Les nombres complexes

Les nombres complexes 2éme Bac PC Introduction

Qu’est-ce-qu’un nombre complexe ?

Un complexe se note souvent z, et s’écrit sous la forme z a ib  , avec a et b réels, par exemple 3+4i, 5-2i, -8+7i…

a est la partie REELLE, tandis que b est ce qu’on appelle la partie IMAGINAIRE.

—

Attention ! Si z = 2 + 3i, la partie imaginaire est 3, et non 3i !!

Dans la partie imaginaire il n’y a pas le i, le i ne sert qu’à indiquer qui est la partie imaginaire.

—

La partie réelle de z se note Re(z) et sa partie imaginaire Im(z).

L’ensemble des nombres complexes se note… , comme complexe, tout simplement Forme algébrique

z a ibest appelé l’écriture algébrique du nombre complexe z . Représentation graphique

Un complexe est en fait un point dans le plan. La partie réelle correspond aux abscisses, la partie imaginaire correspond aux ordonnées.

Si on note

z

1 3   i

Si on note

z

   3 2 i

La partie réelle se trouve en abscisse, la partie imaginaire en ordonnée

—

Attention ! On note bien

z

On dit que

z

Donc ne pas mettre

z

—

Il y a alors une propriété TRES importante à retenir sur le i :i²  1

Il est important de savoir graphiquement où est i. En fait, i = 0 + 1i, les coordonnées de i sont donc (0 ; 1) :

Module et argument : Forme trigonométrique et Forme exponentielle

Pour repérer un point dans le plan, on peut donc donner sa partie réelle et sa partie imaginaire (autrement dit son abscisse et son ordonnée). Mais on peut aussi le repérer grâce à son module et son argument.

Le module de A, c’est la DISTANCE entre le point A et l’origine du repère, O.

L’argument de A, c’est l’ANGLE entre l’axe des abscisses et la droite (OA).

Le module est une longueur, l’argument est un angle

Le module se note z_A , et l’argument se note

arg( ) z

Tu dois alors savoir que si z_A r;^{ar (g} zA⁾ 

 

∎ zA r





∎ z_A re^i c’est ce qu’on appelle la FORME EXPONENTIELLE.

Calcul du module et de l’argument

Maintenant il faut savoir comment calculer le module et l’argument ! Pour le module c’est très simple :

z

  a ib

—

Attention !! Il ne faut pas prendre le i dans la formule du module ! C’est bienb² et non

 

—

Bien sûr comme le module est une longueur, le module est toujours positif, cela va de soi ! Pour trouver l’argument

Il faut d’abord calculer le module, puis on FACTORISE PAR LE MODULE.

Ici, on multiplie en haut et en bas par a²b² pour avoir

2 2

a

a b et

2 2

b a b Alors le complexe z s’écrit : ^{2 2}

2 2 2 2

cos sin

r

a b

z a b i

a b a b

 



 

 

    

 

 

 

Maintenant, il faut bidouiller dans les valeurs usuelles ou par transformation de ces valeurs pour obtenir des cosinus et des sinus que l’on connaît.

Et voilà le travail !

A ce moment-là, on sait que le cosinus de θ est la partie réelle de ce qu’il y a dans la parenthèse, et le sinus de θ est la partie imaginaire.

On trouve alors θ en faisant un système :

2 2

2 2

cos

sin

a

a b

b

a b





 

 



 

 



Pour résoudre ce système, il suffit de connaître le cercle trigonométrique !! Il est fondamental que tu connaisses celui-ci PAR COEUR, car tu l’utiliseras souvent, et il ne faut absolument pas que tu perdes de temps là-dessus.

—

Attention !! Parfois on te demande de trouver le module et l’argument à partir d’une forme exponentielle.

fait attention un module est positif !!

Si on ai dans une situation ou le coefficient de e^i est négatif tu peux transformer cette écriture en changeant d’argument en





Vérifie donc toujours que le module est bien positif dans la forme exponentielle…

—

On voit bien sûr que : i 1 et ^{arg( )}

 

i  2

Les points du cercle trigonométrique peuvent être repérés avec leur abscisse et leur ordonnée, mais parfois il est bien plus simple de les repérer avec leur module et leur argument !

Le cercle trigonométrique étant de rayon 1, le module des points du cercle est 1. Ils sont donc de la forme . Certains points particuliers sont notamment à connaître :

Le conjugué

Le conjugué se note Z , et ça se prononce z barre.

—

ATTENTION ! Siz 8i 4, = -8i+4z  8i 4

Il ne faut pas aller trop vite et juste changer le signe au milieu, c’est bien le i qui devient -i

!!! Donc si la partie imaginaire est au début comme ici, il faut faire attention… Nous en reparlerons tout à l’heure.

—

Graphiquement, le conjugué de

z



A est le symétrique deApar rapport à l’axe des abscisses, c’est le conjugué Evidemment certaines formules évidentes apparaissent : zA  zA et

  ^{  }

arg z_A arg z_A 2

On voit bien que les modules sont les mêmes, mais que les arguments sont dans le sens opposé

Plusieurs formules relatives au module, à l’argument et au conjugué sont à connaître.

Certaines sont évidentes avec le graphique, et les démonstrations sont souvent très simples Le module

∎ e^i 1

∎ re^i r

∎ zAzA  zA²

∎ ^{A A}

B B

z z z  z

∎ z_Az_B  z_A  z_B C’est l’inégalité triangulaire L’argument

∎ ^arg





 

 

 

∎ ^{arg A arg}

 

 

 

B

z z z

z 

 

 

 

 

On remarque que l’argument a les mêmes propriétés que la fonctionln , puisque

     

ln ab ln a ln b , et^{ln a ln}

 

 

b

   

  . Si tu connais les formules pourln, il est très facile de s’en souvenir pour l’argument

∎ Une mesure de l’angle que fait le vecteur AB et CD dans le sens directe est :





^{ }

B

z z

AB CD

z zA 

  

   

Pour te souvenir de cette dernière formule, mémorise le dessin ci-dessous

Le conjugué

∎ zA  zA

∎ ^arg

 

^{  }

∎ z_A z_A

∎ z_A  z_B z_A z_B

∎ ^{A A}

B B

z z

z z

 

 

 

Cas particuliers à connaître

∎ ^arg

   

ki   2 si k 

∎ ^arg

   

ki   2 si k 

∎ ^arg

 

 

∎ ^arg

 

 

Cela peut paraître un peu lourd de retenir tous ces formules, mais en fait elles sont très simples et la plupart sont intuitives, logiques.

Retiens donc l’idée principale et ne t’acharne pas à les apprendre par cœur, tu les mémoriseras au fur et à mesure des exercices.

Les cosinus et les sinus sont étroitement liés au complexe et plus précisément à la forme exponentielle :

 

cos 2

i i

e^ e ^

   ^

 

sin 2

i i

e e i

 

  ^{ }

Cela permet de simplifier certains calculs, notamment en utilisant les propriétés de la fonction exponentielle.

Formule de Moivre (vers 1730)

Si zest un complexes tel que :^{argz }

 

 

∎





 

 

∎ zⁿ  z e^{n in} (Écriture exponentielle) Quantité conjuguée

La quantité conjuguée n’est pas quelque chose de nouveau, c’est juste une petite méthode.

Comme son nom l’indique, cela est lié au conjugué.

Cette méthode s’utilise quand on a des fractions avec des complexes au numérateur et au dénominateur, Soit z ^{a ib}

c id

 



Imaginons que l’on veuille la partie réelle et la partie imaginaire de z. Là tout de suite ce n’est pas évident, on ne peut rien dire. Ce qu’il faudrait c’est qu’il n’y ait plus de i au dénominateur.

Comment on fait ?

Et bien on multiplie en haut et en bas par la « quantité conjuguée », c’est-à-dire le conjugué du dénominateur.

Ici le dénominateur vaut c id , donc on multiplie en haut et en bas par son conjugué, c’est-à-dire c id .Alors l’écriture de z devient :

  

  

a ib c id z c id c id

 

   et par un simple calcul on obtient :

   

2 2 2 2

ac bd bc ad

z i

c d c d

 

 

  et par suite on z écrit sous sa forme algébrique.

—

ATTENTION !! Souvent les élèves vont trop vite et ont tendance à faire une erreur classique : ils se contentent de changer le signe au lieu de transformer le i² en1 .

— Equation du second degré

Les complexes ont un rôle fondamental : résoudre certaines équations du second degré du typeaz²bz c 0 . Tu sais déjà faire ça en calculant  b² – 4ac …

mais comment tu fais quand  est négatif Formule d'EULER

C’est là que les complexes interviennent !

Si  est négatif, les racines sont alors des complexes et la formule est :

1 2

z b i a

  



2 2

z b i a

  



Tu remarques que ce sont les mêmes formules que si  est positif à deux détails près : le i devant la racine, et la valeur absolue pour le  ce qui est normal puisque  est négatif et qu’il est dans la racine carrée

On remarque que z1 et z2 sont bien sûr conjugués, puisque la seule différence est le i qui devient -i.

Mais ATTENTION ! Cela n’est vrai que si a, b et c sont réels, s’ils sont complexes cela n’est plus vrai du tout !! Cependant en terminal tu ne devrais voir que des cas où a, b et c sont réels.

Homothétie, translation, rotation

.Les transformations dans le plan complexe

Avec les complexes, il y a 3 applications à connaître : homothétie, translation, rotation.

Nous allons voir les formules de chacune, qu’il faut savoir par cœur bien sûr

L’antécédent est souvent notéM , et son affixez , l’image est notéM, et son affixez. Les homothéties et les rotations ont un centre noté  d’affixe

z

Translation

C’est le cas le plus simple : pour une translation de vecteur u d’affixe

u

Homothétie Pour une homothétie de rapport k et de centre Ω :

 

z z_ k z z _

Il faut alors retenir que : les points M ; Met  sont alignés. c.à.d OM kOM On s’en sert parfois dans les exercices.

Rotation Pour une rotation d’angle θ et de centre Ω :

 

z z_ ei^ z z _

On remarque que c’est la même formule que pour l’homothétie mais avec e ^{i θ} à la place de k. Il faut retenir que :





^{ }

Graphiquement :

Point invariant

On te demande parfois de trouver les POINTS INVARIANTS.

C’est tout simple, invariant veut dire qu’il ne bouge pas, donc son image est lui-même : z z

Il suffit donc de résoudrez z.

Il arrive parfois d’avoir une infinité de points invariants, comme une droite ou un cercle par exemple.

Mais la méthode est toujours la même : pour trouver les points invariants, on résoud z z !!

Les 3 applications vues avant sont cependant particulières et il n’y a pas besoin de résoudre z’ = z :

– pour une translation, il n’y a pas de point invariant ;

– pour les rotations et les homothéties, il n’y a qu’un seul point invariant : le centre Ω.

Application à la géométrie : ensemble de points

On trouve souvent dans les exercices de géométrie des questions du type « trouver l’ensemble des points M tels que… ».

Ce type de questions peut se faire avec des complexes, mais pas tout le temps ! Nous allons décrire ici les ensembles de point avec les complexes.

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Si on connaît le point A et un réel r, l’ensemble des points M tels que : z_M z r Est le cercle de centre A est de rayon r.

En effet, z_M z rsignifieAM r : ce sont donc tous les points M sont équidistants de A, c’est donc un cercle.

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Si on connaît les points A et B, l’ensemble des points M tels que :

M A M B

z z  z z Est la médiatrice du segment

 

En effet, z_M z_A  z_M z_B signifieAM BM , tous les points M sont équidistants de A et B, ils sont donc sur la médiatrice.

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Si on connaît les points A et B, l’ensemble des points M tels que :

 

arg 2

2

B M

A M

z z

z z  

  

  

 

Est le cercle dont l’un des diamétre est le segment

 

En effet, cela signifie que :





^{ }

Donc l’angle AMB est un angle droit.

Or d’après une propriété vue en 4ème, si M est sur le cercle de diamètre [AB], le triangle MAB est rectangle en M, donc l’angle en M vaut

2

 .

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L’ensemble des points M tels que : ^arg

   

M 2

z   Est la droite des imaginaires purs.

et l’ensemble des points M tels que :^arg

 

 

Ceci se voit très bien sur le schéma

—

ATTENTION !! Si c’est

 

 2

 (c’est-à-dire modulo π), on a bien toute la droite des ordonnées.

Mais si on a seulement

 

 2

 (c’est-à-dire modulo 2π), il n’y a que la demi-droite des ordonnées positives !

De même s’il n’y a que -π/2, il n’y a que la demi-droite des ordonnées négatives.

Il en est bien sûr de même pour l’axe des abscisses :