A382. Achille est fort
Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n.
Un nombre d’Achille(1) est un entier puissant sans être une puissance parfaite.
Par exemple n = 72 = 2³.3² est un nombre d’Achille mais n = 216 = 2³.3³ ne l’est pas car 216 = 6³.
φ(n) étant la fonction indicatrice d'Euler de n, c’est à dire le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n et premiers avec n, un nombre d’Achille n est dit « fort » jusqu’au degré k si les entiers successifs φ(n), φ(2)(n)=φ(φ(n)),… …,φ(k)(n)=φ(φ(...φ(φ(n))...)) sont tous des nombres d’Achille.
Q1 Recenser les nombres d’Achille ≤ 2019.
Q2 Déterminer les nombres d’Achille forts au premier degré qui sont inférieurs ou égaux à 2019.
Q3 Déterminer les nombres d’Achille forts jusqu’au troisième degré qui sont inférieurs ou égaux à 107.
(1)Nota : Nom donné par Henry Bottomley. Comme le héros mythologique Achille, ces nombres sont puissants, mais pas parfaits.
Solution de Paul Voyer
Q1
AOIS http://oeis.org/A052486 répond à Q1
72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000
Q2
AOIS http://oeis.org/A194085 répond à Q2 500, 864, 1944, 2000
Q3
L'analyse porte sur les 260 premiers termes de Q2 (premier degré).
Une macro complémentaire EXCEL définissant la fonction Ind_Euler est disponible sur http://ww3.ac-poitiers.fr/math/prof/logic/table/bay1/index.htm.
(sinon il faut utiliser par exemple WolframAlpha pour chaque terme, c'est long et présente un risque d'erreurs)
Je trouve 31 nombres d'Achille forts jusqu'au troisième degré.
Annexe
Les 31 nombres d'Achille forts jusqu'au troisième degré
1 12 500 2 31 104 3 93 312 4 200 000 5 497 664 6 500 000 7 605 052 8 800 000 9 1 250 000 10 1 492 992 11 1 815 156 12 1 990 656 13 2 000 000 14 2 278 125 15 2 420 208 16 3 125 000 17 3 341 637 18 3 630 312 19 3 796 875 20 4 026 275 21 4 478 976 22 5 000 000 23 5 445 468 24 5 679 428 25 5 971 968 26 6 075 000 27 6 834 375 28 7 812 500 29 8 470 728 30 9 112 500 31 9 680 832
