J 114. Savant remplissage (2ème épisode) ****
Problème proposé par Francis Gaspalou
Il est bien connu qu’il existe des carrés d’ordre pair dits « compacts » (ou« compacts 2 ») et des carrés d’ordre 9 dits « compacts 3 ».
Ex 1 : le carré d’ordre 4 où les nombres à l’intérieur de tout sous-carré 2 2 ont une somme constante 01 04 05 08
13 16 09 12 02 03 06 07 14 15 10 11
Ex 2 : le carré d’ordre 9 est à somme constante dans tout sous-carré 3 3.
01 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 04 14 24 58 68 78 07 17 27 28 38 48 20 03 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 06 13 77 60 67 26 09 16 47 30 37 12 19 02 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 05 69 76 59 18 25 08 39 46 29
Par contre, il est peu connu que l’on peut construire des carrés « compacts 2 » ou « compacts 3 » en dehors de ces ordres. Par exemple pour l’ordre 5, lequel n’est ni pair ni multiple de 9.
Q1 Montrer qu’il existe des carrés d’ordre 5 – faits avec les nombres de 1 à 25 – qui sont « compacts 2 ».
Q2 Montrer qu’il existe aussi des carrés d’ordre 5 qui sont « compacts 3 ».
Solution proposée par Michel Lafond :
Q1. Pour les carrés d’ordre 5 et compacts 2, j’ai utilisé un programme.
La valeur moyenne d’une case étant 12,5 je fixe arbitrairement la constante autour de
4
12,5 = 50 puisque les sous-carrés 2 2 ont 4 cases.
Le programme (MAPLE) trouve assez rapidement les carrés ci-dessous parmi bien d’autres :
2 17 7 22 12 21 8 16 3 11 14 5 19 10 24 23 6 18 1 13 15 4 20 9 25
Constante C = 48
Remarquons que s’il existe un carré d’ordre 5, compact-2 de constante C, alors il existe un carré d’ordre 5, compact-2 de constante C’ = 104 – C il suffit d’utiliser pour chaque nombre la bijection
Q2. Pour les carrés d’ordre 5 et compacts 3, une recherche manuelle est facile :
Soit un carré d’ordre 5 et compact-3 :
Il est évident qu’on a 1 16 6 21 11
22 10 17 5 12 13 4 18 9 23 25 7 20 2 15 14 3 19 8 24
Constante C = 49
1 14 15 20 21 22 13 8 7 2
4 11 18 17 24 23 12 9 6 3
5 10 19 16 25 Constante C = 50
a b c d e f g h i j
k l m n o
p q r s t
u v w x y
Par soustraction on déduit [Cases rouges ci-dessus]
De même on a On peut donc essayer sans se fatiguer :
Il reste à placer 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 et à respecter les contraintes
Pour le couple (r, c) on essaie (17, 21) plus petit couple disponible avec un écart de 4, et pour le couple (w, h) on essaie (19, 23) pour laisser les écarts de 2 nécessaires aux couples (k, n) et (l, o)
On n’a plus guère le choix :
En essayant il restera m = 25 qu’on placera au centre.
Cela donne le carré d’ordre 5, compact-3 de constante C = 141 ci-dessous à gauche, et son "dual" obtenu par la bijection ci-dessous au milieu :
La même technique donne facilement le carré d’ordre 5 et compact-4 ci-dessus à droite, dans lequel les 9 nombres en rouge peuvent être permutés arbitrairement.
Une généralisation aux carrés d’ordre supérieur ne semble pas évidente…
1 5
c2 6 9 13
h10 14
k l m n o
3 7
r4 8 11 15
w12 16
1 5 21 2 6 9 13 23 10 14 20 24 25 18 22 3 7 17 4 8 11 15 19 12 16
compact-3 C = 141
25 21 5 24 20 17 13 3 16 12 6 2 1 8 4 23 19 9 22 18 15 11 7 14 10
compact-3 C = 93
1 16 9 19 2 5 3 12 13 4 10 14 18 22 11 21 23 24 25 20 7 15 6 17 8
compact-4 C = 235
17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25(r, c) (w, h)
