Problème 1 : L’appel de la forêt

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MPSI2, Louis le Grand

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6 : Dynamique du point et équilibres acidobasiques

vendredi 27 mars 2020

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Problème 1 : L’appel de la forêt

On étudie dans ce problème quelques aspects de la propulsion sur la glace d’un traîneau. On noteMla masse de l’ensemble du traîneau et du pilote. Les chiens sont reliés au traîneau par des cordes idéales.

Le mouvement est étudié dans le référentiel terrestre, considéré galiléen pour la durée des phénomènes observés.

Les frottements entre le traîneau et la glace sont modélisés par un frottement solide de coefficient notéµ.

On rappelle les lois d’Amontons et Coulomb. En notant respectivementN#»etT#»les composantes normale et tangentielle de la force de contact :

• l’équilibre n’est possible que siT/N6µ,

• s’il y a mouvement, l’intensité de la force tangentielle est donnée parT =µN.

Données : masseM =5,0·10²kg, coefficientµ=8,0·10⁻², angleα=5°, accélération de la pesanteur g=9,8 m·s⁻².

I Mouvement rectiligne

Le trajet s’effectue sur un plan incliné d’un angleαpar rapport à l’horizontale, dans le sens ascendant.

I.1. (a) Déterminer l’expression de la force minimale, de norme notéeFmin, que doivent exercer les chiens pour hisser le traîneau le long de la pente.

(b) Calculer sa valeur et commenter.

I.2. Initialement le traîneau et les chiens sont immobiles et les cordes sont tendues. On suppose qu’on peut considérer que la norme de la force de traction exercée par les chiens dépend de la norme de leur vitesse vpar la loi :

F=F0−βv, (1)

avecβune constante positive.

(a) Établir et résoudre l’équation différentielle d’évolution de la vitessev.

(b) On mesure que le traîneau atteint un régime stationnaire dans lequel la vitesse estv∞ = 3,0 m·s⁻¹et qu’il met un temps notét5 =5 s pour atteindrev = 0,95v∞. En déduire les expressions puis les valeurs deF0etβ.

(c) Calculer les duréest1/2ett3/4 pour lesquelles la vitesse vaut respectivementv∞/2et3v∞/4.

Que remarque-t-on ?

I.3. On suppose désormais que la norme de la force de traction varie avec la vitesse selon :

F=F0−γv², (2)

avecγune constante positive.

(a) Déterminer les nouvelles expressions des duréest_1/2ett_3/4définies comme précédemment. On indique qu’une primitive deu7→ _1−u¹₂ est argthu, fonction réciproque de la tangente hyperbo- lique.

(b) Expliquer comment la comparaison det_1/2ett_3/4permet de tester la validité des deux modèles de variation deFavecv.

II Mouvement circulaire

Le traîneau se déplace désormais sur un plan horizontal, dans un mouvement circulaire uniforme de rayon Ret de vitesse de norme notéev. On noteOle centre du cercle. Sur la figure ci-contre, on a représenté les chiens par une unique pointCet la force précédem- ment appeléeFest notéeT.

II.1. (a) Établir un système de deux équations véri- fiées par la normeF de la force de traction exercée par les chiens et par l’angleθque forme la direction de la corde avec la tangente à la trajectoire.

(b) Résoudre ce système.

II.2. Calculer les valeurs deθetFpour la valeur pré- cédente dev=3 m·s⁻¹etR=10 m.

III Progression par bond

Dans cette question, un seul chien de massemC =25 kg est attaché par une corde de longueur`=10 m au traîneau. Initialement la corde est détendue, le chien étant immobile juste à côté du traîneau lui aussi immobile.

On tient compte pour cette question d’un frottement solide entre le chien et la glace, caractérisé par le même coefficientµque celui entre le traîneau et la glace. Le chien s’élance àt= 0pour tendre la corde puis propulser le traîneau sur un plan horizontal.

Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 1/4 2019–2020

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6 : Dynamique du point et équilibres acidobasiques

III.1. Exprimer la force maximale que la glace peut exercer sur le chien quand il ne glisse pas en fonction deµ,getmC. En déduire la vitesse maximale notéevCque peut atteindre le chien juste avant que la corde ne se tende. On suppose que le chien atteint cette vitesse.

III.2. On considère la mise en mouvement du traîneau quand la corde se tend.

(a) Justifier que la quantité de mouvement totale de l’ensemble du chien et du traîneau est conservée.

(b) En supposant que la corde reste ensuite toujours tendue, déterminer la vitesse commune du chien et du traîneau juste après que la corde s’est tendue.

III.3. Le chien continue ensuite à tirer le traîneau jusqu’à son arrêt définitif.

(a) Exprimer la distance totaleLparcourue par le traîneau jusqu’à son arrêt en fonction de`,Met mC. Calculer sa valeur.

(b) Combien de chiens faudrait-il employer pour avoirL=`?

Problème 2 : Reptation thermique

On étudie le phénomène de reptation thermique. Un objet est placé sur un support incliné. On observe que des variations de la température de l’objet conduisent à un lent mouvement global de l’objet sur le support.

Dans tout le problème, la température du support sera considérée constante. On note~gl’accélération de la pesanteur. Les mouvements sont étudiés dans le référentiel terrestre, considéré galiléen pour la durée des phénomènes observés.

Les frottements entre l’objet et le support sont modélisés par un frottement solide de coefficient notéµ. On rappelle les lois d’Amontons et Coulomb. En notant respectivementN#»etT#»les composantes normale et tangentielle de la force de contact :

• l’équilibre n’est possible que siT/N6µ,

• s’il y a mouvement, l’intensité de la force tangentielle est donnée parT =µN.

I Système masse-ressort sur un plan incliné

I.1. On considère un parallélépipède rectangle de massemassimilé à un point matériel en translation le long d’un plan incliné d’un angle notéθpar rapport à la verticale.

(a) Déterminer les forces tangentielle au support, notéeT~, et normale au support, notéeN, si on~ observe que l’objet est immobile sur le support.

(b) En déduire l’expression, en fonction deµ, de la valeur maximale de l’angeθpour lequel l’équi- libre est possible.

(c) On considère dans cette question qu’on aθ=π/4. Le point matériel est lâché sans vitesse initiale.

Après être descendu d’une hauteurhon mesure que sa vitesse est la moitié de celle qu’elle aurait été en l’absence de frottement solide. Déterminer la valeur du coefficientµ.

I.2. Le phénomène de reptation thermique peut être modélisé en considérant les déformations élastiques de l’objet susceptible de glisser sur le plan incliné. On le modélise donc comme un point matériel de massemlié par un système de deux ressorts identiques de longueur à vide`0et de raideurkà un patin en contact avec le support. On tient de nouveau compte d’un frottement solide de coefficientµentre le patin et le sol. On désigne parula coordonnée du point d’attache du patinmaux ressorts par rapport au milieu du cadre : les deux ressorts ont même longueur pouru= 0.

(a) On considère que le support est horizontal. Le patin et la massemsont initialement immobiles, la massemétant déplacée deu0 > 0 par une force extérieure notéeFop. Déterminer l’expression de la valeur maximale deu0, notée umax, pour laquelle le patin ne glisse pas.

(b) Décrire et caractériser le mouvement ultérieur siu0< umax.

(c) Le support est désormais incliné d’un angleθ. Établir une relation liantu_maxà l’angleθquand l’équilibre de la massemest possible.

II Glissement du patin

L’objet est désormais formé de deux points matérielsAetB. La masse de chacun est notéem/2et chacun éest élastiquement lié à un patin comme décrit dans les questions précédentes. Le frottement entre chaque patin et le support est décrit par un frottement solide caractérisé par un coefficientµ. La distance entre les deux points matériels, susceptible de varier avec la température, est initialement notée2b.

On noteN~AetT~A(respectivementN~Aet T~A) les composantes normale et tangentielle de la force de contact entre le patin de l’objetA(resp. de l’objetB) et le support.

On admet dans toute la suite queNA = NB≡N.

On considère qu’on a initialementuA =

uB≡u0et que le système est immobile. Sur ce schéma le vecteur~gest incliné dans le repère(O, x, z),f y désigne le coefficient de frottement notéµdans le texte.

II.1. Déterminer l’expression deNen fonction dem,getθ.

II.2. Déterminer l’expression deu0en fonction dek,m,getθ. Quelle est alors la distance entre les centres des deux patins ?

II.3. Sous l’effet d’une augmentation de température, la longueur2bcroît d’une grandeur notée2∆b.

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6 : Dynamique du point et équilibres acidobasiques

(a) On suppose dans un premier temps que les patins ne glissent pas. Déterminer les nouvelles expressions deuBetuA.

(b) En déduire lequel des deux patins est susceptible de glisser en premier ainsi que l’expression de la valeur minimale de∆bpour laquelle le glissement se produit. On l’exprimera en fonction de m, g, θ, µetk.

II.4. On suppose qu’un seul patin se met à glisser puis s’immobilise dans une position différente. On note Xle déplacement du milieu du segment[xA;xB]par rapport à sa position initiale. On noteu⁰_Betu⁰_A les nouvelles valeurs des déformations des ressorts.

(a) Établir les nouvelles équations vérifiées paru⁰_Aetu⁰_Ben faisant intervenir entre autres∆betX. (b) En déduire les valeurs minimale et maximale deXà l’issue du glissement, ainsi que sa valeur

dans le cas particulier oùu⁰_A=u⁰_B. On suppose que cette condition est réalisée par la suite.

II.5. Sous l’effet d’une diminution de température, la longueur du solide redevientb0.

(a) Justifier sans calcul que le solide se sera globalement déplacé à l’issue de ces deux variations de température. Dans quel sens s’effectue ce mouvement ?

(b) Le dispositif expérimental est constitué d’un plan en céramique sur lequel repose une plaque de cuivre de longueur2b0=10 cm dont la variation relative de longueur par unité de température est α'1·10⁻⁵K⁻¹. On réalise des variations périodiques de température d’amplitude∆T =5 K et de période 5 min. Calculer, en heure et minute, le temps nécessaire à une progression de la plaque de 1 mm.

Exercice 1 : Solubilité des silices

La dissolution dans l’eau pure de la silice amorphe, de formule SiO_2(s), est caractérisée par la réaction :

SiO_2(s)+ 2 H₂O H₄SIO_4(aq) logK=−2,7. (3)

1. Déterminer l’expression et calculer la solubilité de la silice amorphe si seul cet équilibre intervient. On notes0sa valeur.

2. Les propriétés acidobasiques de H₄SiO_4(aq)modifient cette solubilité en fonction du pH. La molécule H₄SiO₄est en effet un diacide caractérisé par pKa1=9,5 et pKa2=12,6. On s’efforcera de raisonner en formulant des hypothèses sur le domaine du pH à l’équilibre.

(a) Calculer la solubilité de la silice amorphe dans une eau pure.

(b) On rajoute4s0mol par litre de soude NaOH à une solution saturée en silice amorphe. Déterminer le pH et la quantité totale de silice dissoute.

3. La figure ci-contre donne les variations asympto- tiques (ieapproximées par des droites) de la solu- bilité totale de la silice amorphe en fonction du pH.

(a) Retrouver par lecture les valeurs de pH et de solubilité des réponses aux questions du2.

(b) Écrire les équations bilans des équilibre mis en jeu le long des segments de droite et retrouver les pentes lues sur la courbe.

4. L’albite NaAlSi₃O_8(s)(abrégé en A) est un silico-aluminate de sodium qui entre dans la composition des roches (feldspath de sodium). Son altération au contact d’une eau en équilibre avec le CO_2(g)atmo- sphérique conduit à une dissolution partielle accompagnant la transformation de l’albite en un autre silico-aluminate, la kaolinite Al₂Si₂O₅(OH)_4(s)(abrégé en K). L’équation bilan correspondante est :

A_(s)+ H₃O⁺ Na⁺+ 2 H₄SiO₄+ H₂O + 1

2K_(s) logK2=−1,9. (4) La dissolution du dioxyde de carbone atmosphérique CO_2(g)est caractérisée par l’équilibre :

CO2(g) CO2(aq) logK3=−1,5. (5)

Le dioxyde de carbone aqueux CO_2(aq)est un diacide caractérisé par les couples(CO_2(aq)/HCO₃^–)de pKa0

1=6,3 et(HCO₃^–/CO₃^2–)de pKa0 2=10,3.

(a) Sachant que le pH des eaux naturelles est généralement compris entre7et8, quelles sont les formes prédominantes en solution du dioxyde de carbone et de la silice ?

(b) Écrire l’équation bilan de la réaction de dissolution partielle de l’albite au contact d’une eau en équilibre avec le CO_2(g)atmosphérique et en déterminer la constante (on en donnera le log).

(c) La pression partielle du CO_2(g)estp_CO

2(g)=1·10⁻^3,5bar. Déterminer les espèces prédominantes en solution résultant de la mise en équilibre d’albite en excès avec de l’eau pure au contact du CO_2(g).

(d) En déduire le pH de la solution.

(e) Comment la solubilité varie-t-elle avecp_CO

2?

Exercice 2 : L’acide borique

L’acide borique de formule H₃BO₃, noté AH, est un composé chimique utilisé comme antiseptique et insec- ticide et comme absorbeur de neutrons dans les centrales nucléaires.

Données : Z(B) =5 ;Z(O) =8 ;Z(H) =1.

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6 : Dynamique du point et équilibres acidobasiques

1. Pour des concentrations pas trop importantes, l’acide borique peut être considéré comme un acide faible de pKa=9,2.

(a) Déterminer dans ces conditions l’expression du pH d’une solution d’acide borique de concentra- tionc=1·10⁻²mol·L⁻¹.

(b) Même question pourc=1·10⁻⁵mol·L⁻¹.

2. Quand les concentrations deviennent supérieures à 0,1 mol·L⁻¹ les solutions sont plus acides qu’at- tendu. En effet il se forme alors un oligomère cy- clique (noté XnHn, avecnun entier et X un grou- pement comportant un H et des O et H) qui in- duit une modification de l’équilibre acidobasique.

L’étude de la variation du pH en fonction de la concentrationcd’acide borique permet de détermi- ner l’entiernet la constante d’acidité globale de cet oligomère. On notepc=−log(c).

On a les équilibres :

nAH XnHn + nH₂O K0 (6)

XnHn + H₂O XnH_n–1^– + H₃O⁺ Ka0 (7)

On fera l’hypothèse que la forme AH reste très majoritaire par rapport à AnHn, mais qu’elle est en revanche nettement moins dissociée et que c’est donc en fin de compte AnHn qui impose le pH pour c>0,1 mol·L⁻¹.

(a) Justifier en utilisant les résultats précédents la pente lue pourc60,1 mol·L⁻¹.

(b) Déterminer la nouvelle valeur de la pente lue pourc>0,1 mol·L⁻¹. En déduire la valeur den.

3. (a) Proposer une structure de Lewis de B(OH)₃sachant que chaque O est lié au B et à un H.

(b) En déduire une structure de Lewis de la base conjuguée B(OH)₄^–.

(c) Proposer de même des structures de Lewis de l’oligomère XnHn et de sa base conjuguée.