E539. Des boules aux couleurs belges
Une urne contient 2010 boules qui sont toutes noires. On dispose par ailleurs à volonté de boules rouges et jaunes. A chaque tour, on tire deux boules. Si elles sont :
- noires, on les remplace par une boule jaune,
- jaunes, on les remplace par une boule noire et une boule rouge, - rouges, on les remplace par une boule jaune,
- l’une noire et l’autre jaune, on les remplace par une boule rouge, - l’une rouge et l’autre jaune, on les remplace par une boule noire.
- l’une noire et l’autre rouge, on les remet dans l’urne.
1. Après un nombre fini d’opérations, il y a trois boules dans l’urne. Prouver que l’une au moins est jaune.
2. Est-il possible qu’après un nombre fini d’opérations, il y ait une seule boule dans l’urne ?
Solution de Claude Felloneau
Soit an, bn et cn les nombres respectifs de boules noires, rouges et jaunes contenues dans l’urne avant le (n+1)-ième tirage.
On a : a0 = 2010, b0 = 0, c0 = 0 et pour tout
(
an+1,bn+1,cn+1)
appartient à :( )
{
an −2,bn,cn +1,(
an+1,bn +1,cn −2) (
, an,bn−2,cn +1) (
, an −1,bn +1,cn−1) (
, an+1,bn−1,cn −1) (
, an,bn,cn)}
1. an+1+bn+1∈
{
an +bn−2,an+bn +2,an+bn}
donc la parité de an +bn est indépendante de n.Or a0+b0 =2010, donc, pour tout n, an +bn est pair.
S’il ne reste que 3 boules dans l’urne avant le (p + 1)-ième tirage, on a ap+bp+cp =3. ap +bp étant pair, cp est donc supérieur ou égal à 1.
Ainsi, l’une au moins des boules restantes est jaune.
2. Il est possible qu’il ne reste qu’une seule boule dans l’urne.
S’il y au moins 5 boules noires N1, N2, N3, N4, N5.
On prélève N1 et N2 que l’on remplace par une boule jaune J1. On prélève N3 et N4 que l’on remplace par une boule jaune J2.
On prélève J1 et J2 que l’on remplace par une boule noire N6 et une boule rouge R1. On prélève N5 et N6 que l’on remplace par une boule jaune J3.
On prélève R1 et J3 que l’on remplace par la boule noire N1.
On a finalement éliminé les 4 boules noires N2, N3, N4, N5 et on n’a pas modifié les autres boules.
Comme 2010≡2(4), de la situation initiale, on peut donc aboutir à une situation où il ne reste que deux boules noires dans l’urne. On les prélève et on les remplace par une boule jaune. Il ne reste donc qu’une boule dans l’urne et elle est jaune.
