D1881. A votre convenance
R=M N ∩AB
R est sur l’axe radical de Γ1 et Γ2, donc RA = RB, et par similitude M P =M Q.
Aest le milieu de l’arcCM deΓ1. B est le milieu de l’arcM DdeΓ2. DoncN AetN B sont les bissectrices int´erieures deCN M\ et deM N D.\ EAB\ =ACM\ = AN M\ et ABE\ =M DB\ = M N B\
BEA\ =π−EAB\ −ABE\ = π−(AN M\ +M N B) =\ π−AN B\
⇒ P4: A,E,B etN sont co-cycliques.
SoitF le sym´etrique deM par rapport `a la m´ediatrice deAB.
Les trianglesABF et ABM sont donc sym´etriques : CF A\ =BM D\ =BDM\ et BF D\ = CM A\ =ACM\
F Best parall`ele `aAC, etAF `aBD ⇒ AEBF est un parall´elogramme : Les trianglesCAF,F BD etAEB sont ´egaux.
⇒ P2: CD = 2AB
E et F sont sym´etriques par apport `a R, M et F le sont par rapport `a la m´ediatrice deAB, donc la m´ediatrice deP Q passe parE :
⇒ P1: EP =EQ
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CN A\ =AN M\ et ACN\ =RAN\
Les trianglesN CAetN ARsont semblables.
N Aest la m´ediane deN CE, tout commeN Rest celle deN AB, doncN CE et N AB sont semblables. On montre de mˆeme que N ED et N AB le sont aussi.
⇒ P5: les trianglesN CE etN EDsont semblables.
⇒ P3: EN est la bissectrice deCN D\
F est le milieu deCD, doncEF est la m´ediane issue de EdansCED.
BEN\ = BAN\ (dansΨ)=ACN\ (dansΓ1).
Pour compl´eter la preuve du point 6, on va montrer que le triangle EAF est semblable `aAN B :
EAR\ =ACM\ =AN M\
RAF\ =ABE\ =M DB\ =M N B\
AR, m´ediane issue de A, fait avec les cˆot´esAE et AF les mˆemes angles que N R, m´ediane issue deN avec les cˆot´esN Bet N A. CQFD.
DoncF EA\ = BAN\ =BEN\
⇒ P6: EN est la sym´ediane issue deE dansCED.
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