LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES COURS CORRIGE
OBJECTIFS : Savoir résoudre une équation différentielle du premier ordre.
Savoir résoudre une équation différentielle du deuxième ordre.
ACTIVITE.
La tension aux bornes d'un montage redresseur – condensateur – charge en parallèle en fonction du temps est donnée par u'(t) + 50u(t) = 0
On veut trouver l'expression de la tension correspondante.
1) On pose u(t) = e-50t. Calculer u'(t).
2) En déduire u'(t) + 50u(t). Qu'en concluez-vous ?
3) A t = 0 s, u = 6 V. Déterminer la solution exacte de l'équation différentielle.
I) EQUATION DIFFERENTIELLE DU 1
erORDRE.
I.1) Définition.
Une équation différentielle du 1er ordre est une équation de la forme Ay' + By = C où y est une fonction et y' sa dérivée.
Résoudre cette équation revient à trouver l'ensemble des solutions qui la vérifient.
I.2) Résolution de l'équation y' – ay = 0
L'ensemble des solutions de cette équation est l'ensemble des fonctions y(x) = Keax avec K ∈ . Exemple : Résoudre l'équation y' – 3y = 0 y(x) = Ke3x
I.3) Résolution de l'équation Ay' + By = C Exemple : Résoudre l'équation 2y' + 6y = 8
a) Ecrire l'équation différentielle sous la forme y' – ay = b 2y' + 6y = 8 y' + 3y = 4 y' – (-3)y = 4
b) Donner la solution générale de l'équation y' – ay = 0 La solution générale est y = Ke-3x.
c) Chercher une solution particulière de l'équation différentielle en posant y = α donc y' = 0 donc -aα = b donc α = -b
a Soit y = -4
-3 = 4 3 d) La solution finale est la somme de la solution particulière et de la solution générale. La solution de l'équation est : y = Ke-3x + 4
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II) EQUATION DIFFERENTIELLE DU 2
eORDRE.
II.1) Définition.
Une équation différentielle du 2e ordre est une équation de la forme Ay'' + By' + Cy = D où y est une fonction, y' sa dérivée et y'' sa dérivée seconde.
Résoudre cette équation revient à trouver l'ensemble des solutions qui la vérifient.
II.2) Résolution de l'équation y'' + ay' + by = 0
En remplaçant y par Kerx dans l'équation, on s'aperçoit que cette équation différentielle devient : Kerx (r2 + ar + b) = 0
L'exponentielle étant toujours positif, il faut donc résoudre r2 + ar + b = 0 : cette équation s'appelle équation caractéristique de l'équation différentielle. C'est une équation du second degré.
A partir de là, faire en parallèle; rappel eq 2nd degré classique ax2 + bx + c = 0 et eq caractéristique.
On calcule le discriminant ∆ = b2 – 4ac soit ici a2 – 4b
LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES COURS CORRIGE
Si ∆ > 0, l'équation caractéristique a 2 solutions réelles x1 = -b + ∆
2a et x2 = -b – ∆ 2a soit ici r1 = -a + ∆
2 et r2 = -a - ∆ 2
l'ensemble des solutions de y'' + ay' + by = 0 est donné par y(x) = Aer1x + Ber2x où A et B sont des constantes arbitraires.
Si ∆ = 0, l'équation a 1 solution réelle double x0 = -b
2a soit ici r0 = -a 2
L'ensemble des solutions de y'' + ay' + by = 0 est donné par y(x) = (Ax + B)er0x où A et B sont des constantes arbitraires.
II.3) Exemples.
a) Résoudre y'' + 2y' – 3y = 0 y(x) = Aex + Be-3x b) Résoudre y'' – 10y' + 25y = 0 y(x) = (Ax + B)e5x
