D10154. Simson et Cie
Selon le th´eor`eme de Simson, –que l’on d´emontre ais´ement par la g´eom´etrie
´
el´ementaire, de pr´ef´erence en utilisant le concept d’angle orient´e de droites non orient´ees– les projet´es orthogonaux d’un point du plan sur les cˆot´es d’un triangle abcsont align´es sur une droite (dite de Simson) si, et seule- ment si, ce point est sur le cercle circonscrit au triangle.
Pour ´etablir une g´en´eralisation (parmi d’autres) de ce th´eor`eme, il est commode de rep´erer tout point du plan par ses coordonn´ees isotropesz= x+iyet ¯z=x−iy, o`u (x, y) sont les coordonn´ees cart´esiennes par rapport
`
a deux axes rectangulaires convenablement choisis.
3.1) Si les axes sont choisis comme l’indique la figure 1, o`u le point U est diam´etralement oppos´e `aO sur le cercle Ω de diam`etre pris pour unit´e de longueur :
a/ Quelle est, les coordonn´ees ´etant d´esormais les coordonn´ees isotropes, l’´equation de Ω ?
b/ Quelle est celle de la droite (ab) joignant les points aetbde Ω ? c/ A quelle condition les droites d’´equations z+λ¯z = µ et z+λ0z¯= µ0
sont-elles orthogonales ?
d/ Quelle est l’´equation de la perpendiculaire men´ee parO `a la droite (ab) et quelle est l’affixe du projet´e orthogonalr deO sur (ab) ?
3.2) Grˆace aux r´esultats pr´ec´edents, d´emontrer le th´eor`eme de Simson et 3.3) la premi`ere g´en´eralisation que voici (cf. figure 2) :
Si quatre pointsa, b, c, dsont pris de fa¸con quelconque sur un cercle, disons Ω, les quatre projet´es orthogonaux deOsur les quatre droites de Simson de O par rapport aux quatre trianglesbcd,acd,abd,abcsont align´es sur une 1
droite que nous appellerons droite de Simson d’ordre 2 de O par rapport aux quatre points a, b, c, d, droite que nous d´esignerons par ∆(a, b, c, d) –O ´etant sous-entendu–, les droites de Simson (du premier ordre) ´etant
∆(b, c, d), ∆(a, c, d), ∆(a, b, d), ∆(a, b, c).
3.4) Montrer que, si un point O etnautres pointsa1, a2, . . . , an du cercle Ω sont choisis de fa¸con quelconque, on peut d´efinir une droite de Simson d’ordre (n−2), sur laquelle s’alignent les projet´es orthogonaux de O sur les n droites de Simson d’ordre (n−3). Quelle est l’´equation de cette droite ?
2
