaddoum, P.Charge, D.Roviras, and D.Fournier-Prunaret. Chaos aided synchronizationfor asynchronous multi-user chaos-based ds-cdma.
Proceedings of the 15th IEEE International Conference on Electronics Circuits, Malta, 2008.
94
Etat de l’art.
En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales.
En discret : Synchronisation par une méthode ensembliste puis génétique.
Générer des séquences chaotiques: ressources consommées vs efficacité.
Conclusion.
95
96
• U générateurs chaotiques sont utilisés pour étaler U messages; .
• Tous les signaux étalés sont ajoutés;
• Du bruit additif gaussien est ajouté au signal r(t);
Contexte de la transmission
Contexte de la transmission
• Chaque signal chaotique est issu de la discrétisation du système d’équation suivant:
• Les systèmes sont déterministes et les trajectoires dépendent des conditions initiales
• Le récepteur connaît les équations de l’émetteur mais pas les conditions initiales.
• Grâce à l’unicité des séquences chaotiques, l’estimation des conditions initiales garantie la synchronisation.
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Objectif: estimer les condition initiales
• L’objectif est de retrouver les conditions initiales en minimisant une fonction de coût quadratique entre le signal reçu et le signal estimé.
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L’algorithme
Choisir des conditions initiales pour chaque utilisateur Choisir des conditions initiales pour chaque utilisateur
Jouer la trajectoire pour chaque utilisateur Jouer la trajectoire pour chaque utilisateur
Calculer la somme de toutes ces trajectoires estimées Calculer la somme de toutes ces trajectoires estimées
Etablir le critère quadratique entre la trajectoire estimée et le signal reçu
Etablir le critère quadratique entre la trajectoire estimée et le signal reçu
Estimer de nouvelles conditions initiales Estimer de nouvelles
conditions initiales Critère>Seuil
Synchronisation Synchronisation
Critère<Seuil
99
L’algorithme
Choisir des conditions initiales pour chaque utilisateur Choisir des conditions initiales pour chaque utilisateur
Jouer la trajectoire pour chaque utilisateur Jouer la trajectoire pour chaque utilisateur
Calculer la somme de toutes ces trajectoires estimées Calculer la somme de toutes ces trajectoires estimées
Etablir le critère quadratique entre la trajectoire estimée et le signal reçu
Etablir le critère quadratique entre la trajectoire estimée et le signal reçu
Estimer de nouvelles conditions initiales Estimer de nouvelles
conditions initiales Critère>Seuil
Synchronisation Synchronisation
Critère<Seuil
100
Recherche par une méthode de descente à pas fixe: itération 1
=Signal transmis
=Etats internes
=Etats internes estimés
101
Recherche par une méthode de descente à pas fixe: itération 25
=Signal transmis
=Etats internes
=Etats internes estimés
102
Recherche par une méthode de descente à pas fixe: itération 50
=Signal transmis
=Etats internes
=Etats internes estimés
103
Recherche par une méthode de descente à pas fixe: itération 100
=Signal transmis
=Etats internes
=Etats internes estimés
104
Recherche par une méthode de descente à pas fixe: itération 300
=Signal transmis
=Etats internes
=Etats internes estimés
105
Objectif : trouver le lien entre et .
conditions initiales
Par discrétisation du système dynamique , on obtient l’ équation de récurrence:
Si le vecteur d’état subit une légère variation , on obtient:
Et en linéarisant:
Où
106
conditions initiales
Par propagation, on peut obtenir la variation de l’état à l’instant k en fonction de la variation de l’état initial:
107
conditions initiales
En cumulant le carré de écarts sur le scalaire transmis:
on obtient
Ce critère analytique peut être dérivé pour obtenir le gradient et le Hessien:
avec
108
Méthode de descente de Levenberg Marquardt
109
Résultats
110
Résultats
111
Conclusion
• Minimisation du nombre d’itération
• Possibilité de démoduler un signal bruité composé de 10 porteuses
112
Plan
Etat de l’art
Synchronisation de porteuse chaotiques analogiques
Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques
Etude de la consommation en ressources électroniques
Conclusion.
113
Implantation d’un codeur-décodeur chaotique auto synchronisant en présence de bruit.
•Encodage et Décodage temps réel
•Débit de 10 MChips/sec
•Séquence d’étalement multi-niveaux en filaire, séquence d’étalement binaire pour une transmission sans fil
114
Principe de l’autosynchronisation.
115
116
Principe de l’autosynchronisation.
117
Hypothèse de bruit borné
Transmission sur 256 niveaux à 5 MSymboles/seconde
118
Hypothèse de bruit borné
•En supposant le bruit borné, le nombre d’états possibles du codeur devient fini.
•Idée: tester tous les états simultanément et éliminer les états qui produisent une séquence incompatible avec les contraintes de bruit.
119
Symboles émis: 100 200 144 33 66 132 8 17
Symboles reconstitués 106 202 134 23 64 131 5 26
L’algorithme ensembliste
Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole.
Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Réception du symbole suivant Réception du symbole suivant
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu
Synchronisation Synchronisation
Nombre candidats>1 Nombre candidats = 1
120
réception du premier symbole.
réception du premier symbole.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Réception du symbole suivant Réception du symbole suivant
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu
Synchronisation Synchronisation
Nombre candidats>1 Nombre candidats = 1
121
réception du premier symbole.
réception du premier symbole.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Réception du symbole suivant Réception du symbole suivant
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu
Synchronisation Synchronisation
Nombre candidats>1 Nombre candidats = 1
122
Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2
Ensemble des vecteurs possibles ayant produit le symbole y(k) représenté sur le plan de phase
123
Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2
Ensemble des vecteurs possibles représenté sur le plan de phase en supposant un bruit borné
124
Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2
Intersection entre l’ ensemble les vecteurs possibles estimés et les échantillons réellement reçus y(k-1) et y(k-2).
125
Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole.
Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Réception du symbole suivant Réception du symbole suivant
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu
Synchronisation Synchronisation
Nombre candidats>1 Nombre candidats = 1
Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2
126
Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2
Intersection entre l’image de l’ ensemble les états possibles et les états ayant pu produire y(k+1)
127
Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole.
Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Réception du symbole suivant Réception du symbole suivant
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu
Synchronisation Synchronisation
Nombre candidats>1 Nombre candidats = 1
Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2
128
Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole.
Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Réception du symbole suivant Réception du symbole suivant
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu
Synchronisation Synchronisation
Nombre candidats>1 Nombre candidats = 1
Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2
129
Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2
Les trajectoires sont calculées pour tous les états possibles, celles qui sortent des bornes sont éliminées.
130
Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2
Avec un bruit de +-100 niveaux, pendant les 5 premières itérations, la population d’ états à traiter est supérieure à 10.000.
131
Evolution de l’algorithme ensembliste vers un algorithme génétique
Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole.
Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Réception du symbole suivant Réception du symbole suivant
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu
Synchronisation Synchronisation
Nombre candidats>1 Nombre candidats = 1
132
Evolution de l’algorithme ensembliste vers un algorithme génétique
Détermination d’un ensemble fixe de candidats suite à la réception du premier symbole.
Détermination d’un ensemble fixe de candidats suite à la réception du premier symbole.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Réception du symbole suivant Réception du symbole suivant
Remplacement des plus mauvais candidats par de nouveaux candidats
Remplacement des plus mauvais candidats par de nouveaux candidats
Synchronisation Synchronisation
Critère d’arrêt à itération fixé
133
Evolution de l’algorithme ensembliste vers un algorithme génétique
Détermination d’un ensemble fixe de candidats suite à la réception du premier symbole.
Détermination d’un ensemble fixe de candidats suite à la réception du premier symbole.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Réception du symbole suivant Réception du symbole suivant
Remplacement des plus mauvais candidats par de nouveaux candidats
Remplacement des plus mauvais candidats par de nouveaux candidats
Synchronisation Synchronisation
Critère d’arrêt à itération fixé
134
Evolution de l’algorithme ensembliste vers un algorithme génétique
Détermination d’un ensemble fixe de candidats suite à la réception du premier symbole.
Détermination d’un ensemble fixe de candidats suite à la réception du premier symbole.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Réception du symbole suivant.
Réception du symbole suivant.
Remplacement des plus mauvais candidats par de nouveaux candidats.
Remplacement des plus mauvais candidats par de nouveaux candidats.
Synchronisation Synchronisation
Critère d’arrêt à itération fixé
135
Evolution de l’algorithme ensembliste vers un algorithme génétique
Les niveaux sont codés en binaire: Le critère de sélection est basé sur la distance de hamming entre le symbole reçu et le symbole estimé.
Remarque: la distance de Hamming est cumulée au fur et à mesure des échantillons reçus.
p est la durée de vie du candidat
Le réel γ sert à donner du poids aux candidats âgés, c’est à dire adaptés à la sélection.
• Les nouveaux vecteurs candidats sont générés à partir du nouvel échantillon reçu et des états des meilleurs candidats.
136
