Dualité en algèbre linéaire

M2 mathématiques générales 2019-2020 Cours général d’algèbre

Université de Franche-Comté C. Armana

Feuille d’exercices n^◦2

Dualité en algèbre linéaire

Dans toute la feuille, K désigne un corps commutatif.

Exercice 1 (Dual en dimension infinie). 1) Soit E un K-espace vectoriel de dimension in- finie et (ei)_i∈I une base de E. Montrer que la famille (e^∗_i)_i∈I des formes coordonnées n’engendre pas E^∗.

2) SoientK^NleK-espace vectoriel des suites à valeurs dansK etK^(N)le sous-espace vectoriel des suites nulles à partir d’un certain rang. Montrer que (K^(N))^∗ est isomorphe àK^N.

Exercice 2 (Dualité et interpolation lagrangienne). Énoncer la formule d’interpolation de Lagrange puis la démontrer à l’aide de la dualité.

Exercice 3 (Bases duales et antéduales). 1) DansK³on considère les vecteursu1 = (1,−1,1), u₂ = (1,0,1), u₃ = (0,2,−1). Déterminer la base duale de (u₁, u₂, u₃) en fonction des formes coordonnées (e^∗₁, e^∗₂, e^∗₃) où (e₁, e₂, e₃) désigne la base canonique.

2) Pour a, b distincts dans K, montrer que les formes linéaires P 7→ P(a), P 7→ P⁰(a), P 7→P(b),P 7→P⁰(b) constituent une base de (K3[X])^∗ et calculer sa base antéduale.

Exercice 4(Propriétés de l’orthogonal). SoitEunK-espace vectoriel de dimension quelconque et soientF, F1, F2 des sous-espaces vectoriels deE.

1) Montrer que (F₁+F₂)^⊥=F₁^⊥∩F₂^⊥.

2) Montrer que (F₁∩F₂)^⊥ =F₁^⊥+F₂^⊥ (pour plus de facilité, on peut se limiter au cas oùEest de dimension finie et, dans un deuxième temps, chercher une preuve valable en toute dimension). 3) On suppose E de dimension finie. Soit u∈ L(E). Montrer queF est stable par u si et

seulement si F^⊥ est stable par^tu.

Exercice 5 (Combinaison de formes linéaires). SoientE un K-espace vectoriel de dimension finie etf1, . . . , f_k, f des formes linéaires surE. Montrer quef ∈Vect(f1, . . . , f_k) si et seulement si^Tk_i=1Kerf_i⊂Kerf.

Exercice 6 (Système d’équations définissant un sous-espace vectoriel, orthogonal). Soit F = Vect(v₁, v₂) sous-espace vectoriel deR⁴ oùv₁ = (1,1,1,1) et v₂ = (−1,1,−2,2). Donner un système d’équations deF et une base deF^⊥.

Exercice 7 (Sous-espaces stables d’un endomorphisme). Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base (v₁, v₂, v₃). Soit u : E → E l’application linéaire définie par u(v1) =v2,u(v2) =v1,u(v3) =v1+v2+v3. Déterminer les sous-espaces deE stables par u.

Exercice 8 (Multiplication à droite par GL_n(K)). Dans la feuille de TD1, on a vu que pour tousA, A⁰ dansMm,n(K) on a :

∃P ∈GL_m(K) A⁰ =P A ⇐⇒ KerA⁰= KerA.

En déduire que, pour tousA, A⁰ dansM_m,n(K) on a :

∃Q∈GL_n(K) A⁰ =AQ ⇐⇒ ImA⁰ = ImA.

1/2

Cours général d’algèbre 2019/2020 2/2

Exercice 9 (Formes linéaires deM_n(K) – archi-classique). 1) Montrer que pour toute forme linéaire f ∈ Mn(K)^∗, il existe une unique matrice A ∈ Mn(K) telle que pour tout M ∈M_n(K),f(M) = Tr(AM).

2) En déduire que les formes linéairesf ∈M_n(K)^∗ vérifiant, pour tout (M, N)∈M_n(K)², f(M N) =f(N M), sont lesλTr pourλ∈K.

Exercice 10 (Double transposée d’un endomorphisme). Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. On noteI :E→E^∗∗ l’isomorphisme canonique entreE et son bidualE^∗∗.

1) SoitB une base deE. Montrer queI(B) est la baseB^∗∗, duale deB^∗. 2) Soitu∈ L(E). Montrer que ^t(^tu) =I◦u◦I⁻¹.

3) Retrouver la propriété suivante : pour toute matriceM ∈M_n(K), on a ^t(^tM) =M.