D10154. Simson et Cie
Selon le th´eor`eme de Simson, –que l’on d´emontre ais´ement par la g´eom´etrie
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el´ementaire, de pr´ef´erence en utilisant le concept d’angle orient´e de droites non orient´ees– les projet´es orthogonaux d’un point du plan sur les cˆot´es d’un triangle abcsont align´es sur une droite (dite de Simson) si, et seule- ment si, ce point est sur le cercle circonscrit au triangle.
Pour ´etablir une g´en´eralisation (parmi d’autres) de ce th´eor`eme, il est commode de rep´erer tout point du plan par ses coordonn´ees isotropesz= x+iyet ¯z=x−iy, o`u (x, y) sont les coordonn´ees cart´esiennes par rapport
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a deux axes rectangulaires convenablement choisis.
3.1) Si les axes sont choisis comme l’indique la figure 1, o`u le point U est diam´etralement oppos´e `aO sur le cercle Ω de diam`etre pris pour unit´e de longueur :
a/ Quelle est, les coordonn´ees ´etant d´esormais les coordonn´ees isotropes, l’´equation de Ω ?
b/ Quelle est celle de la droite (ab) joignant les points aetbde Ω ? c/ A quelle condition les droites d’´equations z+λ¯z = µ et z+λ0z¯= µ0
sont-elles orthogonales ?
d/ Quelle est l’´equation de la perpendiculaire men´ee parO `a la droite (ab) et quelle est l’affixe du projet´e orthogonalr deO sur (ab) ?
3.2) Grˆace aux r´esultats pr´ec´edents, d´emontrer le th´eor`eme de Simson et 3.3) la premi`ere g´en´eralisation que voici (cf. figure 2) :
Si quatre pointsa, b, c, dsont pris de fa¸con quelconque sur un cercle, disons Ω, les quatre projet´es orthogonaux deOsur les quatre droites de Simson de O par rapport aux quatre trianglesbcd,acd,abd,abcsont align´es sur une 1
droite que nous appellerons droite de Simson d’ordre 2 de O par rapport aux quatre points a, b, c, d, droite que nous d´esignerons par ∆(a, b, c, d) –O ´etant sous-entendu–, les droites de Simson (du premier ordre) ´etant
∆(b, c, d), ∆(a, c, d), ∆(a, b, d), ∆(a, b, c).
3.4) Montrer que, si un point O etnautres pointsa1, a2, . . . , an du cercle Ω sont choisis de fa¸con quelconque, on peut d´efinir une droite de Simson d’ordre (n−2), sur laquelle s’alignent les projet´es orthogonaux de O sur les n droites de Simson d’ordre (n−3). Quelle est l’´equation de cette droite ?
Solution
3.1) a/ L’´equation cart´esienne de Ω ´etant x2+y2−x= 0, 2z¯z=z+ ¯z, soit 1
z+ 1
z¯ = 2 (1).
b/ L’´equation z ab + z¯
¯a¯b = 2 (2) est celle d’une droite ; celle-ci passe par le point a, car a
ab + ¯a
¯a¯b = 1 b + 1
¯b = 2, du fait que best sur Ω. Elle passe de mˆeme par le point b.
c/ Les ´equations cart´esiennes des deux droites de l’´enonc´e sont (1 +λ)x+ i(1−λ)y=µet (1 +λ0)x+i(1−λ0)y =µ0. Leur condition d’orthogonalit´e est (1 +λ)(1 +λ0) +i(1−λ)i(1−λ0) = 0, c’est `a direλ0 =−λ(3).
d/ Compte tenu de (3), la droite d’´equation z+λ¯z = 0, qui passe par O, est orthogonale `a la droite (ab) ssi λ=−ab
¯a¯b. Cette ´equation est donc z
ab − z¯
a¯¯b = 0 (4). L’affixe du projet´e orthogonalr de O sur (ab) v´erifie `a la fois les ´equations (2) et (4) ; c’est donc r=ab(5).
3.2) Les projet´es orthogonaux p de O sur (bc), q sur (ca), r sur (ab) ont pour affixes, d’apr`es (5),p=bc, q=ca, r=ab. Ils sont tous les trois sur la droite ∆(a, b, c) d’´equation z
abc+ z¯
a¯¯b¯c = 2 (6). En effet, substituons par exemplep`a zdans l’´equation (6) ; le premier membre devient 1
a+1
¯a = 2,
´egalit´e v´erifi´ee du fait que aest sur Ω.
Ainsi se trouve d´emontr´e le th´eor`eme de Simson, et la droite de Simson (du premier ordre) ∆(a, b, c) deOpar rapport `aa, b, ca pour ´equation (6).
3.3) Le projet´e orthogonal deOsur ∆(b, c, d) d’´equation z bcd+ z¯
¯b¯cd¯= 2 est aussi sur la perpendiculaire men´ee par O `a cette droite, perpendiculaire dont l’´equation, d’apr`es (3), est z
bcd − z¯
¯b¯cd¯ = 0. L’affixe de ce point est doncbcd.
Ce point est sur la droite ∆(a, b, c, d) d’´equation (sym´etrique) z
abcd + z¯
a¯¯b¯cd¯= 2 (7), puisque bcd abcd +
¯b¯cd¯
¯a¯b¯cd¯= 1 a+1
¯a = 2.
De mˆeme les projet´es orthogonaux deOsur ∆(a, c, d), ∆(a, b, d), ∆(a, b, c), sont sur cette droite ∆(a, b, c, d), droite de Simson du deuxi`eme ordre de O par rapport aux quatre autres points quelconques du cercle Ω.
3.4) Le lecteur ´etablira ais´ement l’existence et l’´equation (en coordonn´ees isotropes) de la droite
∆(O;a1, a2, . . . , an) de O par rapport auxn autres points du cercle Ω, droite de Simson d’ordre (n−2) d’´equation
z a1a2. . . an
+ z¯
a¯1a¯2. . .a¯n
= 2.
Il s’agit l`a d’un bel exemple de th´eor`eme r´ecurrent.
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