J1 = 2007 et P1  2007 avec la probabilité 2007 2

G 142.

Solution proposée par Michel Lafond

En prenant 1,2 euros pour une livre, Jones est nettement avantagé, car sa probabilité de gain dépasse 0,62 et on a deux issues :

Gain de 1 euro (la mise de Puce) avec la probabilité 0,62 ou perte de 1,2 euros (la mise de Jones) avec la probabilité 0,38. D’où une espérance de 0,62 – 1,2  0,38 > 0,16.

Les arrondis sont tous en défaveur de Jones, d’où le déséquilibre en sa faveur.

Pour prouver que la probabilité de gain de J dépasse 0,62, on se contente d’examiner une partie de l’arbre des possibilités.

Notons  = 1 / 2010, J pour Jones, P pour Puce, Jk le nombre sorti par Jones au k^ème coup et Pk le nombre sorti par Puce au k^ème coup.

J gagne dans les situations incompatibles suivantes :

J1 = 2008 et P1  2008 avec la probabilité 2008 ².

J1 = 2007 et P1  2007 avec la probabilité 2007 ². J1 = 2007 et P1 = 2008 et J2 = 2009 et P2  2009 avec la probabilité 2009 ⁴.

J₁ = 2006 et P₁  2006 avec la probabilité 2006 ². J₁ = 2006 et P₁ = 2007 et J₂ = 2008 et P₂  2008 avec la probabilité 2008 ⁴. J₁ = 2006 et P₁ = 2007 et J₂ = 2009 et P₂  2009 avec la probabilité 2009 ⁴. J1 = 2006 et P1 = 2008 et J2 = 2009 et P2  2009 avec la probabilité 2009 ⁴.

J₁ = 2005 et P₁  2005 avec la probabilité 2005 ². J1 = 2005 et P1 = 2006 et J2 = 2007 et P2  2007 avec la probabilité 2007 ⁴. J₁ = 2005 et P₁ = 2006 et J₂ = 2008 et P₂  2008 avec la probabilité 2008 ⁴. J₁ = 2005 et P₁ = 2006 et J₂ = 2009 et P₂  2009 avec la probabilité 2009 ⁴. J1 = 2005 et P1 = 2007 et J2 = 2008 et P2  2008 avec la probabilité 2008 ⁴. J1 = 2005 et P1 = 2007 et J2 = 2009 et P2  2009 avec la probabilité 2009 ⁴. J1 = 2005 et P1 = 2008 et J2 = 2009 et P2  2009 avec la probabilité 2009 ⁴. Et ainsi de suite jusqu’à J₁ = 1.

L’incompatibilité permet d’ajouter toutes ces probabilités.

 La contribution des ² est (1 + 2 + 3 + --- + 2008) ² = 2017036 / 2010² > 0,499 La contribution des ⁴ est plus compliquée :

Pour J₁ = 2005 par exemple, on a la contribution 2007 + 2  2008 + 3  2009.

Plus généralement, si k est compris entre 1 et 2008, alors pour J₁ = 2009 – k on a à sommer

S_k = 1  (2011 – k) + 2  (2012 – k) + 3  (2013 – k) + --- + (k – 1)  (2009) et les techniques classiques donnent pour cette somme Sk = 1/6 k (k – 1) (6029 – k) = 1/6 [- k³ + 6030 k² – 6029 k]

[Un raisonnement par récurrence fait aussi l’affaire]

La somme des Sk pour k variant de 1 à 2008 utilise les formules connues : La somme des k de 1 à n est 1 / 2 k (k + 1).

La somme des k² de 1 à n est 1 / 6 k (k + 1) (2k + 1).

La somme des k³ de 1 à n est 1 / 4 k² (k + 1)². On en tire la somme des Sk de 1 à 2008 : 2034216104130

 La contribution des ⁴ est donc 2034216104130 / 2010⁴ > 0,124

La probabilité de gain de Jones dépasse donc 0,499 + 0,124 = 0,623 comme annoncé.

Un calcul plus précis par informatique me donne pour la probabilité de gain de Jones une valeur qui est très proche de 1 – 1 / e [Le e de l’exponentielle] ce qui n’est sûrement pas un hasard…