Extensions séparables

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I. El Hage www.les-mathematiques.net 1

Extensions séparables

1 Degré de Galois d’une extension

Toutes les extensions considérées dans ce chapitre seront finies. Soit E une exten-sion de K, N et N deux clôtures normales de E, I l’ensemble des K-isomorphismes de

E dans N et I celui des K-isomorphismes de E dans N .

Théorème Card

I Card

I.

Démonstration N et N sont deux clôtures normales de E. Il existe un K-isomorphisme

σde N sur N . Soitϕ; I I l’application définie parϕ

u σ u. Il est facile de prou-ver que l’applicationϕest bijective. Donc Card

I Card

I.

Définition On appelle degré galoisien d’une extension E de K, le cardinal de l’ensemble des K-isomorphismes de E dans une clôture normale de E.

La définition du degré galoisien ne dépend pas du choix de la clôture normale de E d’après le théorème précédent. Le degré galoisien de l’extension E de K sera noté

E : K.

Exemple

: 2.

Théorème Soit L une extension normale de K contenant une clôture normale de

E. Le degré galoisien

E : K est égal au cardinal de l’ensemble des K-isomorphismes de E dans L.

Démonstration Soit J l’ensemble des K-isomorphismes de E dans L. Nous avons

I J. Réciproquement, tout σ J peut être prolongé en un

K-automorphismeσ de L, car L est une extension normale de K. La restriction de

σà N est un K-automorphisme de N car N est une extension normale de K. Nous avons

σ

E σ

N N. Il en résulte que,σest, en réalité, un K-isomorphisme de

E dans N c.à.d.σ I. D’où I J.

Théorème Soit E une extension de K . Siσest un isomorphisme de E sur E tel que sa restrictionσà K est un isomorphisme de K sur K , alors

E : K

E : K.

Démonstration Soit N une clôture normale de E et N une clôture normale de

E . L’isomorphismeσpeut être prolongé en un isomorphismeσ de N sur N . L’ap-plicationϕqui associe à chaque K-isomorphisme u de E dans N, le K -isomorphisme

u σ u σ

1_{de E dans N est bijective. Il en résulte}

E : K

E : K.

Théorème Si nous avons K L E, alors

E : K E : L L : K.

(2)

de L dans N, on note Jσ l’ensemble de tous les K-isomorphismes de E dans N qui prolongentσ. Siσ Jσ, alorsσ

E est un corps intermédiaire entreσ

L et N. Soit

Iσl’ensemble des tous lesσ

L-isomorphismes deσ

E dans N. Nous allons prouver que Iσet Jσont le même cardinal. Considérons l’application f ; Iσ Jσdéfinie par

f

u u σ. Il est facile de voir que f est injective. Elle est aussi surjective; car si

u Jσ, u peut s’écrire sous la forme u f u σ

1

, carσpeut être regardé comme un isomorphisme de E surσ

E. Or, nous avons Card

Iσ σ E :σ L et, d’après le théorème précédent, σ E :σ L E : L. D’où Card Iσ E : L. Pour terminer la démonstration, remarquons que

Jσ est une partition de l’ensemble J des tous les

K-isomorphismes de E dans N. Ainsi, nous avons

E : K Card J

∑

σ Card J_σ

∑

σ Card I_σ

∑

σ E : L E : L L : K Théorème Si E K a, alors

E : K est le nombre des racines distinctes de

Irr

aK.

Démonstration Soit N une clôture normale de E, I l’ensemble des tous les K-isomorphismes de E dans N et A l’ensemble des racines distinctes de Irr

aK dans N. L’application de I dans A qui associeσàσ

a est bijective. D’où

E : K! Card I Card A. Corollaire Si E K a, alors E : K" E : K.

Théorème Si E est une extension finie de K, alors

E : K"

E : K.

Démonstration Comme E est une extension finie de K, elle s’écrit

E K a1 $#%#$#$ an. Si Ki K a1 $#%#$#$ ai, alors Ki Ki 1

ai. Démontrons par récurrence sur i que

Ki: K"

Ki: K. Pour i 1, la propriété est vraie car nous avons

K1: K! K a1 : K" K a1 : K! K1: K

Supposons le propriété vraie pour i et démontrons-la pour i& 1. Nous avons

Ki' 1: K Ki' 1: Ki Ki: K" Ki' 1: Ki Ki: K Ki' 1: K

Par récurrence, nous obtenons

E : K! Kn: K" Kn: K! E : K

(3)

2 Extensions Séparables

Soit E une extension of K.

Définition L’extension E de K sera dite séparable si, et seulement si,

E : K E : K. Exemple

est une extension séparable de .

Définition Un élément a d’une extension E de K sera dit séparable sur K si, et seulement si, toutes les racines de Irr

aK sont simples.

Exemple i est séparable sur .( 2 séparable sur) . Théorème Une extension simple E K

a est séparable si, et seulement si, a est séparable sur K. Démonstration Soit E : K! n deg Irr ak*. Nous avons

E est séparable sur K!+-,/.

E : K E : K$0 +-, Irr

aK possède n racines distinctes

+-,

toute racine de Irr

aK est simple

+-,

a est séparable sur K

Théorème Une extension finie E de K est séparable si, et seulement si, tout élé-ment a de E est séparable sur K.

Démonstration Si E est séparable sur K, Alors nous avons

E : K a1 K a : K E : K E : K E : K a2 K a : K Or E : K a1" E : K a2 et K a : K" K a : K D’où E : K a1 E : K a2 et K a : K K a : K et a est séparable sur K. Réciproquement, E s’écrit E K

a1 $#$#%#$ an car elle est une extension finie de K. Posons Ki K

a1 $#%#$#% ai . Nous avons Ki Ki 1 ai, Irr aiKi 1 divise Irr

aiK et aiest séparable sur K. Il en résulte que aiest séparable sur Ki

1et Ki: Ki 1 Ki: Ki 1 pour i 12 %#$#%#$ n. Il en résulte E : K i3 n

∏

i3 1 Ki: Ki 1 E : K

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ce qui prouve que E est séparable sur K.

Théorème de l’élément primitif. Toute extension séparable finie E de K est simple. Démonstration Il suffit de prouver que l’ensemble des corps intermédiaires entre

K et E est fini. Soit4 cet ensemble et I l’ensemble des tous les K-isomorphismes de

E dans une clôture normale N. Soit h :45 P

I l’application qui associe à L64 le sous-ensemble de I défini par

7

σ I 8 σ

a a pour tout a L9#

Cette application est injective; car si L: L , et si a L L , alors a est séparable sur

K, ce qui prouve que a est séparable sur L . D’où

L a : L!<;L a : L >=@? 1# Ce qui précède montre qu’il existe un L -isomorphisme σ de L

a dans N tel que

σ

aA: a. Or σ peut être prolongé en un K-automorphismeσ de N car N est une clôture normale. La restrictionσB deσà E est un K-isomorphisme de E dans N qui vérifieσB a σ a σ aC: a. Il en résulte σB h L etσB 8 h L qui prouve h LD: h

L . Pour finir la démonstration, notons que l’ensemble P

I des parties de I est fini car I est fini.