G269. Le problème de la forêt Problème proposé par Michel Lafond
Si n est un entier positif, on appelle forêt d’ordre n l’ensemble des arbres situés aux points du plan de coordonnés entières (x , y) vérifiant 1 <= x =<= n et 1 <= y <= n. Les arbres sont assimilés à des points sans dimension.
Trouver une forêt caractérisée par un entier n et une position de l’observateur situé dans le plan mais hors de la forêt qui ne peut voir, compte tenu des alignements, que moins de 60%
des arbres.
Solution proposée par Frédéric Chevallier
En utilisant le « crayon – gomme » informatique, on trouve : n=11 avec Obs(1,-1)et 72 arbres sur 121,soit 59,5 %
n=16 avec Obs(1,0)et 152 arbres sur 256,soit 59,375 % n=17 avec Obs(1,-1)et 173 arbres sur 289,soit 59,86 % n=22 avec Obs(1,0)et 290 arbres sur 289,soit 59,92 %
Pour chacune des 4 solutions, l’observateur a 8 points d’observation possibles dont nous n’avons donné que le premier. Les 7 autres se déduisent par symétrie autour de la forêt.
Il n’y a pas d’autre solution jusqu’à n = 67. Au-delà, on doit pouvoir faire intervenir le théorème de Cesàro en théorie des nombres pour s’assurer qu’il n’y en a pas d’autre.
Ce dernier énonce que la probabilité que deux nombres entiers quelconques inférieurs à soient premiers entre eux tend vers quand tend vers + l’infini.
Ce qui signifie au plan pratique que s’il y a couples d’entiers possibles, il y en a plus de 60
% premier entre eux.
Voir lien Wikipédia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Ces%C3%A0ro_(th%C3
%A9orie_des_nombres)
