Et enfin nous avons quatre solutions optimales

(1)

E587. Les sabliers *** Proposé par Michel Lafond

On dispose de trois sabliers de "durées" 3, 2, 1 minutes. A la date t = 0 ils sont tous "sable en haut".

Dès qu’un sablier vient de se vider, et seulement à ce moment-là, on peut retourner 1 ou 2 sabliers.

Cette opération prend 2 secondes pendant lesquelles les contenus des compartiments du (ou des deux) sablier(s) retourné(s) restent constants.

Le but est d’arriver dans un temps minimal à une position dans laquelle les 3 sabliers finissent de se vider en même temps.

Proposition Th Eveilleau

Soient S1, S2 et S3 les trois sabliers de 1, 2 et 3 minutes, c’est-à-dire de 60 secondes, 120 secondes et enfin 180 secondes.

Les trois sabliers se vidant en même temps devront avoir la même contenance en haut à un certain moment. Pendant le retournement, le contenu des sabliers retournés ne change pas mais le ou les autres s’écoulent pendant ces deux secondes.

La notation Si = x signifie que le sablier Si contient en haut une quantité correspondant à x secondes.

L’idée est d’utiliser 58=60-2 secondes et 62=60+2secondes pour approcher de 60.

Une solution trouvée manuellement avec une durée 428 secondes :

 Départ : S1 = 60 ; S2 = 120 ; S3 = 180

 Ecoulement pendant 60 secondes jusqu’à ce que S1 soit vide  S1 = 0 ; S2 = 60 ; S3 = 120

 Retournement de S1 et S2 : durée 2 secondes  S1 = 60 ; S2 = 60 ; S3 = 118

 Ecoulement pendant 60 secondes jusqu’à ce que S2 soit vide  S1 = 0 ; S2 = 0 ; S3 = 58 ;

 Retournement de S2, durée 2 secondes  S1 = 0 ; S2 = 120 ; S3 = 60

 Ecoulement pendant 58 secondes jusqu’à ce que S2 soit vide  S1 = 2 ; S2 = 0 ; S3 = 122 ;

 Retournement de S1 : durée 2 secondes  S1 = 60 ; S2 = 60 ; S3 = 60

Ecoulement pendant 60 secondes jusqu’à ce que S1, S2 et S3 soient vides  TERMINE en 428 secondes.

MAIS peut mieux faire… avec une recherche informatique ;)



(2)

Voici maintenant les différentes solutions trouvées informatiquement améliorant cette durée.

Je ne note que les noms des sabliers à retourner à chaque étape.

C’est suffisant pour voir l’évolution des sabliers.

On peut vérifier ces résultats dans l’animation de la page :

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/jeux_mat/textes/sabliers.htm

366 secondes  S2 et S3 ; S1 et S2 ; S1 et S3 ; S1 et S2 ; S1 364 secondes  S3 ; S1 et S2 ; S1 et S3 ; S1 et S2 ; S1

Et enfin nous avons quatre solutions optimales

362 secondes  S2 ; S1 ; S1 et S3 ; S1 et S2 ; S1 et S2 362 secondes  S2 ; S2 ; S2 et S3 ; S1 et S2 ; S1 et S2

362 secondes  S1 et S2 ; S1 ; S1 et S3 ; S1 et S2 ; S1 et S2 362 secondes  S1 et S2 ; S2 ; S2 et S3 ; S1 et S2 ; S1 et S2