Sugli spazi riemanniani normali ad <span class="mathjax-formula">$n$</span> dimensioni

R ^ENDICONTI

del

S ^EMINARIO M ^ATEMATICO

della

U NIVERSITÀ DI P ^ADOVA

A NGELO T ONOLO

Sugli spazi riemanniani normali ad n dimensioni

Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 26 (1956), p. 328-333

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AD

n

DIMENSIONI

No ta

(*)

di ANGELO TONOLO

( a Padova)

Alcuni anni or

sono 1)

^ho

assegnato

^delle condizioni neces-

sarie e sufficienti affinchè uno

spazio

riemanniano

V3

^{sia nor-}

male,

cioè affinchè con le linee delle sue tre congruenze

prin- cipali

si possa costruire

(almeno)

^{un sistema}

triplo ortogonale

di

superficie.

Successivamente lo Schouten

2)

^ha

generalizzato

^il

proble-

ma assumendo in uno

spazio

riemanniano

Vn , con n &#x3E; 3,

^un

campo

qualsiasi

di affinori

simmetrici,

^{con distinti}

autovalori,

e lo ha risolto con i suoi

espressivi

^ed

agili algoritmi.

^Il

Nijenhuis ~)

^{ha risolto la}

quistione

^{anche per}

gli spazi Xn

^senza metrica e senza connessione.

Mi sono ora

proposto

^il

problema

di caratterizzare

gli spazi Yn

riemanniani normali con n &#x3E; 3 estendendo il metodo

esposto

nella mia

precedente

^ricerca.

Questa estensione

^non

(*) ^{Pervenuta in Redazione il 4} dicembre 1956.

Indirizzo dell’A.: Seminario matematico, Università., ^Padova.

1 ) A. TONOLO, ^roarietà riemanniane normah a tre dimaensioni, Pont. Accad. Sci., Acta~ ^Vol. XIII, (1949); Rend. Accad. Naz. Lincei, CI. Sci. Fis. Mat. Nat., ^Serie VIII, ^Voi. VI, (1949).

2) ^{J. A.} ScHOUTEN, ^{~~r ~} tes tenseurs ^{~~Mr~ ~e} de V~ ~n ^{MM? aux (Mrec~MM} directions prvneipates

Conférence au Colloque de Géométrie différentielle à Louvain, ^11-14 Avril, (1951).

8) ^A. NIJENHUIS, o f eigenveetora, Proc. Kon.

Akad. van Wet. Amsterdam, ^Serie A, ^Voi. LIV, (1951).

J. I~AANTJES, ^{On sets} of eigenvectors, Ibidem, ^Serie A, Vol. LVIII, (1955).

A. FBõLICBEB and A. NIJENSUIB, Theory of roector-roatued dif fe- rential forms, Ibidem, ^Serie A, ^Vol. LIX, (1956).

329

porta

^alle

equazioni assegnate

^dallo

Schouten;

^essa assegna alle condizioni di normalità la forma

seguente:

^certi

polinomi

nella

indeterminata p,

ⁱ

quali

^si costruiscono

operando

sulle

componenti

del tensore misto di Ricci loro deri- vate

prime rispetto

^alle coordinate di

V.,

^{devono essere}

divisibili _{per il} essenziale supporre che

gli

zeri di

questo

determinante

(autovalori

^di

J~. ~

^{siano sem-}

plici.

^{In tale}

ipotesi

il risultato è valido per

ogni

campo di affinori simmetrici di

Vn .

l. - Siano:

(a, p, *X, g, v, ~., ’79

Ty

1, 2,

^{... ,}

n) V.

^uno

spazio

riemanniano con le

coordinate t’,

^{il suo tensore}

metrico,

il tensore contratto di

Ricci, PA == P1~ (~l) ( ~ =1, 2,

... ,

n)

^{le radici}

dell’equazione

( autovalori

^di

K.~).

Noi supporremo che ^esse siano sem-

plici ;

allora vi sono in determinante direzioni

principali

mutuamente

ortogonali

^{e noi} indicheremo

=1, 2,

... ,

n)

rc vettori unità

lungo queste

^direzioni

(sistema

covariante di

autovettori).

Normale è lo

spazio Vn quando

ⁱ

campi 1*,;bl

^sono

noto che ciò avviene solo e soltanto

quando

Per

semplificare

ⁱⁿ

seguito

^le

notazioni,

denoteremo con

9 = p (tl)

^una

generica

delle ph ^e con il ⁱ

corrispondenti

^au-

tovettori ; valgono

allora le identità

Poichè la radice

p (C2-)

^è

supposta semplice

per

l’equazione (1),

la matrice del determinante che

figura

^al

primo

^membro

della

(1)

^{con è di} caratteristica

n 1; perciò

ⁱ

complementi algebrici degli

elementi di una sua linea sono

proporzionali

^ai

complementi algebrici degli

^{elementi di una}

sua linea

parallela.

^{Posto allora}

il risultato della risoluzione del sistema

(3) può

^scriversi

cos :

ove abbiamo indicato con

i

complementi algebrici degli

^elementi

(4)

della matrice Nel

seguito giocano

^un ufficio essenziale le

seguenti

espres- sioni :

Esse sono funzioni delle

coordinate C2-

^{e si} costruiscono

operando

^{soltanto sulle}

componenti E~

^{e loro derivate}

^prime

rispetto

^a

queste

variabili. ^-

2. - Poniamo:

ove p ^va

pensata

^{ora come una}

indeterminata,

^{e denotiamo con}

i

complementi algebrici degli

^elementi

(8)

della matrice .

Essi sono funzioni intere nella _p i cui coefficienti

dipendono

dalle CI

^{e si} identificano con i

complementi algebrici (6)

quando

^al

posto

^della indeterminata _p

poniamo

^{la radice}

p ~ p ( ~ ~) dell’equazione ( 1),

^{cioè della}

( 9) ;

^abbiamo

pertanto

331

Premettiamo la notazione

seguente:

^{data una}

generica

^fun-

zione

delle e &#x3E;-

^{e della} p

con il simbolo

[F]

intendiamo la funzione delle

sole ZI

^{che si}

ricava dalla F

quando

^al

posto

^della p

poniamo

^{la radice}

cioè

Dalla

(11)

^si ricava allora

Poichè

p()À)

^{è radice}

semplice dell’equazione (9),

^sarà

e

quindi

Sostituendo nella

(13)

^ricaviamo

Moltiplichiamo

^la

(15)

per ^un

generico complemento alge-

brico per la

(11)

^e la convenzione

(12),

^otteniamo

Consideriamo

l’espressione

^che

figura

dentro la

parentesi quadra

del secondo membro della

(16),

^cioè

Essa è manifestamente una funzione intera nella indeter- minata _p i cui coefficienti sono funzioni delle sole

1’

^la

quale

si identifica col

primo

membro della

(16) quando

^al

posto

della _p

poniamo

^{la radice}

p(C2-).

^{Fissiamo ora nella}

(7)

^un

valore per 1:’, che denotiamo ^{ancora con}

questa lettera,

^e

poniamo:

Moltiplichiamo

per si

trae, applicando

^la

(16),

Per

quanto

^{abbiamo detto in}

precedenza 1’espressiòne

^fra

parentesi quadre

^nel secondo membro della

(19),

^{è un}

poli-

nomio _{nella p} con coefficienti

dipendenti

^dalle

coordinate CI;

esso è

uguale

^al

primo

membro della

(19) quando

p viene sol

stituita con la radice

p (E~ ).

Nella

(19) pensiamo

effettuata la sommatoria

rispetto

^{a r}

e facciamo circolare

gli

indici li, v, Q ; otteniamo

Il secondo membro della

(20), prima

di effettuarvi la so-

stituzione

p = p (;1),

^{è una} funzione intera nella p: ^.

e si ha identicamente

Va osservato che i coefficienti

p.,, p(t) ^{( t -~ 1,}

^{... , 2}

⁸⁾

^si

costruiscono a mezzo delle

componenti

del tensore misto di Ricci e delle loro derivate

parziali prime rispetto

^alle

~l.

3. - Possiamo scrivere la

(7)

^{nella forma}

seguente:

Poniamo al

posto

^dei

complementi algebrici A FV

ⁱ

primi

333

membri della

( 5) ;

si ottiene

Eseguendo

^le derivazioni e tenendo conto delle

(2)

^{si ricava}

Supponiamo

^{che il}

campo ~~

^{sia allora sono}

nulle

le 1p,va

^e

^quindi

^{anche le per le}

^(25);

^{per le}

(22) ogni p1~(~l)

è anche radice del

polinomio (21)

qualunque

sia la terna con

Questi polinomi

sono

perciò

divisibili _per il determinante

E ( p) :

Inversamente,

^se

valgono

^le

(26)

per

ogni

^{terna e se}

p == p (El)

^sono le radici

dell’equazione E ( p) = 0, supposte

^sem-

plici,

^{allora si annullano anche i}

polinomi

^{con p -}

p (91);

per le

(22)

^sono allora nulle le e

quindi

^le per le

(25);

il campo dei

vettori i)

^è

perciò

OSSERVAZIONE. - S manifesto che la

precedente

^{teoria è}

senz’altro

applicabile

^ad

ogni

campo di affinori simmetrici di

nell’ipotesi

che siano

semplici

^le radici della

corrispon-

dente

equazione

^secolare.