D30072. Angles de coupe
a) Deux disques circulaires de mˆeme rayon se recouvrent sur la moiti´e de leur surface. Sous quel angle se coupent leurs bords ?
b) Deux boules (sph`eres pleines) de mˆeme rayon ont en commun la moiti´e de leur volume. Sous quel angle se coupent leurs surfaces ?
Solution
a) La corde commune aux deux cercles partage l’aire de chacun en deux segments circulaires dans la proportion 3/4−1/4. Siαest l’angle (aigu) de chacune des tangentes aux extr´emit´es de la corde avec cette corde, le petit segment sous-tend un arc 2α. En prenant le rayon des cercles comme unit´e de longueur, l’aire de ce segment estα−sinαcosα et vaut π/4.
On a donc la relation 2α−sin(2α) =π/2, qui fournit la valeur approch´ee de l’angle des tangentes 2α= 2,30988146. . . radians, soit 132◦2004700 environ.
b) Le plan du cercle intersection des deux sph`eres partage le volume de chacune en deux segments sph´eriques dans la proportion 3/4−1/4. Si α est l’angle di`edre (aigu) des plans tangents le long du cercle d’intersection avec le plan de ce cercle, et en prenant le rayon des sph`eres comme unit´e de longueur, le volume du petit segment est 2π(1−cosα)/3−cosα(πsin2α)/3 et vaut π/3.
On en tire la relation cos3α−3 cosα+ 1 = 0, et cosα = 2 cos(4π/9). D’o`u l’angle des plans tangents 2α= 139◦2103300 environ.
1
