Chapitre 14. Théorème du point fixe 14

Chapitre

Si l’on examine de plus près les méthodes de Lagrange et de Newton, étudiées au chapitre précédent, elles reviennent dans leur principe à remplacer la résolution de l’équation f(x) = 0 sur un intervalle



^{a b;}



par celle d’une équation équivalente g(x) = x, dont on approxime la solution  par une suite (an), définie par son premier terme a0



a b;



et la relation de récurrence a_n1g a

 

_n , et dont la limite est .

Cette situation – la recherche et l’approximation d’un point fixe d’une fonction – est suffisamment générale pour être étudiée pour elle-même. Elle fait l’objet d’un théorème très important d’analyse, le théorème du point fixe.

Sommaire

Chapitre 14. Théorème du point fixe ... 307

1. Suite récurrente associée à g ... 308

1.1 Stabilité de l’intervalle de définition ... 308

1.2 Point fixe ... 310

1.3 Sens de variation ... 311

1.4 Une condition nécessaire de convergence ... 312

2. Convergence d’une suite récurrente ... 314

2.1 Application strictement contractante ... 314

2.2 Un théorème du point fixe ... 315

2.3 Majoration de l’erreur ... 316

2.4 L’exemple de l’équation de Fibonacci ... 317

2.5 Calcul de sin 1° par approximations successives ... 319

3. Nature des points fixes ... 321

3.1 Point fixe attractif ... 321

3.2 Point fixe répulsif ... 322

3.3 Un cas douteux : ^g'

 

^{ 1} ... 323

4. Étude d’un exemple ... 324

Précisons les notations que nous emploierons dans ce chapitre. Nous considérerons une fonction g définie sur un intervalle I.

Moyennant certaines hypothèses, que nous préciserons le moment venu, nous construirons la suite (un) définie par :

son premier terme u₀I ;

la relation de récurrence, valable pour tout entier naturel n, u_n1g u

 

_n .

Nous pouvons espérer que cette suite, avec des hypothèses convenables, converge vers un point fixe de g, autrement dit une solution de l’équation g(x) = x.

1. Suite récurrente associée à g

1.1 Stabilité de l’intervalle de définition

Prenons garde toutefois que les relations précédentes, aussi simples soit-elle, ne suffisent pas toujours à définir effectivement une suite. Le calcul parfois ne peut pas être poursuivis au delà d’un certain rang.

Ainsi en posant ₀ 1

 5

u et ₁ 2

  1

ⁿ

n n

u u

u , il est bien clair qu’un terme ne peut être calculé que lorsque le terme qui le précède est différent de 1. Or les problèmes surviennent assez rapidement, comme le montre l’écran suivant (… penser à utiliser ans…) :

Le problème est posé : à quelle condition peut-on être sûr que la suite récurrente est définie pour toute valeur de n ? Tout est affaire de stabilité…

Stabilité de l’intervalle I par g

On dit que l’intervalle I est stable par g lorsque g I

 

^I. Théorème

Lorsque I est un intervalle stable par g, alors la suite définie par :

0 u I

pour tout entier naturel n, u_n1g u

 

_n

est définie pour tout entier naturel n.

Démonstration

On peut démontrer, par exemple par récurrence, que pour tout entier naturel n, un est bien défini et est élément de I : c’est immédiat.

Construction en toile d’araignée Construction en escalier

Gardons-nous cependant de croire que de telles suites sont toujours convergentes : elles peuvent avoir des comportements divers, comme le montrent les écrans suivants :

Au demeurant, la convergence d’une telle suite semble liée (mais cela ne suffit pas !) à la présence d’un point d’intersection entre la courbe représentative de g et la droite d’équation y = x, autrement dit d’une solution à l’équation g(x) = x.

1.2 Point fixe

Les observations précédentes conduisent à définir la notion de point fixe d’une fonction.

Définition

Soit g : I   une fonction continue sur I.

On dit que  est un point fixe de g lorsque g() = .

En d’autres termes, les points fixes de g sont les solutions, lorsqu’elles existent de l’équation

 

^

g x x.

En effet considérons la fonction f définie sur



^{a b;}



par f(x) = x – g(x).

f est alors continue sur



^{a b;}



^.

On a par ailleurs :

f(a) = a – g(a)  0 f(b) = b – g(b)  0

car g(a) et g(b), par hypothèse, appartiennent à



^{a b;}



^.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on est sûr que l’équation f(x) = 0 possède au moins une solution¹ sur



^{a b;}



. Il en est de même de l’équation g(x) = x et on peut affirmer que g possède au moins un point fixe.

Remarquons que la stabilité de l’intervalle I ne garantit pas l’existence d’un point fixe, hormis le cas que nous venons d’étudier d’un intervalle fermé borné. Par exemple la fonction exponentielle est une fonction de I = dans I = , mais on sait bien que l’équation e^x x n’a pas de solution dans . 1.3 Sens de variation

Théorème

Soit I un intervalle stable par g.

Lorsque la fonction g est strictement croissante sur I, alors la suite récurrente (un) associée à g est monotone.

Démonstration

En effet, on peut écrire les égalités de signes suivantes, liées à la stricte monotonie de la fonction g sur l’intervalle I :



1

     

1

 ^

1

^{ }

1 0

^

signe u_n u_n signe g u_n g u_n signe u_nu_n  ... signe u u

Par conséquent, la suite (un) est bien monotone. Plus précisément, si u₁u₀, alors la suite (un) est croissante et si u₁u₀, alors la suite (un) est décroissante².

Théorème

Soit I un intervalle stable par g.

Lorsque la fonction g est strictement décroissante sur I, alors les suites extraites (u2n) et (u2n+1) ont des sens de variation contraires.

1 Peut-être plusieurs...

2 Et si u1 = u0, la suite (un) est constante.

Démonstration

Posons pour tout entier naturel n, v_nu_2n et w_nu_2n1. Il est alors clair que : v_n₁gog v

 

_n et w_n₁gog w

 

_n .

Comme gog est strictement croissante sur I – c’est la composée de deux fonctions strictement décroissantes sur I –, d’après le théorème précédent, les suites (vn) = (u2n) et (wn) = (u2n + 1) sont l’une et l’autre monotones.

Il reste à prouver qu’elles ont des sens de variation contraires. Comme précédemment, on peut écrire :



2 2 2

 

2 0



signe u_n u_n signe u u et signe



u2_n1u2_n1



signe



u3u1



.

Or comme g est décroissante sur I, si u₂u₀, alors g u

 

2 g u

 

0 soit u₃u₁, et de même si u₂u₀, alors u₃u₁. On peut en conclure que les sens de variation sont contraires.

1.4 Une condition nécessaire de convergence Théorème

Soit g une fonction continue définie sur un intervalle I. On suppose de plus que l’intervalle I est stable par g.

Si la suite récurrente (un) converge, c’est nécessairement vers un point fixe de g.

Démonstration

Effectivement, si la suite (un) converge vers un nombre réel , en passant à la limite dans l’égalité qui définit la récurrence :

 

lim _1 lim

 _n   _n

n u g n u (car la fonction g est continue sur I) soit  = g()

ce qui prouve que  est un point fixe de la fonction g.

Quelques remarques sur l’utilisation de ce théorème

Le théorème précédent énonce une condition nécessaire, malheureusement pas suffisante, pour que la suite (un) converge : il ne renseigne en rien sur la convergence effective de cette suite. Tout au plus donne-t-il – c’est déjà un résultat important – une, ou des, valeurs possibles pour la limite.

Par contre, si la fonction g ne possède pas de point fixe sur l’intervalle d’étude, on peut être sûr que la suite récurrente associée à g diverge.

C’est le cas par exemple de la suite définie par son premier terme u0 = 1

et par la relation de récurrence u_n1 1u_n² .

Si on pose g x

 

 1x² pour x élément de



^0,



, stable par g, l’équation g x

 

^x n’a clairement pas de solution (car 1x² x).

En conséquence, la suite (un) ne converge pas. Comme elle est croissante, elle diverge vers l’infini.

Remarquons qu’il existe aussi des contre-exemples à ce théorème, avec des fonctions présentant un ou des points fixes sans que les suites récurrentes associées convergent.

C’est le cas, par exemple, de la fonction définie sur I = [0 ; 1] par g(x) = 1 – x² : elle possède bien un point fixe, solution de l’équation 1x²x soit 5 1

 2^ . L’intervalle I est stable par g.

Pourtant la suite définie par u0 = 1 et la relation de récurrence u_n1 1 u_n² n’est pas convergente : elle prend alternativement les valeurs 0 et 1.

2. Convergence d’une suite récurrente

Dans le cas où l’intervalle est borné, la suite elle-même est bornée. Si l’on sait de plus qu’elle est monotone, on peut en déduire qu’elle converge vers un des points fixes de g.

Bien que l’on puisse souvent invoquer des résultats de ce type³ pour conclure sur la convergence de (un), nous nous placerons quant à nous dans un cadre plus général et rechercherons de plus à majorer l’expression u_n .

2.1 Application strictement contractante

 Définition

Soit g une application définie sur un intervalle I, non nécessairement borné de .

Dire que g est une application strictement contractante sur I signifie qu’il existe un réel K appartenant à [0 ; 1[ tel que pour tout x et y dans l'intervalle I, g x( )g y( ) K xy .

On dit aussi que g est lipschitzienne de rapport K < 1. Remarquons qu’une telle application est nécessairement continue sur I.

 Comment reconnaître une application strictement contractante ? Théorème

Soit une fonction g dérivable dans un intervalle I, non nécessairement borné.

Si la dérivée g’ vérifie max '( ) 1

  

x I g x K alors g est une application strictement contractante sur l'intervalle I.

Démonstration

Soient x et y deux réels de l’intervalle I. D’après la théorème des accroissements finis, on peut écrire :

 

^

 

^{ '}

 

^{ }



g x g y g x y avec ^

 

^{x y, .}

Par suite :

 

^

 

^{ '}

 

^{   }

g x g y g x y K x y

ce qui prouve que g est bien strictement contractante sur l’intervalle I.

Exemple

Ainsi on peut affirmer que la fonction g définie sur par

 

¹ ₂

1 g x 

x est strictement contractante sur .

En effet, on a :

 



²²



²

'

1

 

 g x x

x .

La calculatrice permet alors de conclure que pour tout x réel :

max '( ) 3 3 1

  8 

x I g x .

3 Au moins dans les cas les plus classiques.

2.2 Un théorème du point fixe

Il existe de très nombreuses versions de ce célèbre théorème d’analyse.

Théorème du point fixe sur un intervalle fermé I :

Soit une fonction g définie sur un intervalle fermé I, pas nécessairement borné, de et vérifiant les conditions suivantes :

l’intervalle I est stable par g ;

g est strictement contractante sur l'intervalle I de rapport K < 1.

Alors la fonction g admet un point fixe unique  et la suite (un) définie par son premier terme u0  I et la relation de récurrence u_n1g u

 

_n converge bien vers .

Démonstration

La stabilité de l’intervalle I montre que la suite (un) est clairement définie.

Nous allons d’abord démontrer que la suite (un) est une suite de Cauchy de nombres réels. Observons que pour tout entier naturel n :

   

²

1 1 1 1 2 ... 1 0

              ⁿ 

n n n n n n n n

u u g u g u k u u k u u k u u .

On peut alors écrire :

1 1

1 1 0 1 0 1 0

0 0

1

1 1

 

    

 

  

 



^p  



^{p n i}   ⁿ  ^p   ⁿ 

n p n n i n i

i i

K K

u u u u K u u K u u u u

K K .

Comme Kⁿ tend vers 0 quand n tend vers l’infini (car 0 K 1), on en conclut que u_{n p} u_n peut être rendu aussi petit que l’on veut pourvu que n soit suffisamment grand.

Ceci prouve que la suite (un) est une suite de Cauchy.

La suite (un) converge donc vers un réel  qui appartient à I car I est un intervalle fermé de .

Montrons que  est un point fixe de g. Comme g est une application strictement contractante sur I, on en déduit que, pour tout entier naturel n :

   

n ^{  } n^{ } n^

g u g K u u

ce qui prouve que la suite



g u

 

n



converge vers ^g

 

^{ . Comme}



g u

 

_n





^

u_n1

^

converge aussi vers , on peut en conclure que ^g

 

^{  donc que } est un point fixe de g⁴.

Montrons maintenant que ce point fixe est unique. Supposons donc qu'il existe deux points fixes de g,

1 et 2, sur l'intervalle I.

On peut alors écrire :

   

1 2 1 2 1 2 1 2

   g  g  K    

ce qui est impossible. En conséquence, le point fixe est nécessairement unique.

Remarquons que l’hypothèse I fermé n’intervient que pour montrer que  est bien dans I. Si l’on sait par d’autres moyens que les points fixes sont déjà dans I, elle devient alors obsolète et peut être omise.

Par ailleurs, il résulte de la démonstration précédente l’inégalité u_n  K u_n1 , qui montre que la vitesse de convergence de la suite (un) vers  , si elle existe, est majorée par K : la convergence est donc, dans le pire des cas, géométrique de rapport K. On mesure donc l’importance qu’il y a à travailler avec un coefficient K, qui soit le plus petit possible.

2.3 Majoration de l’erreur

Les calculs précédents ont montré que pour tout entier naturel n :

2

1 2 ... 0

 _  _  

       ⁿ 

n n n

u K u K u K u .

Cette dernière majoration permet de faire un calcul d’erreur, essentiel pour estimer la qualité du résultat renvoyé. On peut raisonner de deux façons différentes.

 Tout d’abord, si l’on veut que u_n  , il suffira que l’on ait K uⁿ ₀  .

Cette inéquation en n se résout facilement en passant aux logarithmes. Elle équivaut alors à : ln ln 0  ln

n K u ,

inégalité qui est réalisée dès que n supérieur ou égal⁵ à ln ln ⁰ ln

  u 

K .

Mais ce dernier calcul présente un inconvénient : elle fait intervenir la valeur … précisément celle que l’on cherche à calculer…

Lorsque ^I



^{a b;}



, on peut s’affranchir de ce problème en remarquant que u₀   b a, d’où l’on déduit que u_n   dès que :

 

ln ln

ln

  

 b a

n K

 On peut aussi obtenir un autre majorant de l’erreur commise, sans faire intervenir la valeur de , en reprenant un résultat mis en évidence dans la démonstration du théorème du point fixe :

1 0

1

   1 



n

n p n

u u K u u

K pour n et p entiers naturels quelconques.

4 Nous avons démontré plus haut, et de façon plus « artisanale », que toute fonction g : [a,b]  [a,b] possédait au moins un point fixe.

5 On rappelle que K  ]0 ; 1[, donc son logarithme est négatif.

Revenons vers l’équation du troisième degré, proposée vers 1225 par Fibonacci⁶ : x³ + 2x² + 10x – 20 = 0.

Une étude rapide de la fonction définie sur par f x

 

x³2x²10x20 a montré que cette équation possède une solution réelle et une seule sur l’intervalle [1 ; 2].

Pour résoudre cette équation en utilisant le théorème du point fixe, on doit se ramener à une équation de la forme g(x) = x. Plusieurs possibilités s’offrent à nous. Commençons par la plus simple…

L’équation équivaut à :

3 2

10 11 20

   

x x x x

en posant g(x) = x³10x²11x20 pour x  [1 ; 2].

Malheureusement, le maximum de la dérivée de g sur l’intervalle [1 ; 2] vaut 31… et nous ne pouvons pas utiliser les résultats qui précèdent. La suite d’ailleurs diverge très rapidement.

Transformons l’écriture plus judicieusement. L’équation équivaut à : x³ + 2x² + 10x = 20 ^{x x}



^22x10



^20

2

20

2 10

  

x x x

et cette fois, nous poserons

 

₂ ²⁰

2 10

  

g x x x pour x  [1 ; 2].

On peut constater sur l’écran qui suit⁷ que cette fonction remplit bien les hypothèses du théorème du point fixe que nous venons d’énoncer :

l’application est strictement contractante sur l’intervalle [1 ; 2] avec un coefficient K égal à 80

169 ;

l’intervalle [1 ; 2] est stable par g.

6 Voir le chapitre précédent, sur la résolution approchée des équations.

7 Il faudrait le confirmer bien sûr par un raisonnement rigoureux.

On peut alors définir la suite récurrente associée à g définie par :

0

1 2

2

20

2 10



 

 

  

 ⁿ n n

u

u u u

et demander l’affichage des premiers termes de cette suite dans l’application Tableur & Listes :

Cette suite figure dans la colonne B : la fonction g a été définie au préalable dans l’application Calculs. Dans la colonne C figure le premier calcul d’erreur (ici Kⁿ) ; enfin dans la colonne D, figure le deuxième calcul d’erreur 1 _{1 0}

1

  

  

 

Kn u u

K , légèrement supérieur au précédent.

D’après le théorème du point fixe démontré plus haut, on sait que la suite (un) converge vers le point fixe de f, donc la solution de l’équation de Fibonacci. On remarque bien que la suite extraite des indices pairs est décroissante, tandis que la suite extraite des indices impairs est croissante.

Malheureusement, le calcul n’est mené de façon exacte que jusqu'au 10^e terme de la suite. À partir du 11^e terme, on passe en calcul approché.

2.5 Calcul de sin 1° par approximations successives

L’idée a été évoquée dans le chapitre précédent et entraine la résolution approchée d’une équation de degré 3. Reprenons rapidement l’argumentation développée.

Depuis les premières tables de cordes des Grecs⁸, les mathématiciens ont toujours cherché à améliorer la précision des tables trigonométriques, tout l’enjeu étant d’obtenir la valeur approchée de sin 1° la plus précise possible, permettant ensuite de construire la table.

Vers 1400, al-Kashi, astronome à l’observatoire de Samarkand, propose le calcul approché de cette solution par une méthode d’approximations successives. La méthode était radicalement nouvelle à côté de laquelle les tentatives précédentes n’étaient que des balbutiements.

En effet, à partir de la relation trigonométrique bien connue : sin 3x = 3 sin x – 4 sin³ x,

al-Kashi a l’idée de résoudre l’équation sin 3° = 3x – 4x³.

où sin 3° est connue, car accessible à partir des valeurs usuelles des sinus, et où x l’inconnue donnera une valeur approchée de sin 1°, la plus précise possible pour construire une table.

En effet, sin 3° peut en effet se calculer par étapes, à partir des valeurs remarquables déjà connues : connaissant les lignes trigonométriques de 72° et de 60°, on en déduit celles de 12°;

par deux divisions par 2 successives, on arrive aux lignes trigonométriques de 3°.

L’idée de génie d’al-Kashi consiste à résoudre l’équation précédente par approximations successives : c’est sans doute la première fois dans l’histoire des mathématiques que l’on utilise cette méthode.

En langage moderne, il travaille avec la suite (un) définie par u0 = 0 et un_1g u

 

n en posant :

 

^{sin 3 4 3}

3

   x

g x .

8 C’était leur seule ligne trigonométrique, très proche du sinus.

Une valeur approchée⁹ de sin 3° avec 20 décimales exactes est : 1518910862 29022319855.

Essayons maintenant avec l’application Tableurs & Listes de reprendre le principe des calculs d’al- Kashi. Tout d’abord définissons la fonction dans une page Calculs :

Enfin, calculons les termes de la suite (un) :

On constate qu’en quelques itérations, la suite semble converge vers sin 1°.

Le théorème du point fixe s’applique pleinement. Vérifions-en les hypothèses : la fonction g est clairement strictement croissante sur l’intervalle



^{0 ; sin1}



^;

par conséquent, si on a : 0 x sin1, on en déduit que :^0g

 

^{0 g x}

 

^g



^{sin1 }



^sin1,

ce qui prouve que l’intervalle



^{0 ; sin1}



est stable par g ; comme g x'

 

4x², on peut en déduire que :

 

 

²

0;sin1

max ' 4sin 1

 

  

K x g x qui est clairement

inférieur à 1.

Remarquons de plus que la convergence sera intéressante car le coefficient K est très proche de 0 – à peu près 0,00122 –, ce qui explique après coup le grand succès qu’a obtenu al-Kashi.

9 Obtenue avec un logiciel de calcul formel, gérant un nombre illimité de décimales, et un développement en fraction continue.

Pour faire simple, on a donc

16 5sin1 0,5 10 ^

u .

Stockons la « grosse » fraction de la cellule B6 dans une variable a. Notre fonction divex2, créée dans la bibliothèque div_dec, donne alors :

… valeur approchée à moins de 0,5  10^–16 près.

Presque aussi bien qu’al-Kashi qui, lui, a donné l’équivalent de 18 chiffres après la virgule !

3. Nature des points fixes

Dans tout ce qui suit, on considère que la fonction g est définie et de classe C1 sur l'intervalle



^;





I a b de . En particulier, la dérivée de g est continue sur



^{a b;}



^.

Comme précédemment, on note ^

 

^{a b;} un point fixe de la fonction g sur l'intervalle I. On peut alors distinguer trois cas.

3.1 Point fixe attractif Théorème

Si |g’()| < 1, alors il existe un intervalle J contenu dans I pour lequel la suite (un) définie par u0  J

pour tout entier naturel n, un + 1 = g(un) converge vers .

Autrement dit, pourvu que l’on se place « suffisamment près de  » – mais on n’a pas a priori plus d’informations – on est assuré de la convergence de la suite (un).

Le point fixe  est alors dit point fixe attractif, car il provoque la convergence de toutes les suites récurrentes construites à partir de f, pourvu que la valeur initiale soit suffisamment proche de ce point fixe.

Démonstration

Plaçons-nous sur l'intervalle J = [ –  ;  + ] où  > 0 est choisi de telle sorte que :

x  [ –  ;  + ], |g'()| < K < 1, choix toujours possible car g’ est continue sur I = [a ; b].

Montrons que sur cet intervalle, la fonction g vérifie les hypothèses du théorème du point fixe.

Tout d’abord, la fonction g est contractante sur l’intervalle J, et de rapport K < 1.

D’autre part, g([ –  ;  + ])  [ –  ;  + ]

En effet soit x  [ –  ;  + ], ce que l’on peut écrire |x – | < .

Donc, pour x élément de J, |g(x) – g()| = |g(x) – |  K |x – | < |x – |   ce qui prouve bien que

 

^



^{    ; }



g x .

On peut donc appliquer le théorème du point fixe dans l'intervalle J et la suite (un) est bien convergente quel que soit son premier terme x0 situé dans J.

Intéressons-nous au cas où g’() = 0.

Supposons que g soit de classe C2 sur [a ; b] et que g'' M sur l’intervalle J.

La formule de Taylor, appliquée à l’intervalle limité par  et x, donne :

           

     

2

2

' ''

2!

'' avec ;

2!

   

  

    

   

g x g x g x g c

x g c c x

D’où l’on déduit :

   

²

 2 

 M 

g x x .

On a donc pour tout entier naturel n, à condition de choisir u0 dans l’intervalle J :

 

²

1  2 

   

n n

u M u .

Cela indique une convergence dite quadratique, extrêmement rapide. Concrètement, si l’on sait que

 10^

  ^p

un , on peut en déduire que ₁ 10²

 2 ^

   ^p

n

u M : concrètement, on peut dire que le nombre de décimales exactes à peu ou prou doublé en une itération. Le point fixe, dans ce cas, est qualifié de superattractif.

On peut aussi écrire :

     

2 22 2

1 2 ... 0

2   ^ 2 _  ^ ^ 2 _  ^  ^ 2  ^

     

n

n n n

M M M M

u u u u

soit



0



²

2

 ^ 2  ^

    

 

n

n

u M u

M .

3.2 Point fixe répulsif Théorème

Si |g’()| > 1, alors il existe un intervalle J contenu dans I et tel que, pour tout u0  , u0  J, la suite récurrente associée à g de premier terme u0 ne converge pas vers .

Alors min '( ) 1

  

x J g x K

Il est possible que la suite (un) ne soit pas définie pour toute valeur de n : dans ce cas, elle ne converge pas vers .

Sinon on sait que pour tout x dans J, |g(x) – |  K |x – |

La suite ne peut pas converger vers  car pour tout entier naturel n, |un – |  aK^{n – 1} avec K > 1.

3.3 Un cas douteux : ^g'

 

^{ 1}

Étudions deux exemples, pour lesquels les conclusions seront différentes : c’est en ce sens que le cas sera dit douteux. Pour chacun de ces deux exemples, on aura  = 0 et g’() = 1.

 g x

 

sinx pour x élément de 0 ; 2

 

 

 

La convergence ne fait aucun doute si l’on remarque pour tout x dans l’intervalle 0 ; 2

 

 

 , sin x < x.

Quel que soit son premier terme dans 0 ; 2

 

 

 , la suite récurrente associée à g est alors décroissante, minorée par 0, donc elle converge vers le point fixe 0, qui est bien attractif.

 f x

 

sinhx pour x élément de



^{0 ; }



On a cette fois pour tout x strictement positif, sinh x > x. Cette fois la suite (un) est strictement croissante et ne peut donc pas converger vers le point fixe 0… qui est donc répulsif.

Bilan :

La notion de point fixe attractif ou répulsif simplifie quelque peu l’approche du problème. Tout revient finalement à estimer ^g'

 

^{ …}

si ^g'

 

^{ 1}, alors on élimine la méthode, qui correspond à un point fixe répulsif ;

si ^g'

 

^{ 1}, la méthode converge ; il reste concrètement à s’approcher suffisamment de  c’est-à-dire à trouver un intervalle stable par g et dans lequel le maximum de la dérivée est strictement inférieur à 1.

4. Étude d’un exemple

 Soit g la fonction définie sur [–1 ; 1] par ^{g x}

 

^{ 1 ax2 avec} a réel quelconque de l’intervalle ]0 ; 2]. On considère alors la suite récurrente définie par :

 

 

0 1

1;1



  



 ⁿ  ⁿ u

u g u

Montrons tout d’abord que l’intervalle [–1 ; 1] est stable par g. Une étude sommaire de la fonction g montre qu’elle prend ses valeurs dans l’intervalle [1 – a ; 1].

Dire que [1 – a ; 1]  [–1 ; 1] équivaut à dire que a  [0 ; 2]… ce qui est à peu de chose près notre intervalle d’étude¹⁰. Que la suite soit définie était relativement évident étant donnée la formule proposée¹¹… par contre, nous sommes sûr avec ces valeurs de a que la suite prend toutes ses valeurs dans l’intervalle [–1 ; 1].

10 Le cas a = 0 que nous écarterons de suite ne présente pas un grand intérêt.

11 Pas de quotient, pas de racine carrée… bref aucun risque que le calcul ne puisse se poursuivre indéfiniment !

A priori, deux points fixes apparaissent, mais lorsque 0 < a < 2, un seul nous intéresse

4 1 1

 a2^{ }

a . Pour a = 2, les points fixes 1

2 et –1 sont cette fois tous les deux dans [–1 ; 1].

Ce, ou ces, points fixes sont-ils attractifs ?

C’est donc le cas lorsque 3 0 ;4

 

 

a . Pour a = 2, ^f'

 

^{x  4x} et les deux points fixes 1

2 et –1 sont répulsifs.

 Lorsque 1

0 ;2

 

 

a , l’application est strictement contractante et le théorème du point fixe permet de conclure à la convergence de la suite (un) vers le réel , quel que soit le premier terme choisi dans l’intervalle [–1 ; 1].

 Lorsque 1 3 2 4;

 

  

a , le théorème du point fixe ne peut plus s’appliquer car l’application n’est plus strictement contractante. Mais la convergence vers le point fixe – point fixe attractif dans ce cas – semble cependant encore avoir lieu. Prouvons-le.

Lorsque u0 appartient à [–1 ; 1], on peut remarquer que un est dans l’intervalle [0 ; 1] pour n  1.

Comme la fonction g est décroissante sur cet intervalle, on sait que les suites extraites d’indices pairs et impairs ont des sens de variation contraires à partir de n = 1. Comme ce sont des suites monotones et bornées, on peut affirmer qu’elles convergent… Or, ces suites sont aussi des suites récurrentes, associées non pas à g mais à g² = gog. On a en effet :

 

2 2_n2  2_n

u g u et u_2n1^g²



u_2n1



.

Elles convergent donc l’une et l’autre donc vers un point fixe de g² ; les points fixes de g² peuvent être déterminés avec la TI-Nspire. On retrouve les points fixes de f – c’est immédiat à prouver – et deux autres : 1 4 3

2

 a

a et 1 4 3 2

 a a .

Mais ces deux nouveaux points fixes ne sont pas dans l’intervalle [–1, 1] pour des valeurs de a dans 1 3;

2 4

 

 

 . Les suites d’indices pairs et d’indices impairs convergent donc vers le seul point fixe attractif qui demeure, 4 1 1

 a2^{ }

a comme précédemment.

Un raisonnement semblable au précédent peut être repris. Sachant que 3

4

a , les points fixes sont –2 et 2

3.

Cette fois-ci, les suites constituées des termes d’indices pairs et d’indices impairs, qui sont toujours convergentes, ne peuvent converger que vers 2

3.

 Que se passe-t-il pour 3

4 a ?

Le point fixe de g de l’intervalle [–1,1] est répulsif… donc la suite (un) n’est plus convergente… sauf si son terme initial vaut précisément ce point fixe ; elle est alors constante et égale à ce point fixe.

Éventuellement les points fixes de g², déterminés plus haut, vont prendre la relève…

À quelles conditions sont-ils attractifs ?

L’écran suivant montre que c’est le cas pour 3 5 4 a 4.

Si 3

4 a 1, on peut encore affirmer que si u0 



1;1



, un^

 

^{0 ;1} pour n supérieur ou égal à 1. Les deux suites (u2n) et (u2n+1) restent donc convergentes.

Mais comme la suite (un) ne peut plus elle-même être convergente¹², on peut en conclure que (u2n) converge vers un des points fixes de g² et (u2n+1) vers l’autre.

Ce que l’on observe évidemment sur l’exemple ci-dessous : la suite diverge en oscillant autour des valeurs 0,125 et 0,986, qui correspondent aux points fixes de g² dont la courbe a été tracée.

On voit donc ici apparaître un cycle de longueur 2 qui correspond aux deux points fixes attractifs p1 et p2 de g², qui ne sont pas points fixes de g.

On a donc p₁^g²

 

p₁ et p₂^g²

 

p₂ , ainsi que p₁^g p

 

₁ et p₂^g p

 

₂ .

On en déduit que g p

 

1 g g



²

 

p1



g²



g p

^{ }

1



, autrement dit g p

 

1 est un point fixe de g². Manifestement, g p

 

1 ne peut pas être un point fixe de g, sinon on aurait :

  

1





^{ }

1

g g p g p soit g²

 

p₁ ^g p

 

₁ ^ p₁

12 Car elle convergerait nécessairement vers un point fixe de f… mais ce n’est plus possible avec ces valeurs de a…

Apparaît donc une nouvelle situation qui permet de préciser la nature de la divergence de (un) : ou bien u0 = p1 ou u0 = p2 et la suite (un) est périodique de période 2, ou bien u0 est différent de ces deux valeurs et la suite (un) diverge en s’approchant alternativement de p1 et de p2.

Comme g'

 

p1 1 et g'

 

p2 1, on dira dans ce cas que le 2-cycle est attractif.

Nous admettrons que la situation est identique tant que le 2-cycle est attractif, c’est-à-dire lorsque a est tel que 5

1 a 4. Il en est de même aussi pour 5

4 a .

Au-delà de 5

4

a , ces points fixes de g² après ceux de g vont devenir répulsifs. On reprend le même raisonnement qui après g a vu venir g² : après g² nous allons considérer les points fixes de (g²)² = g⁴, à condition qu’ils soient attractifs et qu’ils figurent dans l’intervalle [–1 ; 1].

Malheureusement le calcul formel général ne peut plus être mené comme nous l’avons fait jusqu’à maintenant : l’observation graphique est cependant fructueuse.

Un cycle d’ordre 4 s’est bien mis en place autour de quatre points fixes attractifs de g⁴, qui ne sont ni points fixes de g², ni points fixes de g : –0,336 ; 0,034 ; 0,849 et 0,998.

Une rapide étude permet de constater que ces nouveaux points fixes sont attractifs. On dira que le 4- cycle est attractif.

Si on appelle p1, p2, p3 et p4 le 4-cycle ainsi mis en évidence, on a :

 

1 



⁴

 

1



 ⁴

 ^{ }

1



g p g g p g g p

ce qui prouve que g p

 

₁ est un point fixe de g⁴. De façon analogue à ce qui a été fait plus haut, on peut montrer que :

 

₁

g p ne peut pas être un point fixe de g² (sinon g²



g p

 

1



g p

^{ }

1 et donc

   

4 2

1  1  1

g p g p p ce qui est absurde car p1 n’est pas un point fixe de g²)

Enfin g p

 

j ^ pk avec ki et k j mais aussi k1, sinon on aurait g³

 

p₁ ^ p₁ mais comme

      ^{ }

4 3

1  1 1  1

g p p g g p g p ce qui est absurde.

Là encore on peut préciser dans cette zone de valeurs de a la nature de la divergence de (un) : ou bien u0 est l’une des quatre valeurs du 4-cycle et la suite (un) est périodique de période 4, ou bien u0 est différent de ces quatre valeurs et la suite (un) diverge en s’approchant alternativement de chacune des valeurs du 4-cycle.

 En augmentant encore un peu la valeur de a, on pourrait mettre en évidence un cycle d’ordre 8, puis d’ordre 16, 32, etc. Ainsi pour a = 1,4, on peut observer un cycle d’ordre 8 :

On démontre qu'il existe ainsi une suite infinie de valeurs de a (dites catastrophiques) pour lesquelles se produit un doublement de la période du cycle attracteur. Cette suite de valeurs de a tend vers 1,401 environ (évidemment, les doublements de période ont lieu sur des intervalles de plus en plus petits).

Ensuite, si on continue d'augmenter a, le comportement de la suite devient difficile à prévoir, elle semble pouvoir prendre toute valeur entre –1 et +1. On dit que son comportement est chaotique, en ce sens qu’il est particulièrement sensible aux conditions initiales.

Si l’on choisit deux valeurs initiales très proches l’une de l’autre, les valeurs de un s’écartent très rapidement l’une de l’autre.

Curieusement, au milieu de ce chaos, autour de 1,75 un havre de paix surgit avec l’apparition d’un cycle d’ordre 3…