I. Les Quatre opérations
1) Associer une équation, un opérateur et un schéma avec le problème correspondant :
• Equations :
a) x+ =3 12 b) 3x=12 c) 12 3
x = d) x− =3 12
• Opérateurs :
a) b) c) d)
• Schémas :
a) b) c) d)
12 x 12 x
• Problèmes :
a) Trois stylos coûtent 12 €. Quel est le prix d’un stylo ?
b) Après avoir raccourci de 3 m une ficelle, le bout restant ne mesure plus que 12 m. Quelle était la longueur initiale de la ficelle ?
c) Mon ordinateur me signale qu’il ne me reste de disponible qu’un tiers de la mémoire de mon disque dur, soit 12 Go. Quelle est la capacité totale de mon disque dur ?
d) J’ai ajouté trois photos sur mon blog cet après-midi, il en comporte
maintenant douze. Combien de photos étaient visibles ce matin sur mon blog ?
2) Indiquer la solution de chaque équation puis résoudre les quatre problèmes.
x
12×3
….
x
12- 3
….
x
12+3
….
x
12÷ 3
….
II. Equation à deux étapes
1) Le fait de chercher le nombre x qui vérifie 3x+ =5 17
peut se traduire par la série d’opérateurs ci-contre.
La valeur de x est obtenue en suivant le « chemin retour » :
A l’aide de la méthode précédente, résoudre les équations suivantes :
a) 7x+ =4 6 b) 12x− =1 9 c) 13x− =5 12 d) 3x+ =2 7
2) Est-il possible de résoudre par cette méthode l’équation : 10x+ =5 3x+19 ? Quelles difficultés rencontre-t-on ?
III. Al Muqabala
1) Al Khwarizmi est né à Khwarizem (Ouzbékistan), d'où son nom. Il fut astronome sous le règne du Calife Abd Allah al Mahmoun (786-833) qui encouragea la philosophie et les sciences en ordonnant la traduction (827) des textes de la Grèce antique.
La notoriété d'Al-Khwarizmi nous est parvenue à travers les siècles moins par ses talents d'astronome que par son intervention dans l'art du calcul algébrique : auteur d'un Livre sur la science de la transposition et de la réduction ("Kitab Al jabr w'al muqabala"), écrit à la demande du Calife Al Mamoun (Bagdad, 813-833), on peut le considérer comme un des premiers algébristes, mais ses travaux auraient été inspirés de ceux de l'indien Brahmagupta.
Al Muqabala permet de réduire les termes semblables : cette technique consiste à soustraire la même quantité des deux côtés du signe =.
Ainsi l’équation devient :
C’est-à-dire qui est une équation que l’on sait résoudre.
On dit qu’on a soustrait 3x à chaque membre.
2) En appliquant cette technique, recopier et trouver la valeur de x :
a) 8x+ = +3 x 5 b) 8x+ =7 11x+1 c) 2x+ =4 5x−7
x
…..×3
3÷
17 +5
- 5
3
10 5 3 19
10 5 3 19
7 5 1
3 9
x x
x x
x x
x
+ = +
+ =
+
−
=
− +
IV. L’intérêt des lettres
1) Recopier et compléter la pyramide d’addition ci-dessous selon la règle ci-contre :
93
5 3 16
2) Hanane remarque : «La seconde pyramide est plus difficile ! Pour la compléter je connais une méthode qui va nous aider : on appelle x le nombre manquant en bas et ensuite, il faut remplir la pyramide de bas en haut et le tour est joué ! »
a + b
a b
113
7 22 13
113
7 22 x 13
