Classe de troisième Fonctions affines a) Définition Soient a et b deux nombres fixés. En associant à chaque nombre x un nombre

Classe de troisième Fonctions affines a) Définition

Soient a et b deux nombres fixés.

En associant à chaque nombre x un nombre axb (appelé image de x) on définit une fonction affine.

On notera cette fonction ainsi : g: x axb L'image de x sera notée g(x).

Exemple :

Soit g la fonction affine définie par g : x 2x –3

L'image de 5 est : g5=2×5–3=7 donc g5=7 .

L'image de –3 est : g–3=2×–3–3=–9 donc g–3=–9 . L'image de 0 est : g0=2×0–3=–3 donc g0=–3 . Soient les points A5 ;7 , B–3 ;–9, C0 ;–3

b) Représentation graphique

Soit g la fonction affine définie par g : x axb. L'ensemble des points de coordonnées

x;axb est la représentation graphique de la fonction affine g.

Dans un repère, cette représentation graphique est la droite :

– parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée.

– Passant par le point de coordonnées 0 ;b. Exemple :

Soit la fonction g : x 3x5

2 méthodes pour tracer sa représentation graphique.

Méthode 1 :

On choisit deux points :

Si x=0 , alors g0=3×05=5

Si x=–2 , alors g–2=3×–25=–1

La représentation graphique de g est une droite passant par les points de coordonnées 0 ;5 et

–2;–1.

Méthode 2 :

On appelle f la fonction linéaire associée à g.

f : x 3x

On trace la représentation graphique de f. C'est une droite passant par l'origine.

La représentation graphique de g est la droite parallèle à la représentation graphique de f passant par le point de coordonnées 0 ;5.

c) Proportionnalité des accroissements

Soient a et b deux nombres fixés, et g une fonction affine telle que gx=axb. La différence des images par g est proportionnelle à la différence des nombres associés.

Ainsi, la représentation graphique d'une fonction affine étant une droite, sa pente est déterminée par le coefficient directeur :

a=y_B−y_A x_B−x_A

Utilisation : Cette formule permet de déterminer l'équation d'une fonction affine.

Exemple :

La représentation graphique de la fonction affine f passe par les points A2 ;3 et B4 ;–1. Déterminer l'équation de la fonction f.

La fonction affine f admet pour coefficient directeur le nombre a= y_B−y_A x_B−x_A

Comme la représentation graphique de f passe par les points A2 ;3 et B4 ;–1, alors : a=−1−3

4−2 =−4 2 =−2

Il suffit ensuite de déterminer b par lecture graphique (b est l'ordonnée à l'origine) ou par un calcul en remplaçant x et y par les coordonnées d'un des points.

Autre méthode pour déterminer l'équation d'une fonction affine :

La représentation graphique de la fonction affine f passe par les points A(2 ;3) et B(4 ;-1).

f est une fonction affine, donc f est du type axb. Donc, on a : f 2=3 et f 4=–1 .

On obtient donc un système :

{

{

On souhaite déterminer a et b. Il suffit donc de résoudre le système de deux équations:

{

On utilise la méthode par combinaison : 2a=−4 donc a=−2 2ab=3

2×−2b=3 b=7

L'équation de f est donc f : x –2x7

d) Intersection de deux représentations graphiques Soit f : x – x5 et g : x 4x –2

Pour déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection, il suffit de résoudre le système :

{

Par la méthode par substitution, cela revient à résoudre l'équation f x=gx pour trouver x.

On obtient ici donc −x5=4x –2 d’où x=7 5 Pour y, il suffit de remplacer : y=−7

5 5=−7 5 25

5 =18

5 M



5

