LA NORMALISATION DES RELATIONS

LA NORMALISATION DES RELATIONS

Idée: Comment choisir une structure logique de données.

Quelles Relations avec quels Attributs?

I. Exemple Introductif

Soit la relation concernant des dons de bienfaiteurs pour une association.

DONS

NOM VILLE RUE MONTAN

T

DATE Ali

Ali Ali Karim

Tanger Tanger Tanger Casa

Du Detroit Du Detroit Du Detroit Du Port

4000 DH 5000 DH 5000 DH 10000 DH

Janvier 2006 Juin 2004 Janvier 2003 Janvier 2001

• On note une redondance : 3 premiers tuples même adresse.

• Supposer Ali change d'adresse (VILLE = Marrakech, RUE = Atlas). Risque de ne pas corriger toutes les lignes concernées. D'où BD incohérente

• Suppression donations antérieures à 2003. Alors perte des références d'un excellent bienfaiteur ( Karim)

Problème : dit : «Anomalies de Mise à Jour»

Cause : Les Redondances d'informations sont sources d'Incohérences

Solution : On aimerait la structure suivante:

PERSONNE

NOM VILLE RUE Ali

Karim

Marrakech Casa

Atlas Du Port

DONS

NOM MONTANT DATE Ali

Ali Ali Karim

4000 DH 5000 DH 5000 DH 10000 DH

Janvier 2006 Juin 2004 Janvier 2003

• L'adresse de Ali figure une seule fois.

• On a séparé des informations distinctes (sur la personne, sur les dons).

Définition : Le processus de Normalisation est celui qui permet, par étapes, d'aboutir à des relations ayant des propriétés de plus en plus désirables.

1FN → 2FN → 3FN → 4FN → 5FN

FN=Forme Normale.

• 5 formes normales possibles.

• De plus en plus désirables.

Toute relation en n

Forme Normale est aussi en ( n- 1 )

Forme Normale.

NORMALISATION

⇒

• Programmation plus facile des applications

• Relations plus simples à gérer

1

F

N

Définition : Une relation est en Première Forme Normale (1FN) si et seulement si elle ne contient que des valeurs simples et élémentaires (non structurées ni répétitives).

Relations Normalisées Non en 1FN

PERE ENFANT Aziz

Amine

{Ali, Samia, Sara}

{Brahim}

PERE ENFANT Aziz

Aziz Aziz Amine

Ali Samia Sara Brahim En 1FN

Non 1FN

NOM ADRESSE

Ali < 2, Rue Mali, Casa >

NOM NO RUE VILLE Ali 2 Mali Casa

En 1FN

Exercice : Normaliser la relation

COMMANDE

NUMCOMMANDE PRODUITS C1

C2

{Table 20DH, Chaise 14DH, Micro 120DH}

{Micro 120DH, Souris 15DH}

Solution :

NUMCOMMANDE PRODUIT PRIX C1

C1 C1 C2 C2

Table Chaise Micro Micro Souris

20DH 14DH 120DH 120DH 15DH

2e

3e F

N

Soit la relation :

FOUR1

NOM_FOUR CAT_FOUR VILLE NB_HAB PIECE QTE_EXP Ali

Ali Ali Karim Karim Amine

40 40 40 55 55 45

Rabat Rabat Rabat Casa Casa Fes

2 2 2 3 3 1,5

Table Chaise Armoire Table Chaise Chaise

300 400 500 400 300 200

Quelques anomalies :

• Redondances.

• Difficulté maintenance intégrité.

• Mémoriser adresse fournisseur impossible si pas de pièce fournie. e.g.

<Aziz, 40, Rabat, 2>

• Suppression de toutes les pièces fournies par Karim fait perdre aussi son adresse.

Il faudrait séparer dans deux tables distinctes les informations concernant un fournisseur (propriétés immédiates) et celles concernant les pièces fournies.

On décompose donc

EXPEDITION

NOM_FOUR PIECE QTE Ali

Ali Ali Karim Karim Amine

Table Chaise Armoire Table Chaise Chaise

300 400 500 400 300 200

FOUR2

NOM_FOUR CAT_FOUR VILLE NB_HAB Ali

Karim Amine Aziz

40 55 45 40

Rabat Casa Fes Rabat

2 3 1,5 2

On dit qu'on est passé à la 2e Forme Normale

• Dans la relation FOUR1, des attributs non clé (e.g. VILLE), d'une partie de la clé (NOM_FOUR).

• Les anomalies précédentes ont ainsi été éliminées, renforçant l'intégrité de la base.

(on a pu insérer aziz... par exemple).

En fait, les redondances ont juste été minimisées. Car la relation FOUR2 souffre encore de quelques anomalies.

(Exercice: Lesquelles? Considérer toujours le tuple supplémentaire

<Aziz, ..., Rabat, 2> )

• On décompose encore la relation FOUR2 FOUR3

NOM_FOUR CAT_FOUR VILLE Ali

Karim Amine Aziz

40 55 45 40

Rabat Casa Fes Rabat

METROPOLE VILLE NB_HAB Rabat

Casa Fes

2 3 1,5

On dit qu'on est passé à la 3e Forme Normale

• Dans la relation FOUR2, des attributs non clé (e.g. NB_HAB), d'un autre attribut non clé ( ici VILLE) .

• Il n'y a plus de redondances

RÉSULTAT FINAL

FOUR3

NOM_FOUR CAT_FOUR VILLE Ali

Karim Amine Aziz

40 55 45 40

Rabat Casa Fes Rabat

METROPOLE

VILLE NB_HAB Rabat

Casa Fes

2 3 1,5

EXPEDITION

NOM_FOUR PIECE QTE Ali

Ali Ali Karim Karim Amine

Table Chaise Armoire Table Chaise Chaise

300 400 500 400 300 200

II. Généralisation et Définitions:

Définition : Dans une relation, un attribut B est dit fonctionnellement dépendant d'un attribut A, ssi:

Deux tuples qui ont une même valeur pour A doivent avoir une même valeur pour B.

• On dit que

A détermine B,

• et qu'il y a une

Dépendance fonctionnelle entre A et B.

• et on note : A → B

Exemple :

A … B … a

b a c b

1 2 1 1 2 A → B

A … B … a

b a c b

1 2 3 1 2 A ⎯/→ B

Extension : On étend la définition à une collection d’attributs.

A B C D … a

b a c b

a c b d c

1 2 1 1 2

2 4 5 4 4

A, B → C, D Notée aussi : AB → CD S’il n’y a pas d’ambiguïté.

Exemples de DFs :

NOM_FOUR → CAT_FOUR NOM_FOUR → VILLE

en notation plus concise: NOM_FOUR → CAT_FOUR,VILLE VILLE → NB_HAB

NOM_FOUR, PIECE → QTE

Lire : NOM_FOUR détermine CAT_FOUR

Comprendre : Pour un fournisseur donné, la catégorie est unique, ou bien un fournisseur n'a qu'une seule catégorie, etc…

Propriétés des DFs:

...X, Y, Z représentent des attributs (éventuellement composés).

(a) X → W pour tout W ⊂ X (réflexivité) (b) si X → Y alors X → YZ (décomposition)

et X → Z

(c) si X → Y alors X → Z (transitivité) et Y → Z

(d) si X → Y alors XZ → YZ (augmentation) (e) si X → Y alors XZ → W

et YZ → W (pseudo-transitivité)

Remarques : (d) et (e) découlent de (a), (b) et (c).

L'inverse de (b) est vrai, (d'où la notation concise)

(Exercice : le montrer) Montrer aussi que

(f) si X → Z alors XY → Z et Y → Z

et que l'inverse est faux

_____________________________

Proposition : Dans une relation, une clé détermine fonctionnellement tout autre attribut.

____________________________________

Dans FOUR1 on a :

NOM_FOUR , PIECE

→

Définition : Une relation est en 2FN ssi:

i) Elle est en 1FN

ii) Tout attribut non clé, dépend fonctionnellement de la totalité de la clé.

•

non clé

• Une DF X → Y est dite totale s'il n'existe pas W

tel que: W ⊂ X

et W → Y.

Aucune partie de X ne détermine Y.

(e.g. si A B → C, ni A ni B, ne détermine C)

Ainsi

•

EXPEDITION et FOUR2 sont en 2FN

• FOUR1 n'était pas en 2FN, car d'après la proposition précédente, nous avons:

NOM_FOUR , PIECE → QTE , VILLE , CAT_FOUR , NB_HAB Or

VILLE (ainsi que CAT_FOUR et NB_HAB), ne dépendent que de NOM_FOUR, partie de la clé.

NOM_FOUR → VILLE , CAT_FOUR , NB_HAB

• On peut noter qu'une relation en 1FN est aussi en 2FN si sa clé n'est pas composée.

Une relation en 1FN qui n'est pas en 2FN peut toujours être réduite à (décomposée en) une collection équivalente de relations en 2FN.

Le processus consiste à remplacer la 1ère relation par les projections appropriées.

La relation initiale pouvant être retrouvée par jointures de ces projections.

• Collection équivalente signifie même contenu informatif (on ne perd pas au change).

• Formellement, cela veut dire que la jointure des projections est sans perte d'informations

(Voir plus loin).

(Exercice : vérifier ce résultat sur l'exemple)

Définition : Une relation est en 3FN ssi:

i) Elle est en 2FN

ii) Les attributs non clé, sont mutuellement indépendants (ou ne dépendent pas transitivement de la clé

).

Ainsi

•

FOUR3 et METROPOLE sont en 3FN

• FOUR2 n'était pas en 3FN, car on y a:

VILLE → NB_HAB

Deux attributs non clé ne sont pas mutuellement indépendants.

(*) ou bien, la DF

NOM_FOUR → NB_HAB (due à la clé) est aussi transitive, puisque :

NOM_FOUR → VILLE (due aussi à la clé) et que

VILLE → NB_HAB (donnée)

• Comme précédemment, on peut noter qu'une relation en 2FN qui n'a qu'un seul attribut non clé est aussi en 3FN. C'est le cas de la relation EXPEDITION.

Les mêmes remarques que précédemment s'appliquent :

Le processus de passage d'une relation 2FN vers des relations 3FN est réversible. Aucune information n'est perdue.

• Une relation en 2FN qui n'est pas ne 3FN peut toujours être décomposée (par projections) en une collection équivalente de relations en 3FN.

• Cependant, la 3FN rend certaines informations plus explicites, e.g. le nombres d'habitants d'une ville pour la relation METROPOLE.

Bonnes et Mauvaises Décompositions

Définition Une relation R(X, Y, Z) est dite décomposable en deux : R1 = R [X, Y] et

R2 = R [Y, Z]

si on a:

R = R

* R

(i.e. R est la jointure naturelle de R₁ et R₂)

• C'est cela une décomposition équivalente: On remplace R par R₁ et R₂

• Aucune information n'est perdue: On peut retrouver R par jointure (naturelle) de R₁ et R₂

Exemple:

R

NOM NO_TEL ADRESSE Ali

Sara

10 01 00 30 03 00

Casa Casa

R1

NOM ADRESSE Ali

Sara

Casa Casa

R2

NO_TEL ADRESSE 10 01 00

30 03 00

Casa Casa

R1 * R2

NOM NO_CARTE ADRESSE Ali

Sara Ali Sara

10 01 00 10 01 00 30 03 00 30 03 30

Casa Casa ✗ Casa ✗ Casa

✗ Superflus.

Ici, R1 et R2 sont une décomposition avec perte d'information. On ne peut reconstituer la relation initiale.

Proposition Soit R (X, Y, Z)

Pour que R soit décomposable en R₁ (X, Y) et R₂ (Y, Z), il suffit que dans R, on ait

Y → X ou Y → Z

i.e. Si

Y

X

R = R

* R

Y

Z

Il suffit que l'attribut commun soit clé dans l'une des relations (ou les deux).

Exemple (décomposition sans Perte) :

On a NOM → ADRESSE

R

NOM NO_TEL ADRESSE Ali

Sara Sara

10 01 00 30 03 00 20 02 00

Casa Casa Casa R1

NOM ADRESSE Ali

Sara

Casa Casa

R2

NOM NO_TEL Ali

Sara Sara

10 01 00 30 03 00 20 02 00

(Exercice : Montrer que l'inverse du théorème n'est pas toujours vrai.)

Le passage de la 1FN vers la 2FN ainsi que le passage de la 2FN vers la 3FN

sont des décompositions sans perte .

1FN ➨ ^2FN

•

R (A, B, C, D)

➥ ^R

( A, B, D) R

( B, C)

2FN ➨ ^3FN

•

R (A, B, C)

➥ ^R

( A, B) R

( B, C)

R = R1 * R2

Remarque : Les dépendances aussi sont sauvegardées.

Cas particuliers : Relations en 3FN avec problèmes EMP

ETUDIANT MATIERE PROF Ali

Ali Rim Rim

Math Physique Math Physique

White Green White Brown

3FN

EM → P P → M

Supprimer l'information que Rim apprend Physique, fait perdre le fait que

«Brown enseigne Physique»..

EP

ETUDIANT PROF Ali

Ali Rim Rim

White Green White Brown

PM

PROF MATIERE White

Green Brown

Math Physique Physique Ces deux relations sont en FNBC, une forme améliorée de la 3FN.

Définition : Forme normale de BOYCE-CODD

Une relation R est en FNBC ssi :

A chaque fois que X

Y dans R, X est (ou contient) une clé.

i.e. Les seules DFs qu'une relation contient, sont dues à une clé (candidate)

Remarques :

• On utilise en générale cette définition pour la 3FN, et on considère que c'est la bonne structure pour une base de donnée. (3FN est en générale FNBC sauf cas particuliers)

• Remarque que

EPM = EP * PM

• La DF EM → P n'est cependant pas sauvegardée, et par conséquent on ne peut mettre à jour une relation indépendamment de l'autre. Considérer l'insertion de <rim, Green> dans EP. La DF EM → P est contredite.

• Si clé non composée, 3FN = BCFN.

Le pb est dû à : attribut-non-clé → attribut-partie-de-clé (Ne pas confondre avec 2FN)

III. 4e et 5e Forme Normale

PSL

PERSONNE SPECIALITE LANGUE Ali

Ali Ali Ali Ali Ali

Cinéma Cinéma Cinéma Peinture Peinture Peinture

Français Anglais Arabe Français Anglais Arabe

3FN

Problèmes :

• Adjonction nouvelle spécialité (ou langue) pour Ali

Quel(s) tuple(s)s insérer?

• Problème inverse pour la suppression.

• Croissance multiplicative

• Redondances

Solution:

PS

PERSONNE SPECIALITE Ali

Ali

Cinéma Peinture

PL

PERSONNE LANGUE Ali

Ali Ali

Français Anglais Arabe

• Problèmes précédents résolus.

Pas de redondance. Croissance additive.

On dit qu'on est passé à la 4e Forme Normale (4FN)

Dépendances Multivaluées (DMV) et 4FN

Définition : Soit R (X, Y, Z) un schéma de relation.

On dit qu'il y a une dépendance Multivaluée entre X et Y (notée X −>> ^Y) ssi :

quand les tuples <x, y, z> et <x, y', z'> apparaissent dans R, alors les tuples

<x, y, z'> et <x, y', z> aussi.

Autrement dit, pour une valeur donnée x de X, les valeurs de Y associées sont indépendantes de celles de Z. x est associée d'une part à y et y' et d'autre part à z et z', et toutes les combinaisons sont possibles.

X et Y jouant un rôle symétrique, si on a X −>> Y alors on a aussi

X

Z.

On note

X −>> ^{Y | Z}

Dans PSL on a : PERSONNE −>> SPECIALITE et aussi PERSONNE −>> LANGUE

i.e.

PERSONNE −>> SPECIALITE | LANGUE

Cette DMV exprime que la relation entre une personne et la langue parlée est n'a rien à voir avec sa spécialité.

Si

<Ali, Cinéma, Arabe> et <Ali, Peinture, Anglais>

sont vrais, alors

<Ali, Peinture, Arabe> et <Ali, Cinéma, Anglais>

sont vrais aussi.

________________________________________

Remarque Importante

____________________________________________

Une DF est un cas particulier d'une DMV.

Démonstration : X → Y veut dire que dans la définition précédente, y et y' sont égaux. C'est dire que : (y' étant remplacé par y)

quand les tuples <x, y, z> et <x, y, z'> apparaissent dans R, alors les tuples <x, y, z'> et <x, y, z> aussi.

Ce qui est la même chose.

Définition : Une relation R est en 4FN ssi:

Toute Dépendance Multivaluée de R est la conséquence d'une clé (candidate).

Chaque fois qu'on a X −>>Y dans R, X est (ou contient) une clé.

i.e. les DMVs que R contient sont en réalité des DFs. (Voir remarque précédente).

En l'occurrence, les DFs que la clé détermine tout autre attribut.

Exemple : PL et PS sont en 4FN.

PSL n'est pas en 4FN.

PL et PS sont des projections de PSL.

C'est une décomposition sans perte, car on a le résultat suivant :

Proposition : Une relation R (X, Y, Z) est décomposable en R₁ (X, Y) et R₂ (X, Z),

ssi:

X −>> Y | Z

Noter le si et seulement si :

R = R₁ * R₂ ⇒ X −>> Y | Z et R = R₁ * R₂ ⇐ X −>> Y | Z

Dans notre cas on a:

PERSONNE −>> SPECIALITE | LANGUE donc (et inversement),

PSL = PS * PL

Autrement dit, une relation 3FN qui n'est pas 4FN peut toujours être remplacée par des relations 4FN.

Dépendances Jointures et 5FN

ACP

AGENT COMPAGNIE PRODUIT Ali

Ali Rim Ali

Ford Ford Ford Toyota

Voiture Camion Voiture Voiture

4FN

Un agent représente une compagnie pour vendre des produits.

Soit la contrainte supplémentaire :

« Si un agent vend un produit, et s'il représente une compagnie faisant ce produit, alors il vend ce produit pour cette compagnie. »

Ce n'est pas le cas de Ali par exemple sans la ligne 1.

Problèmes :

• Redondances.

• Si on n'avait que la 2e et la 3e ligne, le fait de rajouter la ligne 4 oblige, d'après la contrainte, de rajouter la ligne 1.

• La suppression de la ligne 1, oblige à supprimer une autre ligne pour maintenir la contrainte. (Laquelle?)

• Croissance multiplicative.

etc…

ACP est en 4FN mais non en 5FN.

Solution :

AC

AGENT COMPAGNIE Ali

Rim Ali

Ford Ford Toyota

AP

AGENT PRODUIT Ali

Ali Rim

Voiture Camion Voiture

CP

COMPAGNIE PRODUIT Ford

Ford Toyota

Voiture Camion Voiture

En 3 relations !

On dit qu'on est passé à la 5e Forme Normale (5FN)

La contrainte précédente signifie :

si < a, c > figure dans AC (a travaille pour c) et < a, p > figure dans AP (a vend p)

et < c, p > figure dans CP (c fabrique p) alors < a, c, p > figure dans ACP

(a travaille pour c pour vendre p)

Autrement dit :

ACP = AC * AP * CP

On dit que ACP contient une

dépendance jointure

Exercice : Montrer que ACP n'est égale à aucune jointure de deux projections quelconques parmi AC, AP, CP

De façon générale :

Définition: Une relation R (X1

, X

, ..., X

) satisfait la Dépendance

R

* R

* ... * R

ssi

R = R

* R

* ... * R

où R

est la projection de R sur les attributs X

,

dans [

Autrement dit :

R est décomposable en R

, R

, ... , R

Exemple :

ACP = AC * AP * CP

_________________________________

Remarque Importante

Si ∀ i dans [1..n] X → Ai

{X est clé dans R}

Alors R = R [X, A₁] * R [X, A₂] * ... * R [X, A_n] _____________________________________________________

Résultat immédiat

Définition : Une relation R est en 5FN ssi:

Toute Dépendance Jointure de R est la conséquence d'une clé (candidate).

Exemple :

AC, AP, CP sont en 5FN

(Absence de DJ)

ACP n'est pas 5FN

(ACP = AC*AP*CP)

Résultat :

Une relation 4FN qui n'est pas 5FN peut toujours être remplacée par des relations 5FN. Remplacement sans perte (pourquoi?)

RECAPITULATIF

Processus de Normalisation :

Réduire par décompositions une relation R à d'autres relations, équivalentes à R et ayant de meilleures propriétés.

En bref : (meilleures propriétés)

Toute sorte de contrainte structurelle (ou dépendance) figurant dans R, doit être la conséquence de la clé.

(D'où l'importance des clés!)

Dans un schéma de BD, seules les clés traduisent les dépendances entre données.

• Pour la 3FN Il s'agit des DFs

• Pour la 4FN Il s'agit des DMVs

• Pour la 5FN Il s'agit des DJs

Le processus est :

1. Projeter 1FN : « éliminer DFs non totales/clé » pour avoir 2FN

2. Projeter 2FN : « éliminer DFs non directe/clé » pour avoir 3FN

2'. Projeter 3FN : « éliminer DFs où le déterminant ne contient pas une clé »

pour avoir FNBC

3. Projeter 3FN : « éliminer DMVs qui ne sont pas des DFs (i.e. conséquences d'une clé) » pour avoir 4FN

4. Projeter 4FN: « éliminer DJs qui ne sont pas conséquences d'une clé »

pour avoir 5FN