Une quintique de genre 1 qui contredit le principe de Hasse

Texte intégral

(1)Article. Une quintique de genre 1 qui contredit le principe de Hasse. WUTHRICH, Christian Martin. Reference WUTHRICH, Christian Martin. Une quintique de genre 1 qui contredit le principe de Hasse. Enseignement mathématique, 2001, vol. 47, no. 1/2, p. 161-172. Available at: http://archive-ouverte.unige.ch/unige:12378 Disclaimer: layout of this document may differ from the published version..

(2) L'Enseignement Mathématique. WUTHRICH, Christian. UNE QUINTIQUE DE GENRE 1 QUI CONTREDIT LE PRINCIPE DE HASSE. L'Enseignement Mathématique, Vol.47 (2001). PDF erstellt am: Mar 30, 2010. Nutzungsbedingungen Mit dem Zugriff auf den vorliegenden Inhalt gelten die Nutzungsbedingungen als akzeptiert. Die angebotenen Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre, Forschung und für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und unter deren Einhaltung weitergegeben werden. Die Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern ist nur mit vorheriger schriftlicher Genehmigung des Konsortiums der Schweizer Hochschulbibliotheken möglich. Die Rechte für diese und andere Nutzungsarten der Inhalte liegen beim Herausgeber bzw. beim Verlag.. SEALS Ein Dienst des Konsortiums der Schweizer Hochschulbibliotheken c/o ETH-Bibliothek, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz retro@seals.ch http://retro.seals.ch.

(3) UNE QUINTIQUE DE GENRE. 1. QUI CONTREDIT LE PRINCIPE DE HASSE par Christian WUTHRICH. 1.. Introduction. Le sujet de ce travail est de construire un contre-exemple au principe de Hasse (voir par exemple [CCS]) pour la famille des quintiques de genre. THÉORÈME 1.1.. La courbe projective plane. ayant cinq points doubles et donnée par. V. C/Q,. de. 1.. genre géométrique. 1,. équation. (1.1). possède des points. lisses dans. tous. les. Lind. [Li]. et. complétés. de. Q,. mais aucun point. rationnel. Dans. les. années. 40,. Reichardt. [Re]. ont. montré. contre-exemples que le principe ne s'applique pas aux courbes 3 3 La cubique diagonale découverte par Selmer [Se], 3x -f- 4y + le contre-exemple le plus connu. Aujourd'hui, on connaît même algébriques dont toutes les courbes sont de. de. genre. 1. et. de 5z. 3. des. contredisent. le. par. genre. =0,. des 1.. est. familles principe. Hasse (voir [CP]).. jacobienne, j'ai pris connaissance des travaux de T. A. Fisher, qui dans sa thèse [Fi] construit d'autres exemples de quintiques qui contredisent le principe de Hasse par une méthode différente de celle utilisée ici. Il obtient ses exemples comme torseurs de courbes elliptiques, Après avoir trouvé cette courbe. et sa.

(4) mais il doit apparemment sur Q.. se. restreindre. à. des. courbes elliptiques avec. 5. -torsion. première partie de cet article décrit la méthode pour construire les courbes qui satisfont la condition géométrique, en utilisant des surfaces de Del Pezzo de degré 4. Après la construction du contre-exemple, la démonstration du théorème est expliquée en détail. J'aimerais attirer l'attention sur la La. démonstration. du. cas. global. contient des éléments. qui. originaux,. comme. l'examen simultané - pour une même équation - de deux éléments qui sont des normes: voir (4.1) et (4.2). Entièrement programmée sur ordinateur, elle a été appliquée à des familles de courbes pour tamiser un contre-exemple. La fin de l'article est réservée au calcul de la jacobienne E associée à cette quintique qui nous sert de contre-exemple. La normalisée de C représente alors un élément d'ordre 5 dans le groupe de Tate-Shafarevich lUCE/Q).. 2.. Quintiques planes. de. genre. 1. Soit v un nombre algébrique de polynôme minimal. sur. Q. Soit Pi. =(1:tu:. a;. 2. ). G. P. 2. (Q(w)) notation. et. soient P 2. ,. P3. ,. P*. et. P5P. 5. ses. B pour la conique xz —y2 = 0 conjugués sur Q On introduit la qui est définie par les P; Nous allons chercher toutes les quintiques C/Q du plan ayant des points doubles en Pi, P 2 ,^3,^4,^5 Pour cela nous considérons .. .. •. système linéaire complet des cubiques passant par les points P*. Prenons comme base les cubiques A//Q suivantes. le. :. Ceci donne une application birationnelle j de Pq dans une surface S de Del Pezzo de degré 4 dans Pq, isomorphe au plan éclaté en les cinq points P. ( ,. voir [Be]. Un petit calcul de syzygies montre que des deux quadriques. définies sur Q.. S. est égale. à. l'intersection complète.

(5) L'intersection contracte sur. se. points Pf (s. de. :. t). i->. P2P. 2. qui ne contient pas la surface en une sextique ayant des points doubles dans les cinq avec une quadrique. S. Q. On prend une droite du plan, par exemple. .. (0. s. :. :. t).. Son image. surface. sur la. S. est. x—o, paramétrée une. par h. cubique gauche. paramétrée par. On cherche toutes les quadriques de h. sans. long de. contenir toute la surface h et d'une courbe dont. S.. la. P4P. 4. qui contiennent cette cubique gauche. Une telle quadrique coupe la surface le. contraction sur. ayant un point double en chacun des points P déjà cinq quadriques dégénérées de la forme. t. .. le. plan est une quintique. On n'a pas de peine à trouver x^xi = 0 pour 0 < / < 4. Les. quintiques correspondantes s'écrivent comme. De. plus,. on. au-dessus de. 0 0 trouve trois cônes quadratiques de sommet (1 trois quadriques dans l'hyperplan donné par l'équation :. Voici les quintiques associées. :. :. 0. x0. :. =. 0), 0. :. :. voit que les équations de et sont des combinaisons linéaires des 5 6 et C 4 Les quintiques {CO,C 0 ,C u C 2 ,C 3 ,C 4 ,C 7 } forment équations de C o 2 une base du système des quintiques du plan ayant des points doubles en On. C5C. C6C. C2C. .. ,. Pi,->P5',. on. vérifie qu'elles sont indépendantes. système est égale. points. P(. à. 5 ((. +. 2. ). -3•5=6,. sont indépendantes.. car. les. dimension. du. conditions imposées par. les. et. que. la.

(6) D'après le théorème de Riemann-Roch, tout diviseur de degré 1 est linéairement équivalent à un diviseur effectif, c-à-d. à un point rationnel. Pour éviter d'avoir de tels points sur notre courbe, il faut que l'application deg: Div(C/Q) — Z ait 5Z comme image. Nous avons utilisé cela pour tamiser une certaine famille de quintiques. Remarque.. ». pour trouver notre exemple: on prend une quintique dont on a vérifié qu'elle On choisit quelques droites au hasard. L'intersection de a des points locaux. la quintique avec chacune des droites doit être un diviseur irréductible sur Q.. Sinon la quintique possède des points rationnels. Pour la courbe. par exemple, on ne trouve pas tout de suite un point rationnel. Mais quand on. coupe par la droite. ce qui. —y+z=o,. 3x. montre qu'il. racine. une. £. cyclotomique Q(0. [CF], chap.. 3.. -H. disc(Q(Q) =. .. en. cinq si. H. primitive. des entiers. Le premier. Un premier rationnel p. (mod 11),. :. eme. l'unité.. de. considère. On. le. corps Pour tous les résultats de ce paragraphe, je me réfère à. L'anneau 9. factorise. Un corps de nombres. 3.. Soit. se. point rationnel quelque part.. un. a. y. trouve un polynôme qui. on. 11. —1. p=. se. Oqçq est égal. à. Z[(]. et le. discriminant vaut. totalement ramifié 11Oq(o = (1-C) décompose en dix idéaux premiers si. 11. est. 10. :. -. p=l. (mod 11). (mod 11) et dans les autres cas il. se. 5. = autrement il reste premier si factorise en deux idéaux premiers. ;. p5p. —1. Q(O il y aun sous-corps réel de degré 5, K= Q(£ +Q, qui est le corps fixe sous l'action de l'élément a d'ordre 2 dans GaI(Q(Q:Q). Comme l'extension Q(C)-Q est abélienne, K:Q est galoisienne. Le discriminant est le seul premier âisc(K) doit diviser celui de Q(Q ce qui entraîne que ramifié dans K; il est aussi totalement ramifié. On trouve un générateur de Dans. 1. 1. ,. l'idéal au-dessus. IIest facile. de. de. HZ. calculer. le. prenant 0 = Q{0:K (l polynôme minimal de 0. en. -Q. NQ{O:K(IN. De plus, l'anneau des entiers Ok de K est égal .. 2-Ç-ÇeO K. :. principal; un fait On peut déduire de l'action de à. Z[o]. que nous n'utiliserons pas. On a \\O K — (6) a sur les idéaux que les premiers rationnels p = ±1 5. =. .. Il est. (mod 11). se. factorisent.

(7) ±1 (mod 11) tandis que les p différents de 1 restent premiers. PARI-GP® trouve une base des unités modulo 2 -50 +5, 4 - SO +2102 - 200 + s}. torsion, à savoir: {0-2, 0-3,. en. cinq idéaux premiers distincts dans. OKO. K. 1. 3. 040. 62-506. Proposition. Pour tout. 3.1.. fGOk. avec. £. (0). on. a. Puisque \N(O\ = #((O) et Q ue (0 se factorise en idéaux premiers, il suffit de montrer que N(p) = ±1 (mod 11) pour tout idéal premier (mod 11) et (#). Soit p est au-dessus d'un premier rationnel p alors sa norme est égal à ±p, soit p est de la forme pO K et dans ce cas Preuve.. p=±l. N(p)=p =±1 5. (mod 11).. Dans l'appendice de [Co], Daniel Coray utilise cette extension K:Q pour construire une quintique qui contredit le principe de Hasse. Mais elle est lisse et donc de genre 6. L'équation s'écrit. Remarque.. Par. ailleurs,. degré. 5. été. a. premier contre-exemple qui est une courbe plane lisse construit par Fujiwara dans [Fu].. le. Choix de la courbe. 4.. La quintique sera une. On. qui nous servira de contre-exemple au principe de Hasse. combinaison linéaire. choisit. N(x-ey). C. de. les. coefficients. = N K:Q. (x-£y). g. t. et X t. tels que les termes sans. z. s'écrivent comme. s'écrivent comme N(x-rjz) pour certains s et rj e K. J'ai essayé avec un millier de choix différents de (£,77) pour lesquels il existe des coefficients g et À/. Parmi ceux auxquels ma méthode de démonstration s'applique, j'ai choisi le plus simple: et que les. termes sans. y. t. dont les normes sont.

(8) coefficients. et les. Cela nous donne la courbe. donnée par (1.1) dans le théorème principal. Le polynôme minimal de lu est p(X) = 4 - 12X + 10X 2 - 7X 4 + 4X 5 qui est irréductible sur Q. Dans la suite on pose r := — 16N(x - ey) et C. ,. rjz). Puis on constate que l'équation (1.1) peut être réécrite sous chacune des deux formes suivantes. s. :=. 16N(x. —. —. :. (4.1) (4.2) où. /. et. sont des polynômes homogènes de degré. g. 5.1.. sur. Z.. DÉMONSTRATION DU CAS LOCAL. 5.. PROPOSITION. 4. courbe. La. donnée par. C. lisses dans tous les complétés de. Q.. Comme. C est. (1.1). des. possède. points. impair, il est clair que C/R possède un point lisse. On commence petit à petit par les premiers nombres premiers p. Pour p = 2 lorsque l'on remplace z par Sz dans l'équation (1.1), on obtient une courbe dont la réduction modulo 2 est égale à Preuve.. le degré de. :. Elle aun point lisse. points lisses pour. F. 3. pour. LEMME suppose que un. Preuve. de. la. 5.2. C. Fl3F. 13. :1:1). réduction. (0:1:3). ,. (0:1:1). contient. de. (0. pour et. (0. F. F2. sur. .. modulo. de. C. 5. (0:1:5). ,. :1: -2). Ensuite, on trouve facilement. pour F n. p. pour. pour. F7. 2 ,. < p <. 19. (1:0:7). :. des. (1:1:2) pour. Fn,. .. Soit p > 19, soit C la réduction de C modulo p. On n'est pas une composante de sa Hessienne H. Alors CÇF p ). point lisse. On suppose d'abord que. C. C. Si elle est une courbe de genre. pour la courbe lisse projective c, on. 1, a. irréductible. Soit cla normalisée alors par le théorème de Hasse-Weil. est.

(9) La contraction. sur. C. peut écraser. de. 10. nos. points lisses, mais. il. reste. au. moins un point lisse sur C(F p ). C/F p. Si. de. est. genre. 0,. elle. si. ou. F. décompose sur. se. ayant une. en. /;. composante simple définie sur F /; le même argument montre qu'elle a toujours suffisamment de points pour en avoir qui soient lisses. Le seul cas où il faut s'inquiéter c'est quand elle se décompose sur F /; en cinq droites. Mais ce cas est exclu par notre hypothèse, car cela voudrait dire que chaque point de C ,. serait un point d'inflexion,. et. trouverait donc sur. se. Pour terminer la démonstration de la. où 0. résultante. q(x. modulo. éliminant. C, en. avec. proposition, z,. ce. qui. polynôme homogène, primitif, premier p>2.. est un. y). :. H. de. la. un. 6.. PROPOSITION. 6.1.. de. la. il. Hessienne. suffit donc. donne. la. H.. calculer. de. réduction. de. degré 15. Ce n'est jamais. DÉMONSTRATION DU CAS GLOBAL. La. courbe. donnée. C. par. n'a pas. (1.1). de. point. de. (1.1).. rationnel. Preuve.. On suppose que. (x. On peut supposer que x, y et en. :y:z). est. solution rationnelle. une. sont des entiers et qu'ils n'ont pas de facteur. z. commun. Soit. Alors. pun premier rationnel différent. divise pas r dans serait dans pO K Le fait que p. ne. .. De. la. ±\ (mod 11). = x+ y-46y + 0 y. 11, avec p. formule (4.1): sinon x— ey 2 6\ 0 4 } est une Z-base {1,0, 02,6\0. ,. x+y. donc p\z,. même manière,. 2etde. la. alors que p diviserait y et. coordonnées, on aurait. de. Puisque d'où p. p. \f.. ne. 2. de. OKO. K. montre. peut pas être facteur des trois. Mais. /=. 16z. 4. 0. (mod /?).. montre que p ne divise pas s. Donc r et s sont composés de facteurs premiers 2, et de premiers de la forme (mod 11). La même conclusion est vraie pour leurs facteurs y, z, / et g. Considérons p=2de plus près rappelons-nous que 2O K est un idéal premier. On dénote par /? la valuation de y en 2Z, et par 7 celle de z. on. 1. :. 1. p=±l.

(10) 2{x,. On suppose dans un premier temps que /3, 7 > 0. Alors 4 x—eys. 2O K Ceci implique que 7 ||/. (On a utilisé la notation que. que et. 242. .. 22. 4. Calculons. /. 3;. droite. égal. est donc. et. Occupons-nous regarde. AOy. ||. o<7<4. r, autrement dit que pour dire «divise exactement»).. modulo 16:. Par hypothèse,. x+y—. ||. ~7~. qui dit. ce. +. 0. £. y. / modulo. modulo. 0. à. à. 2. divisibles par 2, qui n'est pas possible car. sont au moins une fois. z. 16,. ce. présent du cas /? = 0 et 2O K alors comme avant. 22. 4. 7>o: ~ 7. on. /.. ||. ,. terme. le. {/.. 16. x. a. —. sy. fois-ci. Cette. à. = on. 4:. puisque 2 jy. Cela veut dire que 2 / et donc 7 = 3. (On a vu dans 5.1 que derrière cela «se cache» une solution 2-adique. On ne pourrait pas l'éliminer en considérant p = 2.) ||. Comme dernière possibilité, on considère. x-. =x+3z-Oz£. rjz. Si. p < 2,. Si. (3. 2O K. (car. 2\. z), alors. (3 24-/32. >. 4-/3. 0. et. =. 7. 0. :. on. voit que. geto</3<4.Ona. ||. alors. > 2, alors. Autrement dit,. 4. (3. |. =. g, c-à-d.. 2. soit (0,3) deux cas possibles pour (/?, 7) Pour la fin de la démonstration, on se penche sur le premier En résumé, il y. a. :. soit. p=ll. (2,0). :. sont pas divisibles par 11. On sait qu'ils sont composés de facteurs 2etp= dzl (mod 11). Si (/?, 7) = (0, 3), alors PREMIER CAS: y et. z. ne. y=±l. 3. (mod 11) et z= ±232 = ±8 (mod 11). Leurs réductions des deux droites l\ :y=4z ou 2 :y=7z définies sur Fn. se. l2l. .. trouvent sur une Si. (/?, 7) = (2, 0),. = ±4 (mod 11) et z = dzl (mod 11). Leurs réductions se trouvent sur les même droites. Mais ces deux droites ne coupent la courbe C/Fn en. on. a. v.

(11) Figure La réduction de la courbe. aucun point rationnel sur. Fn.. C. dans le plan affine. z. =. 1. sur. Fn. La figure ci-dessus présente une «image» de. courbe dans la carte affine z— 1 sur Fn Les points noirs sont des points lisses et les étoiles des points singuliers de C.. la. .. DEUXIÈME CAS:. autrement que. =. z. 0. est. divisible par 11.. x—ey=x+y-. dit,. x+yG HZ,. z. c-à-d.. (mod 11). x=—y. 0. 40y +. 0. Alors 2. y. (0). G. \zf= -l6N(x. 11 .. (mod 11). On calcule. Pour. cela. / modulo. il 11,. -. ey),. faut. que. sachant. :. (/3,7) = (0,3), il faut que y = ±1 (mod 11) puisqu'il n'est pas divisible par 11. D'autre part, / = 4 (mod 11) devrait être le produit de =2 (mod 11) et de facteurs p= ±1 (mod 11). Dans le cas (£,7) = (2,0), Dans. le. cas. 1. 212. on. /. =. a 4 24-(±l)2. aussi. une. -(±l). =. contradiction: d=s. TROISIÈME CAS:. y. =. ±4,/. =. 4-4. 4. =. l. (mod 11). et. (mod 11).. y. divisible par 11. Alors 11 |yg= -16N(x - rjz). + 3z G HZ. Cette fois-ci on considère g modulo 11,. est. Pour cela il faut que x sachant que 3; = 0 (mod 11). et. x. = -3z (mod 11). :.

(12) Comme ayant, dans le cas (J3,i) = (0,3) ±5 9•84 =3 (mod 11). Et dans le cas :. -(±l)^9. 2. g=. 22-(±l)^92. est. ±8. (/3, 7 ). et. =. g. =. 242. 4 •. (±1) =. :z=±let. (2,0). (mod 11).. La jacobienne de. 7.. Il. =. z. certainement intéressant. C. connaître la jacobienne associée. de. à. la. courbe. Nous allons construire une application birationnelle. définie sur Q(w). à. l'aide d'une transformation. de. Cremona. de. degré. 3. du. plan.. L'image. de la. Prenons le point à. S. en. R. B. conique. R. = (0. 0. :. l'application j. par. 0. :. :. 1. :. v). G. b(Q(cu)). est la. et. droite. calculons. le plan. tangent. :. L'intersection. décompose en deux droites bet e\, où la seconde, qui correspond au diviseur exceptionnel de j au-dessus du point Pi est décrite par les équations suivantes de. S. TR. avec. S. se. ,. :. trois équations correspondent trois cubiques du plan, passant par les point P( et ayant un point double en Pi. A. ces. :. constituent une base du système linéaire de telles cubiques définies sur Q(u). On peut constater que l'application associée &' ': Pq^) — Pq^) est birationnelle car deux telles cubiques n'ont qu'un point d'intersection hors des points P;. Elle contracte les quatre droites trois. Les. cubiques. {A^A^A^,} >. PiP. 7. point. en <2i. des. points. =(0:0:. 2. (Q(cj)) et elle contracte la conique B en un Le diviseur 1). D'autre part, elle éclate les points P Qj. G. P. t. ..

(13) exceptionnel au-dessus de P\ est la conique B' définie par les Q diviseurs exceptionnels au-dessus des autres points Pj sont des droites. t. Sous cette transformation. lisse du. E'/Q(u). $. f ,. la. quintique. passant par les quatre points. C. Qj. se. simplifie. pour. <j. 1. en une. < 5,. et. les. cubique. d'équation. style. En reliant les deux autres intersections de E'. avec B'. ,. on trouve un point. E'. défini sur Q(o;) qui peut servir pour transformer E' en une forme de Weierstrass E (voir [Ca]), sans être obligé de monter dans un corps encore plus grand. Là, le miracle prédit par la théorie: E est définie sur Q (puisqu'elle T. de. jacobienne de C, une courbe définie sur Q). Sans donner calcul, je présente les résultats: Y invariant. est la. du. la. les. détails. forme canonique. avec. la. forme minimale globale. de. E. avec. et. le. conducteur arithmétique. Grâce. à. quelques réductions, on montre que le groupe de torsion de E(Q) est trivial Par construction, (C,#) représente un élément d'ordre 5 du groupe de. Tate-Shafarevich. par 25.. III. (£/. Si. ce. groupe est fini, son ordre est divisible.

(14) Remerciements.. Je. exprimer mes plus vifs remerciements à Liedtke, aux frères Bartholdi et surtout aux Daniel Coray.. tiens. Sylvia Guibert, à Christian professeurs Dino Lorenzini et Les calculs monstrueux avec Mathematica® et PARI-GP®.. à. milliers. des. de. polynômes ont. été faits. par. RÉFÉRENCES. [Ca]. BEAUVILLE, A. Surfaces algébriques complexes. Astérisque 54, 1978. CASSELS, J.W. S. Lectures on Elliptic Curves. Cambridge Univ. Press, 1991.. [CF]. CASSELS,. [Be]. J.. W. S. et A. FRÔHLICH.. Algebraic Number Theory. Académie Press,. London, 1967. [CCS]. COLLIOT-THÉLÈNE, J.-L., D. Coray et J.-J. SANSUC. Descente et principe de Hasse pour certaines variétés rationnelles. /. reine angew. Math. 320 (1980), 150-191.. [CP]. COLLIOT-THÉLÈNE, J.-L. et B. POONEN. Algebraic families of nonzero éléments of the Shafarevich-Tate group. /. Amer. Math. Soc. 13 (2000), 83-99.. [Co]. CORAY,. [Fi]. FISHER, T. A. On 5 and 7 Descents for of Cambridge, 2000.. [Fu]. FUJIWARA, M. Hasse principle in algebraic équations. Acta Arith. 22 (1972/73),. D.F. Arithmetic Cambridge, 1974.. on. Cubic. Surfaces.. PhD. thesis.. University. of. Elliptic Curves. PhD thesis. University. 267-276.. [Li] [Re] [Se]. LIND, C.-E. Untersuchungen ùber die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins. PhD thesis. University of Uppsala, 1940. REICHARDT, H. Einige im Kleinen ûberall losbare, im Großen unlosbare diophantische Gleichungen. /. reine angew. Math. 184 (1942), 12-18. 3 SELMER, E. The diophantine équation aX + bY + cZ = 0. Acta Math. 85 3. 3. (1951), 203-362. (Reçu. Christian Wuthrich Section. de. Mathématiques. Case postale 240. CH-1211 Genève 24 Suisse. e-mail. :. christian.wuthrich@math.unige.ch. le. 22. janvier 2001).

(15)