Fiche : Calculs de probabilités
1 Rédaction du calcul d’une probabilité.
La rédaction d’un calcul de probabilité se fait généralement en 4 étapes : Méthode 1
1. Définir les événements élémentaires issus de l’expérience décrite et adopter des notations précises.
2. Décrire par une phrase l’événementAen fonction des événements élémentaires définis dans la première étape, sous la forme : " L’événementAest réalisé ssi ... ".
Il s’agit de " décomposer " l’événementAen événements élémentaires.
3. Traduire de manière ensembliste (c’est-à-dire sous forme d’union, intersection ou complémentaires d’événements élémentaires) la description faite à l’étape précédente. Le but est d’obtenir une forma- lisation mathématique rigoureuse pour pouvoir s’orienter vers la bonne méthode de calcul.
4. Calcul de la probabilitéP(A), en se servant de la décomposition ensembliste précédente, et des règles de calcul des probabilités (union, intersection, complémentaires, ...) rappelées ci-dessous.
2 Règles de calculs de probabilité.
1. Probabilité de l’évènement complémentaire. Pour tout évènementA: P³
A´
=1−P(A) .
2. Probabilité conditionnelle. On suppose qu’un événementAest réalisé et queP(A)6=0.
• On définit une nouvelle probabilitéPAen posant pour tout évènementB:
PA(B)=P(A∩B) P(A) .
• On obtient donc une formule de calcul pourP(B∩A) : P(A∩B)=PA(B)P(A).
3. Calcul de la probabilité d’une intersection.
• SiP(A1∩ · · · ∩An−1)6=0. Alors, laformule des probabilités composéesest : P(A1∩ · · · ∩An)=P(A1)PA1(A2)PA1∩A2(A3) . . .PA1∩···∩An−1(An) .
• Si (A1, . . . ,An) est une famille d’événementsmutuellement indépendants.Alors : P(A1∩A2∩ · · · ∩An)=P(A1)P(A2) . . .P(An) .
4. Calcul de la probabilité d’une union.
• Si (A1, . . . ,An) est une famille d’événements2à2incompatibles.Alors : P(A1∪A2∪ · · · ∪An)=P(A1)+P(A2)+ · · · +P(An) .
et plus généralement, si (Ai)i∈Iune famille infinie dénombrable d’événements2à2incompatibles.
P Ã
[
i∈I
Ai
!
=X
i∈I
P(Ai) .
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5. Formule des probabilités totales.
• Système complet d’évènements (SCE) : La famille (Ai)i∈Iest unSCE ssi
Ai∩Aj= ; ∀i6=j [
i∈I
Ai=Ω
• Soit (Ai)i∈Iest unSCEtel que∀i∈I,P(Ai)6=0.
Laformule des probabilités totalesdonne pour tout évènementB: P(B)=X
i∈I
P(B∩Ai) .
ou de manière équivalente
P(B)=X
i∈I
P(Ai)PAi(B) .
• Remarque : On utilise cette formule si l’on sait calculer facilement la probabilité P(B∩Ai)ou PAi(B).
C’est souvent le cas lorsqu’on la réalisation de l’évènement B dépend de l’issue d’une expérience anté- rieure faisant intervenir les évènements Ai.
3 Lois usuelles.
Une variable aléatoireX peut modéliser une expérience type : on dit qu’elle suit une loi usuelle (listées ci- dessous). Reconnaitre une loi usuelle permet d’obtenir directement les probabilitésP(X=k).
1. La loi uniforme sur(x1;x2; . . . ;xp) : X,→U({x1;x2; . . . ;xp)}.
• Expérience type : Valeur obtenue lors d’un tirage équiprobable parmipvaleurs (x1;x2; . . . ;xp).
• Rédaction type :Xcorrespond à la valeur obtenue lors d’un tirage équiprobable (ou au hasard) entre les valeurs (x1;x2; . . . ;xp) doncXsuit la loi uniforme sur (x1;x2; . . . ;xp).
2. La loi de Bernoulli de paramètrep: X(Ω)={0, 1} et X,→B(p).
• Expérience type : Valeur obtenue (0 pour l’échec et 1 pour le succès) lors d’une expérience à deux issues de probabilité de succèsp.
• Rédaction type :Xne prend que les valeurs 0 et 1 doncXsuit la loi deBernoullide paramètrepavec p=P(X=1) : X,→B(p).
3. La loi Binomiale de paramètresnetp: X(Ω)=J0;nKet X,→B(n,p).
• Expérience type : Nombre de succès lors d’une répétition denexpériences de Bernoulli indépen- dantes de même paramètrep.
• Rédaction type :Xcompte le nombre de succès (à préciser) lors d’une répétition denexpériences de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité de succèsp.
DoncXsuit la loi binomiale de paramètresnetp: X(Ω)=J0;nK et X,→B(n,p).
4. La loi Géométrique de paramètrep: X(Ω)=N∗et X,→G(p).
• Expérience type : Temps d’attente du premier succès lors d’une répétition illimitée d’expériences de Bernoulli identiques et indépendantes de même paramètrep.
• Rédaction type :X correspond au temps d’attente du premier succès lors d’une répétition illimitée d’expériences de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité de succèsp.
DoncXsuit la loi géométrique de paramètrep: X(Ω)=N∗et X,→G(p).
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