Approche de l'idée de probabilités en classe de sixième

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Reference

Approche de l'idée de probabilités en classe de sixième

VALLI, Gianni

VALLI, Gianni. Approche de l'idée de probabilités en classe de sixième . Genève : Université de Genève, Faculté de psychologie et des sciences de l'éducation, 1982, 211 p.

Available at:

http://archive-ouverte.unige.ch/unige:33537

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UNIVERSITÉ OE GENÈVE FACULTÉ DE PSYCHOLOGIE ET DES SCIENCES OE L ÉDUC.4'fi0N

Cahiers de la Section des Sciences de I'Educauon

PRATIQUES ET THÉORIE

GIANNI V ALLI

APPROCHE DE L'IDÉE DE PROBABILITÉS EN CLASSE DE SIXIÈME

Série Mémoires de licence

N°

V Cahier N° 32

UNIVERSITE DE GENEVE

FACULTE DE PSYCHOLOGIE ET DES SCIENCES DE L'EDUCATION

APPROCHE DE L'IDEE DE PROBABILITES EN CLASSE DE SIX lEME

Gianni Va/li

Série Mémoires de lic:enc:e No V c.hier No 32

Poor toute conttPQndance : Section des Sciencn dtl'~ucatlon

UNI Il 1211 -Genôvo4 ts..l .. •l

OCTOBRE 19112

Je tiens ô remercier 1rè.s vJvoment les mem- bres de la commission d'exon'len, /lAN!, Jean Brun, François Conne el Fronco ZombellonL C'est grace à Jour aide et b leur gr-onde disponibilité qué i'oi pu mener à bien ca travail.

G.V.

Tobie des matières

INTRODUCTION

1. le contexte de l'exp<lrience 3

2. Aspech p>ychologiques 4

3. Expérience> didoctique> 6

4. Les conceptions probabilistes 7

5. Critères de choix des activités 10

6. les motivations 14

7. Orgoni5ation de lo recherche et du travail en classê 16

LES ACTIVITES

1. Porsonnog&s en prison 21

2.

La machine qui apprend 45

3. La monnaie dons fe soc 67

4. l¹ étoile à neuf pointes 79

5. la piste des hexagones 95

6. ^{la ferme de} Monsieur Piene 115

7. t.e.s mystères du tl roge ou sort 133

8. Touché-coul6 143

9. Mostar Mind 167

10. L'ile ou trésor 189

CONCLUSION 201

Blbliogrophie 209

INTRODUCTION

Cette recherche, dons sa partie essentieffe, est lo description assez analytique d'une s6rio da dix activités qui s'in~rent dans ra probl6- motique de la eornblnotoire et du colcvl des probobilités, un damai- ne des mathématiques que l'école obligatoire n'a pr1s on considéra- tion que très récemment.

1. LE CONTEXTE DE l'EXPERIENCE

Ce< activit<!s ont 6t6 effectuées pa< l'enseig>ant de mathématiqu ..

d'une classe (22 61~es) de première du dego-6 moyen du canton du Tessin; pour lo pr6cision, la "Scuolo media" de Mendrisio.

Il s'ogit donc d'élèves qui on sont ô leur sixibne onnée de sc:olo-

rit~, étant donn6 que l'l!cale primaire tessinoise o une durée de cinq ons. En principe ces élèves, s'ils n'ont pas perdu ou doublé des années pendant 1'6cole primaire, commencent 1'6cole moyenne b 11 ans. L'expérience ayant 616 <éalis6e pendant la deuxième

partie de l'année scolaire, la plupart de ces 61~ves 6taient âgés b ce moment de 12 ons.

Une partie du lemps consacré b l'expérience a 616 prise au cours des leçons de math-tiques, mais en général on a ulills6 une

heure ~ciale, qui fi~re dans l'haroire hcbdomodoi<t IQIIS lt nom d' "heure de cloue", de laquelle élèvc.s et enseiQnont peuvent assez librement dispooer.

Actuellement le programme de cette première onn6e d'école moyen·

ne ne prévoit pot explicitement un chapitre consocr4 ô l'étude de la combinatoire ou b l'approche du calcul des prababilit6s.

Ouont aux connaiuMces acquises ô l'école primaire, rnêmè si dons le progranme dit "modomo .. on prévoit des activit6s relatives à ee domaine, les exp6riences, effectivement réalisées sont auez rares ot modestes; d'oilleu" les 61~es qui ani ét6 protagonistes de nol<e recherche1 b oause de l'état tron~itoire de la réforme des contenus de l'enseig"~ement primaire, ovont d'aco6der ou niveau moyén o.-oient suivi un prooromme de mothémotiques dit "traditionnel"', donc:. det contenus qu'on peut brièvem~t dtSfinir cloulques.

Les connoissQ'lces tto1t6es dons le coui"S de l'eMp6tience qve nous allons illusl<e< "oient donc toul à fait nouvelles peur les élèves.

Un certain espace pour des activités de ce type, 0 vto1 dite, est

peut-être implicitement laissé dans le progrcmme officiel de l'école moyenne.

En errer, on y trouve pot exemple des indications qui invitent l'enseignant è consoc;rer du temps ~ des oetivit6s de •mothémotho- tion de situations", çe qui peut être lr~s librement interprété.

On reviendra de toute façon sur ce point, qui est trè5 importoot.

Ici, on se limitera

a

signaler quo los rosponsobles cantonaux de l'enseignement des mathématiques ont invité, encore très récetnment, les onseignonts du degré moyen b rMiéchir sur ce problème de l'in- troducti.an d'activités sur la cornbinotoirc et les probabilités

a

^cé

niveov scolcire.

En ce sens, notre recherche pourrait conttibuor, malgré ses limites évidentes, à fournir quelques éléments utiles b l'étude de cette problématique locale d'enseig'\emcnt.

2. ASPECTS PSYCHOLOGIQUES

Dc.u le domaine qui nous ;nt6re.sse, lo r6F6rence Jo plus importan- te est l'étude de J. Piaget et 8. lnhelder : "lo gen~ de l'idée de hasard chez l'enfant".

Pour ces deux outeuB, le hosord ost b consid6rer CQTI'ne le dcmoi- ne ecmp1hnentoire de Jo eornposition logique, un domoine qui ne peut &tre pénétré por l'enfont qu'une fois constittmas

te:s

opéra- tions réversibles et par une comparaison antithétique <Nec elles l'enfant décauVTe donc peu b peu le hasard par apposition aux opération• logiques.

La notion do probobilité constitue alors l'assimilation du :::ontingcnt ot du fortuit oux opérations combinatoires.

Il existerait donc cette 6troite cornSiotion entre la genèse des opérai ions logiques et celle de• notions de hasard et de probabi- lité•.

l'6volution individuelle de ces notions poueroit por dO$ niveaux qv' on peut résumer ccmme suit :

Promi~re f)§riode (avent 7-8 ens)

Deuxième

~ri ode (do

a

^{b 11 ans)}

Troisi~e

!>§ri ode

(de 11ll 12 ens)

Opérotions losi9UO$

Absence d'op6ralians proprement dites (nivew

pré-opératoire) Construction de groupements op6roto1- res d'ordre logique (niveau des opé- rations conctètos)

Op.Sroti~s ou niveou formel

Idée de hasard et de probobi lité•

Indifférenciation du pos- sible et du nécessaire, du déductible et du non-d6duc!lble.

Oiff6renciatlon et anti-

th~se entre op6rotions (domaine du déductible) et hasard (domaine de 1' incomposoble et de l'Irréversible)

SynthM! du hasard et dos op6ratians déduc;tives (composition probobi 1 iste) Pour arriver tl ces conclusions, Piaget et lnheldM ont réalisé une l6rie d'e><périencel conçue en découpant le domaine 6tudié selon les dimensions suiv<W'Ites :

- notion d'irréversibilit~ liée OU)( situations de m6lange;

- notion de dispersion lii~!e oux situatioru de distributicn (centrée

OY uniforme);

... notion ete hosord liée aux situotioru do tirage au ^50rl;

- quantification des probabilités;

- op6rotions de combinaison, de permutation et d'ortongement.

Ce d6coupage, qui a été effectué pour r6pondre aux questioos relati- ves b la genèse de$ conœpts, ne suffit êvidomment pos b sotjsfoire nos exigences d'enseignement et il n'e:st donc pas question de le tronspo ...

sor tel quel dans une expérience pédagogique. Quant au cadre t~ori­

quo dons son ememble, il nous int6resse sons doute, mois d'une maniè- re relativement générale :dons notre oas particulier, tout en tHant convaincus de la ~cessité d'une r6Rcxion sur le problème, encore ouvert, des rapport> entre la psychologie gfn6tiquo et l'enseignement des contenus mothérnotiqueo, an peut afflnnet que le codre de référen- ce

"'i

nous est foumi par Piaget et lnheldor peut c;onstituer une moti- vation complémentaire pout l'introduction d'octivitM relatives ou domaine "hasard-probabilités" dons les programmes dC$ premi~res on- nées d'6cole moyenne (11-12 ons).

Mois il fau·t bien être consc:ients que le choix d'un contenu d'en- seignement doit s'appuyer oussi - et même avant tout - sur d'outres consid6rotions ét motivations.

3. EXPERIENCES DIDACTIQUES

Nous ovc;:ns essayé de recueillir dés informations relcrtives aux expé- riences menées en diff~rents cantons de la Suisse ot OUS$Ï dons d'outres pays d'Europe (l'Italie notamment).

Il fout dire que, ou-delà des inêvitobtes différences liées aux si- tuotioos particulières, nous ovon.s pu remorquer une tendance géné- rale qu'on retrouve avssi don.s les travaux du Hongrois T. Varga, qui est peut-être lo plu.s connu ponni les chet"cheurs qui ont tra- vaillé dons le domaine de la combinatoire et des probabilités ou niveou de 1 'école obligatoire.

C'est donc là-des.sus que nous avons fixé en porticuliar notre atten- tion.

Dons son livre u Les probabilités ô l'école obligatoire", élaboré en collaboration avec M. Gloymann, Varga présente son modèle péda- gogique, qui se présente sous rorme d'une- longue série d'activités, de jeul<.

Dons les conclusions du livre, nous pouvons lire (p. 219) !

"Volontairement, nou-s avons évité, autant que possible, toute théo- rie; il reste ô montrer comment introduire è l'école les éléments de la théoriie des probobflités. ¹¹

Mois si on analyse & fond le projet, on voit qu'il est conçu sur la bose d'un découpage qui est strictement moth~atiqve; c'est- ô-dire la succession des activités répond ô un ordre qui est propre aux mothém:otiqvé:s (la combinatoire d'abord, le modè.le mathémati- que d'analyse d'une situation ensuite, puis les statistiques qui pré- parent les activités de simulation, etc.).

la théorie, renvoyée par la porte, revient par la fenêtre ...

Ceci n'enlève absolument rien ô l'intérêt des activités présent6es, mois révèle une eonc:eption assez proche de l'empirisme, malgré une forme qui oppotait interactionniste et consh'uc:tiviste.

C'est d'aill-eurs la même oonception qu'on retrouve dans tous les

projets pédagogiques relatifs ô c·e domaine qve nous ovons eu l'oc- casion de consulter.

On se demonde alors si ce découpage est ïustifié, surtout si, comme le font Varga e:t Gloymann, on port du principe que "jusqu'ô: 14 oo 15 ans ils semble difficile de présenter le domaine des probabi- lités comme une science déductive; mois, CQr'M'Ie nous avons tenté de le prouver dons ce livre, nous pouvons conduire les enfants à entrevoir et utiliser les lois du hasord¹¹ (op. cit., p. 219); ou bien si, au moins en cette phase qui peut être définie comme l'appro ...

che b la probabilité, on ne doit pos se passer de l'enchaînement des concepts qui nous est fourni par le.s mathématiques et partir ou contraire de Jo considération que la connaissance est une cons- truction se foisant lentement de l'intérieur, canme un tout orgon!~,

qui n'est pas nécessairement c.ongn.~ent avec l'apprentissage par discipline venant de l'extérieur.

4. LES CONCEPTIONS PROBABILISTES

Si en général on salt que les mots du longoge courant ont une signification appro'<jmotive et indicotive, non univoque, on prétend que, presque toujours, dons le longa9e scientifi9ue, on arrive à donnor b chaque tenne une signific:otion bien déte~minée.

le mot "probabiiH6" est un e><cellent contre-exemple.

On connor. en effet plusieur5 réponses à la question "Qu'Mt-ce que signifie probabilité ?".

Nous signalons ici les quatre conceptions qui, en première appro- ximation, sont cJ considérer comme les plus impottantes :

- la conception classique, ... la conception statistique, - la conceptioo subjective, - 1o construdion ox~omatique.

tes fondements de la théorie cloisique des probobiliMs, qui s'occu ..

pe de l'étude des situations où les ~v6nements possible$ peuvent être considérés comme équiprobables, ont été jétés par Blaise Poscol (1623-1662) et Pierré de Fermat (1601-1665). Dons cetto c:onc;eption, si par exemple on jette un cU idéal, on attribue à chocun des six r~sultots possibles la même probobilit~ de se v~ri­

fier.

Mois le développement successif des sc;ienc:e:s no pouvait évidem- ment pas se d6sint6resser des événemenh non 6quiprobobles.

Quelques exemples :

1. D¹id dix jours

re

serai vivant 0\1 mort; dois-jo donc att-ribuer 11 ces doux possibilités la même probcbllit6?

2. Dons une courte cydiste, doit-on aHribver b choque concurrent lo même probobillt6 d'être le vainqueur?

3. On jette doux d~s; je porie qu'on obtiendra sept et mon ani parie que le totol sera cinq. Avons-nous lo môme probabilité de gagner?

Ces exemples montrent <f.J'il existe un probl6me d'estimotia'l des probobilités des 6v6:nements élémentaires.

Ce problème peut 8tre résolu de trois mCI'1i~ros différ,...tes.

Premier exempla

En ce cas on pout calculer, por une rechetche statistique sur des tables do martolit6, quelle est la prabcbilit6 do •urvle pour les dix prochains jours d'un individu soin et qui ne s'expose d'habi- tude pos 11 do• dongen mortel•.

On con•idltro ain•i la probobilit6 canmo 6tont 6golo 11 la fréquence relative donMe por lo relation entre le nombte de &§cès et lo to- talité de la population considérée.

Cette conception ost connue sous le ncm de conceetion statisfigye de la probabilit6.

Les fr~quoncos relatives des événements sont 6videmment suscepti- bles do variations b choque invesfi9CJtion stotistique; on doit donc admettre que ce n'est pos strictetnont correct que de eonsic:W:rcr égaux la probob11ité d'un 6vénoment et un nombre qui varie en fonction de la connaissance que nous avons du problème.

On peut do tovto foçon croire que la fr,quenc:e relative puiue s'opproch..- do plu• "" plus de la probcbilit6 r6elle avec l'augmen-

tation do la population consi~r~e.

Deuxi~mo exemple

Dons le cos do la coune cycliste la probabilit6 dépend de facteurs objectifl li6s 0 la connaissance de la situation (informations sur

les couret~ra, sur le parcours, sur les tactiques, etc.) et de facteur$

subjectifs relatifs b ce que ¹¹Sent" le sujet· qui fait la prévisfon.

On parle alors do conception subjective do lo probabilité.

Selon cette c:cnception les madèles do calcul, 6lobo<6s por Keynes, Sovoge, De Finetti at d'outres, mewrent le degr6 de ca'lfiooce qu'un sujet cohérent attribue à l'occurence d'un certain 6vénement.

Cette évaluation de la probabilité tient donc compte >Oit de la manière de penser du wjet, 50H de son dogr6 d'information ou mo- ment de so prévision.

Troi$ième oxempl e

Si l'on suppose que l'on o b dbposition 2 06s icUoux, on peut observer que pour obtenir 7 points nous ovCW'Is los possibilités sui ..

vont es (6, 1) (3, 4)

(5, 2)

(2,5)

(4, 3)

(1' 6) A.J total 6 pos>ibililé•

Pour obtenir 5 pointa nous avons ; (4, 1)

(2, 3)

(3, 2)

(1' 4) Au total : 4 postlbilltés

On conviendra qu'il o•t mieux de parler sur le 7 (p ~ 6/36) que wr le 5 (p ~ 4/36), en présupposant implicitement quo le• événe- menh élémentoiros de la situation (les réwltota 1, 2, 3, 4, 5, 6 de choque d6) >Ont ~iproboble>.

On retrouve ici lo conceotion el oui gue de probabtlittS.

On ne souroit tenniner ee bref tour d'horizon sur les diff6ren·tes conceptions sons citer l'oxiomotisotion du calcul des probabilités élaboré<! por 1'6cale mathématique russe (8emstein, Kolmogoroff, etc.) et qui ost bas6e sur les théories modemes des fonctions mé- triques et dos cnsembl es.

Mois pour revenir 11 nos plu• made>tes problbmes, 61ont donné que notre but e$1 do construire une série d'activit6s introductives à la problématique des probobll it6s, nous nous bcmeron• b considérer

les conceptions les plu$ intuitivH1 c'est-a-dire lo conception clas- sique et Jo conception statistique, qui sont d'ailleurs celles qui ont été historlqu-t 6loborées les promi~res.

S. CRITERES DE CHOIX O(S ACTIVITES

On vient d~énoncer- vn premier crit~re qui nou.s o aidé dan le choix des octivité.s effectuées en clo:s.so et relotir ou contenu : nous avens .eu soin de choisir quelques situations analysables soit d'vn point de vue clos.sique, soit du point de vue des fréquences n~oll•s des trésultots, pour pennettre une comparaison qui puis.se mettre en évidence voleur et limites dos doux conceptions.

En particulier, le nanbre des élève• de la classe est une richesse qu•on doit exploitar afin de récolter des données statistiques utili- sables dons vne phase s.ucc:essivo do réflexion et d'analyse.

Un deuxième critère de choix découle directement d•une des co- roet6ristiques intrinsèques du domaine dos probabilités : historique- mont, le calcul des probabilités a pris naissance en 1500 ô port ir de l'élude de situotiono liées ou jeu.

On no peut donc pœ imaginer une occasion mei li evre que celle-ci pour stimuler l'intérêt des 'l~es en leur proposant des oc;:tivités où les mcments de jeu sont une compotanto non seulement utile mois même nécessaire.

Pour une fois - u qui n'arrive pas st souvent, comrre on aimerait le foire croire- on peut parler de jeu dcru le vrai sens du terme, e'MI-à-dire d'oetivités dtns le;quellts los sujets s'engagent pour le plaisir et- pour l'oc:tivit' en Jol.

Le ressort qvi doit pou"er alors los 6lllvos li p05Ser de lo phase de jeu "por" ô la pho.se d'analyse de co môme

fov

ne peut être que lo stimulation de lo compétition, lo d6str de trouver une s.tra- t6gie qui puisse pefTnettre de

I ovor

mieux.

Nous avons donc pris en eoruid6rotion prioritairement quelques oetivit6s de jeu com~titif avec strot6gto QOŒH::Ilte.

Une OJtre coroc;:téristiqve qui est propre ou dc:moine des probabili- t6s est son universoliM, c'Mt-.6-diro le fait qu'on peut retrouver les notion• el les c:onc:epts liés li cette problémoti"'e dons un éven- tail très lorge de situotions.

Por con~enl nous avon• eosay<! de pr6senle< des I!Sttîri!él..ttb

't,_Ori~ei, très di~rentes entre eiiM.

C'est d'ailleurs une c;:oractéristique qui pennet ouui de maintenir toujours êlevé l'intérêt des él~ves.

Un dos problèmes qui se sont pooés dans lo phooo do c:hoix des oi- tuolions p6dogogi"'es o élé celui de lo ccmploxil6 des octivit6s, CJ.IÎ est souvent assez ~lev6e en ce dcmoine.

En grfnérol n~s CN'CW\S choisi des variantes des ieux pris en con.si- d6rction en limitant le nombre des flfments initiaux; moh, malgré cette pr6c:oution, les analyses successives dos situations sont deve- nues porfoh onez longues et çomplexes.

l'altomotive b laquelle on est confronté est la suivante : .. s1 on simplifie ul-térieurement la situot1on, l'analyse es-t plu1 foeile1 moh l'aspect "ieu" devient tr~s banal;

- si le choix lcmbe sur une vorlonle qul prdsonlo des élémenh ludiques intéressonts, l'anolyse peut devenir assez ccmpliquêe.

Pour 6viter de tomber dons le piège du ujeu" qui n'est plus un (ev, nous ovons opté pour la douxi&mo solution, en prenant 50ln de donner oux élèvM, si nécessoire, dos 616ments et des informa-

tions suppl6mentoirei pour leur pennettre d'avancer dan leurs recherches.

Celle attitude est c:onfortée pot lo certitude que dons un travail do ce genre choque élève, b son niveau, soit tirer profit de l'in-

teraction avec lo situation proposée.

On constatera que ces critèr~ de choix n'ont aucun rapport striet ni avec lo construction mathématique r.lative ou danaine ccmbi-

notoiro et probabil it6s, ni avec les porom~tres qvi n.ous sont four- nis por 185 éludes sur l'évolution psychologique deo élilvas.

En

particulier, il ne faut pas oublier quo nous nous intéressons ici b la phase d'approche du dcmolne "probobliiMs"; Il nous semble

tout b fait naturel de renoncer. en cottp phaso. b une structuration systématique dictée par la discipline.

Ceci n'empêche pas d'imaginer, et mime do soutenir, une tracta- lian plus ponctuelle de ce chapitre des moth6mollques dons le

c:ou"

dos onn6es d'6cole qvi suivront lnvn6diotemont.

Dons notre cos l'obiectif principal, en ce qui eonoeme le contenu des octivité:s pédagogiques propos6es, est de cr'er un patrimoine d'ex.p6rienca canmunes aux ~liwes, en leur permettant de se con- fronter, en situotion, aux notions ot ovx ~les qui $Ont P"OPre:S ou domaine des probabilités.

lo valorisation et l'exploitation de ce patrimoine de•nait justement constitue.- une des c<lroct~ristiques de la future tractation systbno- H.,e.

La $Uçcession et l'enchaînement des oc:tivit6s ne tont donc. pos induits par tine logique eX'feme, moth6motique ou psychologique, mois par une loaioue intemo qui peut être r6swruSe canme suit :

lntroduetion oux c.oncepH et

~ lo tenn inologie (certain, po.ssible, impossible, ete.).

Recherche do lo strotégôe opt imolo dons Je.s jeux à dou>< personnes.

Optimi$01Ïon de la strot6gie de jeu sur la base :

- de la ccmpoi'Oison entre hypo- thè..,. et r6soltats;

• d'une 6cnelle qualitative de probabilités, du type :

· événement certain, IÛf 1

touiours vrai

·événement probable, facile

·événements 6golement probables, équiprobables

·événements possible, difficile, peu probable

·événement impossible, certainemant foux.

Introduction b l'ld6e d\a"'e échelle qucntitotive d'évaluation

d~JS possibilités qu'on rencontre dons une. situation

AnalySé de situations wr la bose d'une échelle quantitative de probabilités (eoneoptlon classi·

que) et c-poroison du mod~le théorique avec les données obte- nues en réalité (conception statistique).

Optimisation de la strat6gle dons un Ï"" b deux personnes Il l'aide d'une échelle quontitative.

Activités d'évoluot;an - de l'intuition de l'id6o do probabilité

- de la copocit6 d'onalyter une situation.

la compatibilit6 de$ situations d'Of'lsolgnament avec cet enc:hoin~ ment o êté un outre eritère qui o déterm1n6 le chol)( de certaines activit6s en lieu et place d'outres priMS en con~idérot1on prélimi- nairoment.

On remotquero enfin que les demi6res octivh's ont un but drévo- lvotlon.

Nous n'avons pas construit un instrument d'6voluotion dons le sens strict; nous nous sonmes ou contraire limit's ~ ytiliser des activités,

choisies avec: les cr-itères. énoncés, b

des

flot d'ltyoluotiçn. le problttne était en effet de chercher une validation inteme à la conception pédagogique oui o inspiré cette approche; on ne pou·

voit donc poi !.t référer à des modàle.s (par exemple des tests de type psychologique) exfeme-s, conçus svr la base d'outres exigences.

6. LES MOTIVATIONS

Il nous reste encore ô préciser pourquoi un chapitre consacré à la probabilité doit trouver sa plaeo dons les progranmes scolaires ô ce niveau.

Nous ovooso déjà si9"1olé que le moment parait favorable du point de vue: de Jlévolution intellectuelle des élèves, mois il ne faut pos oubli or, comme l'affirment J. Brun et F. Conne dans "Approc-hes en psychopédagogie des mothémotiquasu (p. 4) qu' "enseigner les mathématiques constitue un projet global dont les finalités wnt déterminées socio ... politiquement".

Dans les différents projeh d'erueignement qui s'occupent de ce pro- blème do la probabilité, nous trouvons un large éventail de moti- vations plus ou moins acceptables.

En voici quelques exemples :

- 11le colc1UI des probabilités est une attrayante bronche des mo- thématiques qu'on emploie dans les communications, en physique nucl~aire, pour le$ ossuronces, don$ l'étude d~ morchés. Celui qui connail quelques choses sur les probabilités peut mieux com- prendre notre mondo. u (Tiré de : Johnson, Norton, Glenn, Co.so e probobilità, p. 5.)

- "Si les applications aux différentes bronches du savoir ont fait ougnenter lo volour da cette étude, il ne faut pos oublier un outre O$pect, fortément éducotif, qu'élie présenté.

A l'école troditionnelle on n'étudiait que lo logique à deux va- leurs : le triangle est équilatéral ou ne l"est pas, l'opération est correcte ou fous se.

Cette monièro de voir les choses se répercutait dons les iugements moraux et on était alors portés ô distinguer le monde en bons et méchants, en justes et injustes1 à voir tout c-'os.sifié Gf'l bie-n et mal.

L'étude du c:olcul das probobilit6s, qui est une logique à plusieurs voleun, fait sentir son influence sur les jugéments ous!.i, qui ou- ront tendance à être moins catégoriques. u (Tiré de : Moterioli pe.r l'insegnort"'ento dello cornbinatorio - probobilità e stotistico

ooclle scvolo elcmentare

f

Progelto RICME.)

- "la tMorie des probobilités et lo statistique: sont deux domaines importonts, intégrés à nos activités quotidiennes. le monde de l'industrie, les ccmpagnies d'ossvmnce!. sont largement tributaires des lois probabilistes. Lo physique elle-mêm.e est de natvré esscn- 1iellement probabiliste. Il e-n est do même des fondements de lo biologie. C.epefldont, en dépit de cette importance, les responsa- hles de l'ensé:igncment n•ont pa.s encore admis le cotoctàre univcr- 'cl de lo théorie des probabilités et de la statistique. Il fout es- pérer que des éléments de lo théorie des probabilités soient intro- duits dàs que possible au niveau do l'enseignement secondaire.

( ... ) Privés des notions probabilistes, les: enfants ont une vision défQmlée de la rnot~otique : ils pensent qu'entre le 'vrai' et

le 'foux', 11 n'y a rien d'CJJtre. n (Tiré de : Gloymonn-Vc:rrgo1

Les probabilités ô l'école, pp. 9-10.)

- "Le but de (•introduction de ce nouveau chapitre est lo con- clvèto d'instruments - mentaux, de repMsentotion et opératoires- 'lUi sont nécessaires pour un développement intellectuel équilibré, pour l'analyse de situations variées, pour le choix de conporte- tllents plus conscienrs. 11 (Tirt! de : Probabititêl, OPE/Ct. Tessin, l'· 50.)

Et on pourrait conf inuer.

Mois pour nous lo motivation la plus importante est d'ordre stric-

1 t.'tTient pédagogique

Nous avons déjO signalé que dons le programme officiel de mathé- rnotiquc de J'école moyenne tessinois.e on trouve des indications relatives à des activités de "mathématisation de situotions".

Malheureusement, après 1e grand mouvement réformiste des années '70, on assiste oujourd¹hui à vne pression toujours plus forte des èXigences "essentiolistas" sur le.s progranrnes.

En d'outres termes, lo conception empiriste de l'enseignement ::'impose de nouveau, peo ô peu, avec toutes ses coroctéristiqves (objectifs définis por discipline, détaillés et juxtapo&!s, sons grands 1 iens avec le développement et le• rythmes des élèves).

l'étude de situations, qui se bose sur une conception plus constrvc- liviste et interoctionniste, mais qui ne peut pas promettre des ré-

~ltats immédiats et uniformes, n•est pas négligée; mois on laisse

cette partie du progrCI"nma b la benne volonté des enseignants, rel6gu6s en fin d'ann6e s'il re>te du temps et à de• fin• de répé- tition.

Nous ponsocu olon quo l'introduction d'un chapitre c.onsocré ou coJeul des probobilit6s

a

ce niveau scolaire, c-n roi500 des coroc- t~ristiquos spfcifiques de ce domaine des mathématiques, peut êt-re une oxc:olf~te occasion pour reYoloriser les activités d'molyse des situotiofu, de problem-solving.

En d'outres termes, en opposition aux tendances plu-s récentes sur le piQ'\ oontonol teuinoi&, nous soutenons que la dimen.sion "solu- tion de I)!ObiM'!os" est une importante fin on soi et doit ovoir son

O'f'OCO obligatoire dans un p<ogrCIIM1e de mothémotique ou moins ou mirne titre que les chapitres con$0Ct'~S par exemple ovx nombres, oux onsomblti w b la g6om6trie plone.

7. ORGANISATION DE LA RECHERCHE ET DU TRAVAIL EN CLASSE

Avant do pr,sentor en d6toil les activités réalisées en clo»e il fout oncoro donner quelquM p~cisions b l'égard de l'organisation dv travail el do l'oœervotion dll$ élèves.

Les 61èves ont eu libort6 presque absolue pwr la composition des groupe.s de travail; soule limitation : lo nombre de cM groupes (cinq-si•).

Nous avons pv crssvmer le dcwble raie d'enseignant et d'observa- teur en alternant los moments de recherche por groupes et le-s pha- ses de discussion ovec toute lo classe.

Toute• les leçons ont 616 enregistr6es por magnétophone selon le sch6mo suivant :

- phoses do discussion : enregistrement par magnétophone seulement;

- phœos de trovotl en groupe : obutrvotion d'un grovpe, ovec:

enregistrement por magnétophone et prise de notes du canportement et de lo conversation avec les 61èves (protocole de style ~!inique).

Pour n!coltcr de~ donn6os sur le comportem-ent des groupes non observés, nous avons demond6 lo colloboro'lion des él~es, qui ont été inform6s sur les Onalit6s de la recherche.

On o donc toujours demond6 des r6ponse:s êctites, intégrées par

des notes sur lo d6rouloment de lo recherche : par exemple, clans les joux b deux personnel, les 416vu notaient choque fois, à l'ai- de de formulaires 61obor6s ad hoe, toute la s6rie de plis ou de mouvements offoctu6s.

En g6n6rol, cette tôcho o 6t4 retnptie do manière très satisfaisante.

Mois la phase la plus importante do choque oc;tivit6 a 6té la pré- paration et l'onoly~e préliminaire que nous ovo•u effectuées choque fois. Seulement opr•s une 6tude et donc une connaiuonœ très approfondie do choque situation, nous avons pu, opr~s, conduire une conversotion orient6e ovec les 6l~es et remorquer soit le5 dif0cuh6s, soit les progr~s.

Dons toute octivit6 p6dogogicp.~e, évidemment, lo préparation im- médiate de l•ense1gnant jouo un rôle important, mois dcr'lS C'e type de recherche c'est vraiment le moment euentiel.

C'est lo raison pour laquelle nous avens pris soin de prEsenter de monlèro eloire el tr~s d6tolll6e l'onolyse de choque activité :

ceci, surtout (1 l'intention des ens.eigoonh, si icmoil qvelqve col- lègue d6.siroit utilhor ces notes pour une nouvelle opplic:otion en clœse.

LES ACTIVITES

Activité no 1

PERSONNAGES EN PRISON

1. PRESENTATION DE L'ACTIVITE

1 . 1 . Le matériel

le matériel préparé pour cette activité Ent un carré en papier (dim. 19,5 x 19,5 cm environ) dont les deux côtés sont divisés en 9 carrés égoux.

De1 lB petits çorrés qui én résultent : - 14 portent un pen.onnoge de Wolt Disney;

- 4 sont découpés en grille et repré.entent deux prisons (A et 8).

oyont chacune un eôM externe et un côté interne.

l'oxtérieur de chaque prison est colorié, tandis quo l'intérieur est laissé en blanc.

(Voir pages suivantes.) 1. 2. L'activité

le grand carré doit êtte plié selon (es lignes de subdivision, de monière b ^former un "poquet'' de dimension égcle ô oelle d'un corré unitaire.

Tout outre type de pliage (diagonal, divisant en doux les petits carrés, etc.) est interdit.

Le but est de faire paraître, sur une des foce$ externes du poquet, une dt» prisons, ô l'intérieur de laquelle on puisse apercevoir un des personnages des.sinés.

Le matériel te matériel

A

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Exemples

A 8

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. . . • • ^.

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1.3. Acceptabilité des solutions

On occeete ccmme volables les solutioru où le prisonnier se pré- sente on position renversée por rapport êl sa prison.

Exemple :

On n'accepte eos, av contraire, les cos où

- le personnage est vu à travers lo gl'iJie, mais il reste ô l¹exté- rievr de lo prison (exemple o) ;

- le personnage est vu ô travers les grilles des deux prisons (exemple b).

Exemple a Exemple b

8

I"'T1rnn:r

intérieur de la prison 2. LES SOLUTIONS

Ce jeu est une vorionte du problème du pliage d'un carré subdi- visé en 9 petits carré$ égaux.

D'une manière plus 9énérole, il s•ogit de trouver combien de plio- g.es on peut effectuer avec un carré divisé en n2 corrés (problèc'ne

prés~nté por M. Gardner dans la revue ... Sc.ienze" ₁ édition en lon- gue italienne de Scientific Americon).

Dons notre cas particulier, nous. pouvons distinguer deux types de solutions :

- solutions simples : un s0ul personnoge poroit correctement sur une des fooes du poquet;

- solutions doubles · de choque côté du poquet on trouve une solution correcte.

2. 1. Les solutions simples

les solutions simples du jeu proposé s01t les suivantes : - per$00noges qui peuvent être placés dons la prison A

2 7 b c e g

- personnages qui peuvent être. pl a·cés do11s la pd son B

a 6 5 3

2. 2. Symétrie des solutions simples

On peut remorquer qu'une rois qu'on 0 trouvé les solutions pour une prison, on peut en déduire par analogie les solutions volable$

pour l'outre prison.

En eFfet, en faisant pivoter le c.orr6 sur son axe horizontal, on se rend çompte de l'identit~ des deux côtés du jeu.

... ... _.. · -- -- - 1-

1 ¹

Prlaon

1

A (n t.)

1

Prloon B (oxt.) On pêUt donc chercher d'obonl les solutions pour une deo dwx prisons, pot exemple lo prison A.

On trouve :

1· · • . oolulhotr.. "'"' en gri.s.

personnage wr le devant de la feuille

personnage sur le reven de lo reville

Maintenant on peut tTouver direçternent les solutions pour la prbon 8.

On remorquera, en particulier, que le-s seuls personnages qui ne peuvent pos êtm mis en prisa-. sont IOJ deux (4; d) qui se trouvent en position oentrale.

2.3. Dewés de difficulté deo solutions simples

Il faudra avant tovt fixer un code pour indiquer les différents

movvements

de pliage.

a) Lo position de d6port est toujour> celle du jev collé b la page 22, b sovoir :

Prison B : Intérieur

Prison A : extérieur

ou bion lo position S)'l1!6trique obtenable grôce b lo rotation de 180" décrite b lo page 26.

b) l'axe prolong6 ost l'axe du pliage qu'il fout effectuer.

uo 4o pltago

c) Ule Flèche continue siSJ'Iifle ~ plier en foisont pivoter vers l'ovant.

d) Une fl~cho pointill6e signifie : plier en foison! pivoter vers

l'orTibre.

e) lo lettre "P'' b côt~ d'une flèche signifie : plier et enfiler dons lo "poclnette" qu1 s'est ~termln~e dcwu lo jeu.

en ••a.nt en arri~re

,--

^...

p /' .. ,

• •

les dcgr6s de dlfficult6 des solutions simples sont essentiellement trois.

Premier degrf : solutions "noturelles ..

Ce sont letS solutions qu•on trouve por un mouvetnent ccmme le suivant :

Ensuite on complbte le poquet en oyant soin de no pos cocher lo prison qui nous int~ro"e (.., bos b govche),

Ces solutions naturelles sont

e - -+A

g - - A

3 - -+B

1 - B

Deuxi~• dear6 $Oiutions "semi-noturelles"

On les trouve par un mouvttnent oornme le suivoot

,:··

...

Ensuite on complète le poquet en oyant soin de ne pos cocher lo prison qui nous int6resse (en bos b gauche).

les solutions ,..,l-nolurollos sont :

7- - A ⁰ - -+ 8

Troisième degré solutions ovoc pochette

Ce sont des cas oi) lo mouvement final consiste b enfller le pêr-

sonnoge voulu dons lo pr1son qui, grâce aux mouvements précé- dcnvnent effectu6s, o pris la forme d•une "pochette".

Il y a trois diff6rentos sueoessions de pliages avec pochette;

choquo succession donne lieu

a

^{deux solutions nouvelles (on ne}

considère pos ici les cas olJ on retrouve, por pochette, des per- sonnogos qui peuvent être emprisonnés en effectuant des plioge$

de type 1 ou Il).

3. OBJECTIFS PEDAGOGIQUES

&, présentont oux 6r.ves cotte première activité, on o voulu leur donner Poccasion de s.e confronter et de nSf16chir sur une situation qui touche ovx conoopts de :

- po,.iblo/impossible (solutions sim.ples), - ccmpotible/inccmpotible (solutions double•).

Sur cos concepts (et wr lti mots qui les dési!1'ent) on o """yé d•crtirer et do Fixer l'attention dos ~~~es

a

travers une discussion a»lloctivo tenue en concfusion do l'octivit~ de recherche des solu- tions.

En outre1 cette octivit6 pr6sento un certain inMrêt cussi du point de vue des strot6gies do rfsolution, coroctéris.tique qui a été mise on évidonco don• lo f>O'Oglophe précédent.

Pour c.ette raison, nous avons obseM les él~ves en action en te- nont porticuH•remont compta de la distinction entre les solutions trouvées por simple manipulation et les solutions trouvées pour vérifier do• hypothbsos dictées por la structure symétrique du ma·

tériel propos<&.

4, REALISATION DE l'ACTIVITE EN CLASSE

4. 1. Orgonisotlon du trovoil

l'activité en cloue a été articulée en quatre phos ..

Phase ¹ (cl OS$0 organ 1s6e par groupes) Temp• : 20'

Matériel - un jeu pour choque élève;

- uno fouille-guido por groupe, pour lo notation des solutions trouvéti.

Consigne - trouver of noter les solutions simples;

... noter les remarquas du grovpe sur lo manière de

trouver les solutions et, 'vontuellament, sur lèS solu- tions mêmes.

Phose Il (toute lo cloue) Temp• : 10'

Dbc:uuion et comparaison des r6J,ultots de~ différ-ents groupes;

correction des erreur~. Les ~11011 •ont c:onpl6tés.

Phose Ill (cloue orgonis41o par groupes) Tomp• : 15'

Mot6riel: e<>mme pour lo phase 1

Ccwui9"o : - trouver et noter les sofutioru doubles;

- noter los remotques du groupe sur lo manière de trouver la soluti~u et, éventuellement, sur les solu- tions mêmeJ.

Phase IV (toute lo classe) Temps : 15'

Discussion er canporoison dos r6su ltol! des différents groupes;

correction des foutes. les rfsuhots sont ccmplétés.

Fixation do lo terminologie relative aux concepts-cl~• de l'activité.

4. 2. Elève• on action

Phase 1 : Ccmportemont du groupe observé o) L'idée do "possible"

La première solution trouvée por le groupe observé o été g- --+ A

Il s'agit dOI'c d'une des solutions noturelles dv jeu, qu'on obtient par le typo lo plus simple de pliage : lo caractéristique de cette :.olution ost qu'on l'obtient en folsont opporoilre le personnage g directement dorri&ro la pri100 A par le pten'lier mouvement . Ce mouvement simple pourrait suggérer directement les outre$ solu-

tions naturelles

.~~· "\

s-•

A

. l=++=l _ _ •

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.J=t+:l , _.

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Chez. les ~IWes, ou contraire, c'est l' i~o d'une stratégie e)(J)Ioro- tjve systématique qui est prépond6ronto : une stratégie qui ne s'occupe pcs des coract6ristiqu0$ del solutions trouv6es (manière de plier), mois qui se limite à excminer, cos oprbs cos, toutes les possibilit6s.

A. : "Essayons donc tous ces personnage~ (ceux du devmt du jeu) doru lo prison A."

On

o pu con:Stoter c:pJe la strot6gie suivie spontooément por les

61~ves de ce groupe - ovee beaucoup de talonnements et de fou- tes - o été essentiellement lo suivante :

Euoyer de placer :

1. les penonnages du devant du jev dons la prison A, 2. les personnages du revers du jou dcou la prison A, 3. les personnages du devant du jev dons la prison B;

4. les penonnog~ du revers du jev doru lo pris.on 8.

Donc :

.. l'attention des élêve5 se fixe d'abord sur le mot,r·iel et svr ses 614ments;

- les fl.ves, spontanément, ne "fl4chiuont pas sur les mouvements de pliage qu'ils effectuent.

Une solution trc:uvée- vne possibilit~- n'induit pas

a

réfléchir sur la relation entre la position du penonnoge emprisonné et la position de so prison.

Choqve solution est condd6rée comme un CO$ isolé, une possibilité qui n'a rien à voir avec d'autres possibilités hypoth6tiques, engen- dr6as par des mouvements identiques ou analogues.

Cette constatation est c:onfinn6e pot le Fait que, dons la suite de leur reeherehe, les élèves arrivent à t-rouver, dons l'ordre, les trois outres solutions naturelles : mais ces quatre solutions restent quatre cm s6parés, sans roppor1 entre eux.

Cette attitude, il fout le préciser, n'est pas constante : en effet, par mornentJ, l'icUe de mettre en relation por couples des person- nages se manifeste, surtout

a

^partir du moment où l'ensei91c:nt montre qu'tl est p<J$Sible d'enfermer dc-'\s une des prisons un per- sonnage d6jb cloué comme étant "impoosible" (2 A, par un mCU\Iemenl r:Nee poehe"e).

Tout de suite, cette "technique de la pochette" éveille lo curio- sit6 des élèves : l'idée surgit d'utiliser le même moovement pour trouver d'outres solutions, donc de se r6f6rttr oux coroct6ristiques d'un 6v6noment possible pour chercher d'autros 'vénOtnants possi- bles.

A.: "Attention~ Peut .. être peut"'on mettro f aussi."

En effet, f dons lo prioon 8 est la solution sym6trique 0 çelle montr6o par l'enseignont, 2 dons A (et 1'61èvo A. arrive bientôt b lo trouver).

Cette id&: de couple$ de solutions so monifoste phnieuf'5 fois, sans jcrnois s'imposer dons le groupe :

O.: "Pourquoi n'essorons-nous pas fe Set le c ?"

M.: "Ceux qui sont dans le c::entro .•. le 4 ot le d ••• •

M.: "Mois •.• cc poutroit ôtre vn raisonnement •.• " Il regarde olternotivemont les deux côt6s du jeu. "Ceux qui sont de ce côt6 .•• Ah, non ... Je me suis tranpé ... "

En•.: "Pourquoi don• lo prioon A peuvent être placés 3 personnages et dons la B oeulement 2?"

M.: •Mois olles sont diff,rontes .... c'est différent.•

Done cette idée de sym6trie des solutions n'arrive pos à s'offinner clairement dons le groupe.

D'ailleurs en n'o pas voulu pous.ser trop dans ~tte direction pour éviter de biois.er lo troisiM\e phase de l'activité.

b) L'id6e d'impossible

L'impossibilil6 de ploeer un penonnoge donné dons l'une ou l'ou- tre des prisons o 616 bien plus difficile ô d6cidec

En effet :

- quand un penonnoge est mis dans une prison, les élèves ont posltivemOf'lt et d6Finitivoment une r6ponse quant à l'existence d'une telle .solution;

• ou contraire, un insuccès ou u ne !Aria d'insuccès n'autorise pas

une conclusion définitive : ce pourrait être simplement signe d'inadéqvotloOn do la stratégie suivie, et le1 éfève.s s•eo rendent

bi on compte.

Lo dlfficultc!l est encore plus marquée dons le cos de notre jeu pareo quo :

- les 6lève1 ne c011noissont pas le nombre total des pliages possi- bles (donc Ils 1e réf~•ent implicitement li un nombre indétenniné de posslbi lité•);

- dons la c:oura da l'activité, l'onseignant o montr6 qu'un eos classé comme impossible 6tolt en r6olit6 possible.

le mot ¹¹impo11ible", employé par les ét~ves après un insuccès ou, plus souvent, oprh une Hrie d'inwc:cès personnels ou collec:tih, est généralement suivi por une tentative d'explication qui les oblige à l'intéresser b la position dos perSQnnoges par rcpport ovx

pt'Î$00S.

Mois, ce qui est intéressant, môme si la justification est correcte, l' impos.sibilit6 conserve toujours un coroct~re très p~oaire.

En d'autres mots, apr~ ovoir off1rm4 qu'un certain ~vénement es1 impossible, les 61~es sont enclins b le reprendre focilêment en conoldérotion comme s'il 6toit possible.

M.: uceux qui sont ou centre : c'est impossible ! "

En,.: "Pourquoi?"

M.: •Porçe qu'il faudrait plier conwne ça. Cest interdit. •

M. (plus tard) :

"Essayons enc«e une fols avec coux qui sont ou cer"~tre."

A.: "Coux-cl (le• pononno991 qui sont 1vr

1•

do:vont du jeu), c:'est Impossible de los mettre en A."

A. (plus tord) :

nEssayons le l dons A."

0.: "Coux-ci, le 5 et le c, on ne peut pas les emprisonner."

Ens.: "Pourquoi ?"

0.: ^{11 •••} mois ••• "

M.: "Paree qu'Ill oont trop lointains. Il faudrait plier lo feuille ou mlliou. C'est Interdit."

O.: "Oui, c'est impouible."

D. (Plus tord) :

•• Pourquoi n'essayons-nous pas le S et le c ?"

c) En conclusion

L'emploi des termos possible/Impossible poroil assez pertinent, mois, pour le moment1 ees odjectifs sont référ6s à des événements

porticuliers plutot qu'à des catêgori.,. d'6v6nements en roppor1 entre eux.

lo c:IO$$ifieo1ion des événements en pos.siblos et impossibles est donc effectuée essentiellement por tobulotlon, avec seulement quelques moments de réflexion sor les deux catégories et sur leurs caroct6ristiques li l'int6rieur de ce jeu.

Phœe Il : Mise en commun des r6•ultat• do la pha•e 1 a) Le• résultats des cinq groupe•

iol'iiUOIII Col11Uoa• eorre11t.11 ·) oo11 \ro\l'he •)

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b) Commentaire

Solu'I:Sona

rao••••

•

•

t

Compte tenu du ternp5 <mez limit6 loiss6 oux "~ves, an peut ccn- sidfrer assez. normal le fait que plusieurs solutlons n'ont pcs été déterminées; en pottjcu(ier, trois groupes sur cinq n'ont trouvé au- cune solution de troisième niveau (avec pochette).

Ouont ou.x foutes commises, on o pu cUterTniner pendont la di$CCJs- sion qu'elles sont à attribuer 0 des rou-ssos transcriptions (por

exemple, les élèves ont écrit "e dons 8" av lieu de •e dons A"). Lo disOJssion foite en c:orrwnvn ovec lo classe o 4t6 centrée : - sur lo mise en cx:trWnun et l'och6vemtw~t de lo transcription des rfsultots, povr mettre tous les groupes dons les mômes condition$

avant d'aborder la phase Ill;

- sur la mise en évidence de l'imoogibilitf d'M'Ipfisonner les deux personnages qui se trouvent ou c:e-ntre sur les devx façes du jeu.

La pouibilitê de trouve.- des solutions par •ym6trle n'ayant pas été signalée spontanément par les élèves, olle n'a pas Fait l'objet de di ICUSSÎon.

Phase Il) : Comportement du groupe oboorv6 o) Les concepts de "compatible"

ot d' "incompatible"

On a pu remarquer que les flbvM ont suivi tout de suite une m<!thade cruoz pertinente par rq>parl b la altuation.

C.: "Es.soyons tous fe$ cos que nous ovons trouv& et regardons ce qvi opporoit de l'outre eôt'. •

Uno m~thodo donc de prise en cansid~rat ion exhaustive des solu- tions simpfes et de vériFication successive de l'existence, à l'inté- rieur de celles-ci, de solutions doubles.

l'exclusion dos cas d'incompotibillt6 n'a pas 6t6 sCh.lloment impli- cite

M.: ''Coux Q\/CC la pochette ne sont jamais bons. On ne peut pos trovve.r l'outre prison de l'outre e8t6."

En offot, les solutions doubles sont toujou11 Fonn6es par des solu- tion• simples de premier ou do deuxi~o degré.

c· ...

^t fort probablement pour cette rolson que 1 ... quatre solutions ont ét6 vite trouvées par les élèves du groupe oboerv6.

Un outre 61ément de facilitation est le foit quo, controirement ou cos da la phase 1, les élèvei connaissent ici 1• nombre maximum des combinois.ons qu'il fout vérifier.

A.: "C'est tout : il n'y en o pos d'outres."

Ens.: •Etes-vous sûrs ?"

A.: "'Oui, nous avons essctyé toutes les 10lutions. Il n'y en a po$ d'ovtre.s."

b) en c 0 n" 1 u. 1 on

Lo str-atégie suivie par les élèves obsarvés est essentiellement la suivante :

- ils connais.sent de• événemenh pouibles (P) et d .. 6vénemenh impossibles (l);

- ils excluent tout de suite les cos : 1 x P; P x 1; 1 )( 1 ~

- ils examinent •ysti!matiquement les couples d'événements de type P x P afin de les classifier en :

. couples pouiblo• (donc, 6v6nemenh compatible•), . couples impouibles (donc, t!vénemenh ineompotibles).

Cette cta"ificotion n'est pos c::.p6r6e seulement par simple monipu- lotion, mois aussi par exclusion d'l.mo cotégorie de couples (celles qui comprenn01"1t un ou deux personnages: qu'on emprisonne par un plioge avec pochette) : ce qui marque un progrh con•idérable, our le plon do lo llrotégie de r6solution, par rapport b la phase 1. le• concepts de compotibilit6 et d' incompotibilit6 Jemblent donc être assez correctement perçus par les ~lèves; l'introduction de lo tenninologie appropriée (les mots "cotnpatiblo" et "incompati- ble") semble donc justifiée.

Phaso IV : Mise en commun des résultcrts de la ph<ls& Ill et discussion çondusivo

a) les r6sultots des cinq groupe•

Sohtlon• Solutlona Solution•

correct•• non trou<rfea fl.\11111

Cro<gpe 1

P· _••

^{1)) )}

^{! •} •• ^{· '!} •

Cr01:1fl ?

P· .. ^'

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Croupe '

P· .. 'l ^{' ! • •• · ! l}

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P· _••

^{)1) )}

^{! •·} _••

^{al) )}

Crowpe 5 (7,

(c. B

^{(e, •)}

^{< ·.}

¹⁾

b) Commentaire

L.os r6sultats obtenus par tous les groupM confirment l'imprcuion qu'on o aue en observant le groupe 1 : lo compréhension de lo situation est bonne er les solutions trouvfes sont sotisfoitantes.

Le groupe 2 f-ait exception qui, b côtf des solutions correctes, ajoute deux solutions fausses.

En discussion on o pu mettre en év1donce que ces solvt1ons avaient 6t6 prop0$ées par un 61,ve qui, dans lo groupe, avait soutenu qu'il les avait trouvées, mois qu'il ne s.ovoit plus les reconstruire : le groupe lui avait fait confi<W'Ice.

C'est un épisode qui met en évidence un o:spect int6reuant de ces travaux en gtoupe : un 6fève qui n'arrive pas 0 trouver des solu- tions volobleJ chercho b se valoriser c.,x yeu)( de-s autres par ce type do détour; le groupe occepte por un méconismo de compéti- t1on analogue 01 fout trouver plus do solutiCKu que los outres groupes).

c) lo discunion conclusive

Cotte discuuion o été articulée ouontielloment en doux partiéS : - la structure sym~trique de la feuille du jeu et ses implications;

- les concepto-clés (possible/impoosible; compatible/lncompotible).

Pour ee qui est de lo structure du jou, on a anen6

les

él~ê! 6 r6n6chir sur fe foit quo, soit pour les solutions simples, soit pour- les •olutions double•, on o trouv6 un nombre pair do c:œ. A por- t ir de cette constatation, on a fait surgir l'hypothèse que "e:e quo l'on fait avec la prison A, on pout le foire oussi avec la prison 8".

Par quelques monipulatlans on a v6r1Fi6 cette hypoth~se, pui• on a dre>Sé

ou

tableau noir un diagronwno do correspondœlce das sofvtions :

Solutions simples Don• lo prison A Dons lo prison 8

2 f

7 a

b 6

c 5

e 3

9 1

Solutions doubl~s (le premier élément du couple va dons la pri•on A, le deuxi6rne dons Jo prison B)

(e, o)

(e, 1) - - - -

(7, 3) (g, 3) On ~n o onfin tiré quolquos éléments do discussion relatifs b l'économie dons Jo recherche des solutions dons un problème de ce type.

Ouont oux concepts-cl•s de l'octivit6, oprès ovoir r6glé sons dif- Ficulté le quostion de Jo possibilité et do l'impossibilité d'emprison-

".e~ !el ou '.~1 person~a.ge, la discussion a 6t6 cantr6o sur fa eompo- toboloté et 1 oncompotobolit6 des solutions •impies.

Ouelque relation o été tre»œe avec les repr~sentotions dé Vénn, dons le cas d'ensembles ovec intersection, at ovec le connecteur

"et".

Ensuite, on o examiné en détail les. doux solutions fausses propo- sées par le groupe 2 (voir page 40): (e, 3); (3, 5}.

Dons le premier cos, l'inccmpatibilit6 des solutions e ot 3 ett

prouvée par la manipulation : e dons A est paS>ible, 3 dons 8 est oussi possible, mois les doux événements ne peuvent pœ se vérifier en même temps.

Dons le deuxiOOle cos, ou c:ontroire, la v&rificot ion prof'ique est inutile : on effet, soit fe personnage 3, soit le personnage 5 ne peuvent itre mis que dons la pri.son B.

l'incompotibilit6 des deux solutions simples 3 et 5 est donc prou- vée directement, sons, bosotn de manipuler le jeu.

5. EVALUATION

Le jeu o su•clté beaucoup d• intérêt chu les élèves, peut-être parce qu'il s'ogif d'une recherche assez. différente des activités plus strictement lifes ou progea••nc de moth&notiquo.

la C:QnsiSJ1o o ~té bien ccwnptise et le fait de connoilre por levn noms les personnages de5Sinés a fovoris6 la corr.municot;on ô l'int6- ricur des gtoupes et de lo c:lassc.

Il fout signoret que, contrairement à co qu'on attendait, c:es per-

sonnoges n'ont pas eu d'influence wr les 6l~ves; du point de vue affectif {por ex~le : mettre en prÏ$0tl deux "méchants" en même temps, etc.}.

L'int6rêt des élèves est e;onfinné par le fair que plusieurs d'entre oux ont voulu gorder le matériel pour pouvoir essoyer pendant qvel- ques jours, b la moison1 de trouver ••• d'outrM solutioru.

l'activité

paron

ouez pertinente par rq>pc><t aux objectifs préfixés : elle o donn.' l'occosiCWl aux 61èves de se conrra"lter avec lo possi- bilité, l'impossibilité, lo compatibilité, l'incompotibilit6, et o fait sul'gir l'ex1gence d'adopter des tennes auparavant inconnus.

Ces conceph ont 6té repris on d'outres domaines, povr en renforcer la connoiuonce; par exemple :

- dons l'étude des relation• d'ordre et < (eompatibilit6 entre x>5 et x< IO; incompatibilité entre x< 5 et x >IO);

- dons 1 .. closdficotions des triangles (compatibilité entre rocton- 91• et isosc~lo; Incompatibilité entre rectangle et équilo"rol);

etc.

Dons ces trorupœitions., l'~vocotiœ du "jeu des prisons¹¹ o louiours 616 très effiooce.

Le temps consacré 0 l'octivit~ o paru beaucoup trop restreint; en laissant travailler davantage les élèvé-s avec le matériel, on aurait pout-être osslllé b d'outres découverles el b quelques prog~ sur le plon de la stratégie do recherche des solutions.

En

effet, on o vu que pendant la troi•iérne phase, par rapport à la première, la me;lleure ecnno1ssonce du fonctionnement du maté,· rlol o jou6 un certain rôle de facilitation.

lo discussion finale aussi, avec la mise ou point des concepts- cl6s, aurait m6rit6 un espace plus important.

A ee propos, 11 ne Fout pas oublier que le temps oonso-" par f'enseignOI"''f soit b la préporctfion du mor6r1el, soit

a

l'analyse prciolable de la situation, o 6t' assez c:onsldérobfe; donc, en fai- sant travailler plus longtemps les ~lèves sur ce jeu, on pourrait améliorer le ropport "invMti"ement de l'enseignent / travail des 61èvM" qui, dons le cos spfcifique, paron ouez onti-t!conomique.

Activité no 2

LA MACHINE QUI APPREND

1. PRESENTATION DE L'ACTIVITE

1. 1. le jeu

Le joo à deux personnes chohi pour cette douxl«ne oc.tivité est assez univers.ellement connu çcmme ieu du "nlm".

Il a élô très à la mode i 1 y a quelques onnéos, à la oui te d'un fi lm• d'Alain Resnais où l•u protagonistes le pratiquaient.

Il •'ogit de disposer deo allumettes, por ox.emple, en 4 rongées selot'l le schbna suivant {d'autres disposition.s sont 'vidomment pos- sibles) :

1

^{Ure nnsh}

Ill ^{a ••}

^rang4e

11111 ^{Hm • rans'•}

1 111111 ^4lao

^ransh

Les deux joueurs doivent enlever oltemotivemenl une ou plusieurs al h.•nettes de la mime rongée.

Celui qui prend la dernière allumette a I!!!Éll.·

1 . 2. Notre version

La disposition choisie pour la r6alisotian en cl aue est plus simple:

3 ran~es ~eVI«nent, pour pormottro oux 6l~es de mieox pénétrer lo strot6gie du fou.

En outre, on o pr6fér6 ulitis.er des jetons., porce que les allumettes, conwne on le verra, ouument une outre fonction dans notre activiM •

A •

^{Hu rang4o}

B • • •

^{2~a• rang-ée}

c • • • • •

1. 3. lo mocnino

t•

idée de base de J•octivit6 Mt de raire iouer les élèves contre une "machine .. , donc contre un odveraairo qui ne pense pas.

Cette machine- ost constitu6e de 6 boi'tes d'allumettes, coll~es

entre ella• en iiono ot num6rotéos do 1 6 6.

La foce sup6r1ouro do choque boFte porte une des dispositions qu¹on peut rencontrer dans le cUroulement du jeu.

A l'intérieur de choque boito il y odes allumettes qui portent do• signes; 6 choque allumette corre'J'cnd une répon<e de lo mo- chine.

Par exemple

••ln•,. 2 jeto1u l le 2h • ran,s4•

etc.,