Chapitre 1 : Dualité linéaire

Chapitre 1 : Dualité linéaire

I. Introduction

SoientKun corps commutatif et E un K-ev de dimension finie.

On étudie les applications linéaires':E !K, appelées formes linéaires surE.

Définition 1

E^⇤:=L(E,K)est appelé espace dual deE : il s’agit d’unK-ev. Remarque 2

Toute forme linéaire'surE non nulle détermine un hyperplanKer'de E. Réciproquement, tout hyperplan deE est le noyau d’une forme linéaire surE non nulle.

Dualité linéaire

I. Introduction

SoientKun corps commutatif et E un K-ev de dimension finie.

On étudie les applications linéaires':E !K, appelées formes linéaires surE.

Définition 1

E^⇤:=L(E,K)est appelé espace dual deE : il s’agit d’unK-ev. Remarque 2

Toute forme linéaire'surE non nulle détermine un hyperplanKer'de E. Réciproquement, tout hyperplan deE est le noyau d’une forme linéaire surE non nulle.

I. Introduction

SoientKun corps commutatif et E un K-ev de dimension finie.

On étudie les applications linéaires':E !K, appelées formes linéaires surE.

Définition 1

E^⇤:=L(E,K)est appelé espace dual deE : il s’agit d’unK-ev.

Remarque 2

Toute forme linéaire'surE non nulle détermine un hyperplanKer'de E. Réciproquement, tout hyperplan deE est le noyau d’une forme linéaire surE non nulle.

Dualité linéaire

I. Introduction

SoientKun corps commutatif et E un K-ev de dimension finie.

On étudie les applications linéaires':E !K, appelées formes linéaires surE.

Définition 1

E^⇤:=L(E,K)est appelé espace dual deE : il s’agit d’unK-ev.

Remarque 2

Toute forme linéaire'surE non nulle détermine un hyperplanKer'de E. Réciproquement, tout hyperplan deE est le noyau d’une forme linéaire surE non nulle.

II. Base duale

SoitB={e₁, . . . ,e_n}une base deE. On lui associe une base deE^⇤ :

Théorème 3

Pouri2{1, . . . ,n}, on notee_i^⇤ la forme linéaire surE telle que, pour toutj2{1, . . . ,n},e_i^⇤(e_j) = _{i j}.

La familleB^⇤:={e₁^⇤, . . . ,e_n^⇤}est une base de E^⇤, appelée base duale deB.

Remarque 4 Siv =

Xn i=1

x_ie_i,e_i^⇤(v) =x_i.

Conséquence

dim(E^⇤) =dim(E)doncE etE^⇤ sont isomorphes, mais pas de façon

“canonique”.

Dualité linéaire

II. Base duale

SoitB={e₁, . . . ,e_n}une base deE. On lui associe une base deE^⇤ :

Théorème 3

Pouri2{1, . . . ,n}, on notee_i^⇤ la forme linéaire surE telle que, pour toutj 2{1, . . . ,n},e_i^⇤(e_j) = _{i j}.

La familleB^⇤:={e₁^⇤, . . . ,e_n^⇤}est une base de E^⇤, appelée base duale deB.

Remarque 4 Siv =

Xn i=1

x_ie_i,e_i^⇤(v) =x_i.

Conséquence

dim(E^⇤) =dim(E)doncE etE^⇤ sont isomorphes, mais pas de façon

“canonique”.

II. Base duale

SoitB={e₁, . . . ,e_n}une base deE. On lui associe une base deE^⇤ :

Théorème 3

Pouri2{1, . . . ,n}, on notee_i^⇤ la forme linéaire surE telle que, pour toutj 2{1, . . . ,n},e_i^⇤(e_j) = _{i j}.

La familleB^⇤:={e₁^⇤, . . . ,e_n^⇤}est une base deE^⇤, appelée base duale deB.

Remarque 4 Siv =

Xn i=1

x_ie_i,e_i^⇤(v) =x_i.

Conséquence

dim(E^⇤) =dim(E)doncE etE^⇤ sont isomorphes, mais pas de façon

“canonique”.

Dualité linéaire

II. Base duale

SoitB={e₁, . . . ,e_n}une base deE. On lui associe une base deE^⇤ :

Théorème 3

Pouri2{1, . . . ,n}, on notee_i^⇤ la forme linéaire surE telle que, pour toutj 2{1, . . . ,n},e_i^⇤(e_j) = _{i j}.

La familleB^⇤:={e₁^⇤, . . . ,e_n^⇤}est une base deE^⇤, appelée base duale deB.

Remarque 4 Siv =

Xn i=1

x_ie_i,e_i^⇤(v) =x_i.

Conséquence

dim(E^⇤) =dim(E)doncE etE^⇤ sont isomorphes, mais pas de façon

“canonique”.

II. Base duale

SoitB={e₁, . . . ,e_n}une base deE. On lui associe une base deE^⇤ :

Théorème 3

Pouri2{1, . . . ,n}, on notee_i^⇤ la forme linéaire surE telle que, pour toutj 2{1, . . . ,n},e_i^⇤(e_j) = _{i j}.

La familleB^⇤:={e₁^⇤, . . . ,e_n^⇤}est une base deE^⇤, appelée base duale deB.

Remarque 4 Siv =

Xn i=1

x_ie_i,e_i^⇤(v) =x_i.

Conséquence

dim(E^⇤) =dim(E)doncE et E^⇤ sont isomorphes, mais pas de façon

“canonique”.

Dualité linéaire

II. Base duale

Proposition 5

Soient'2E^⇤ etv 2E.

On a'= Xn

i=1

'(e_i)e_i^⇤ etv = Xn j=1

e_j^⇤(v)e_j.

Remarque 6

Si'2E^⇤ etv 2E,

'(v) =^tMatB^⇤(')MatB(v).

II. Base duale

Proposition 5

Soient'2E^⇤ etv 2E. On a'=

Xn i=1

'(e_i)e_i^⇤ etv = Xn j=1

e_j^⇤(v)e_j.

Remarque 6

Si'2E^⇤ etv 2E,

'(v) =^tMatB^⇤(')MatB(v).

Dualité linéaire

II. Base duale

Proposition 5

Soient'2E^⇤ etv 2E. On a'=

Xn i=1

'(e_i)e_i^⇤ etv = Xn j=1

e_j^⇤(v)e_j.

Remarque 6 Si'2E^⇤ etv 2E,

'(v) =^tMatB^⇤(')MatB(v).

II. Base duale

Proposition 5

Soient'2E^⇤ etv 2E. On a'=

Xn i=1

'(e_i)e_i^⇤ etv = Xn j=1

e_j^⇤(v)e_j.

Remarque 6 Si'2E^⇤ etv 2E,

'(v) =^tMatB^⇤(')MatB(v).

Dualité linéaire

III. Matrice de passage

Proposition 7

SoientBetB⁰ deux bases de E.

P_B⇤!B^0⇤=^tP_B!B0 1=^tP_B0!B

Corollaire 8

Pour toute baseC deE^⇤, il existe une et une seule baseBde E telle que C=B^⇤ :B est appelée base antéduale deC.

III. Matrice de passage

Proposition 7

SoientBetB⁰ deux bases de E.

P_B⇤!B^0⇤=^tP_B!B0 1=^tP_B0!B

Corollaire 8

Pour toute baseC deE^⇤, il existe une et une seule baseBde E telle que C=B^⇤ :B est appelée base antéduale deC.

Dualité linéaire

III. Matrice de passage

Proposition 7

SoientBetB⁰ deux bases de E.

P_B⇤!B^0⇤=^tP_B!B0 1=^tP_B0!B

Corollaire 8

Pour toute baseCde E^⇤, il existe une et une seule baseBde E telle que C=B^⇤ :B est appelée base antéduale deC.