Texte intégral
L’équation du 5e degré x5+x4+ 1 = 0 est résoluble par radicaux. Sauriez- vous le montrer de façon simple ?
Solution
Le premier membre s’écrit x3(x2+x+ 1)−(x3−1), d’où la factorisation x5+x4+ 1 = (x2+x+ 1)(x3−x+ 1), qui permet d’obtenir les racines avec des radicaux :
x1, x2= (−1±i√ 3)/2,
x3 =−q3 1/2 +p23/108−q3 1/2−p23/108 (seule racine réelle), x4, x5= (−x3±iq3x23−4 )/2.
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