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Ces notes de cours ont été préparées à l'intention des étudiantes et des étudiants inscrits au cours PHQ111 du programme de B.E.S.. Les notions qui y seront présentées vous seront utiles pour la compréhension de la première expérience et des démonstrations qui touchent directement les circuits électriques en courant continu et en courant alternatif. De plus, ce sont les notions exposées ici qui seront à la base de la compréhension du principe de fonc- tionnement des multiples appareils de mesure que vous utiliserez lors des autres expériences.

1 Circuits et instruments à courant continu (CC)

1.1 La tension électrique

La tension électrique (ou aussi potentiel électrique) en un point d'un champ électrique correspond au travail à fournir pour transporter une charge positive unitaire depuis l'inni jusqu'à ce point (le potentiel électrique à l'inni étant par dénition égal à 0).

1.1.1 Diérence de potentiel vs tension

Si deux points d'un circuit électrique sont à des potentiels diérents, on dira qu'il existe une diérence de potentiel entre ces deux points. En circuit continu, les termes diérence de potentiel et tension sont équivalents. En régime alternatif, ces deux termes ne sont plus synonymes (à cause du phénomène d'induction électromagnétique) et on utilise uniquement le terme tension^{[1, 2]}. Notez que le terme voltage est un anglicisme.

1.1.2 La terre électrique

La terre électrique est un concept qui représente le sol en le considérant conducteur et, par dénition, au potentiel 0 volt. Cette dénition, plutôt commode, repose sur l'hypothèse que la terre est parfaitement conductrice et que son potentiel est le même partout. Évidemment, cela peut être faux de façon ponctuelle : pensons aux éclairs qui frappent le sol lors d'un orage. C'est donc une convention, mais, fondamentalement, il est dicile d'obtenir une meilleure référence pour zéro volt , simplement et économiquement. Le potentiel d'un conducteur de mise à la terre n'est pas nécessairement nul. Il est cependant susamment faible pour ne pas être dangereux pour les individus pouvant être en contact avec lui.

À priori, on pourrait penser que la terre n'est pas un conducteur mais, comme nous le verrons plus loin, la résistance R d'un conducteur est donnée par :

R= ρL

A (1)

oùρ est la résistivité du matériau, L la longueur et A sa section. Pour ce qui est de la terre, son immense section fait que sa résistance est faible même si sa résistivité varie entre 25 et 5000Ω·m.

1.2 La loi d'Ohm

La loi d'Ohm est une loi de la physique qui relie l'intensité du courant électrique traversant un dipôle électrique (composant électrique à deux bornes) à la tension à ses bornes. Elle permet de déterminer la valeur d'une résistance. Elle fut proposée par le physicien allemand Georg Simon Ohm en 1827, un peu après l'invention de la pile vers les années 1800.

Si on applique une diérence de potentiel électrique entre le point a et le point b, U = Ua−U_b (Ua> Ub), un écoulement de charge^dQ_dt, appelé courant électrique I, va se produire :

I = dQ

dt [coulomb/s=ampère] (2)

a + Ua

R

Q I b

b U E

Figure 1: Signe du courant conventionnel.

Le courant conventionnel (positif) est déni par la direction de l'écoulement de charge du potentiel élevé vers le potentiel plus faible : on parle ici de charges positives. Le courant réel (électrons) est dans la direction opposée à ce courant conventionnel. Historiquement, on croyait que c'était les charges positives qui se déplaçaient alors qu'en réalité ce sont les charges négatives qui sont très majoritairement responsables des courants électriques.

Pour trouver le sens du courant conventionnel, on place une charge positive à l'endroit où le potentiel est le plus élevé (point a). Cette charge va évidemment se déplacer en direction du point b. Le courant conventionnel est donc de gauche à droite dans ce cas.

Pour obtenir un courant constant dans un conducteur, on doit maintenir la diérence de potentiel à l'aide d'une force électromotrice (fem) ; celle-ci peut consister en une pile, un générateur ou une alimentation électronique à courant continu. La situation idéale est sché- matisée à la gure suivante :

I a

b

A

R V

+

+

-

-

ε

Figure 2: Circuit à courant constant.

La source de fem, (), maintient un courant I, mesuré par l'ampèremètre (A), passant du point a au point b ; la diérence de potentiel entre a et b est mesurée par le voltmètre (V).

Si on change la fem(), on établit un nouveau courant I et on observe que le rapport de la diérence de potentiel sur le courant est constant :

(Ua−U_b)2

I₂ = (Ua−U_b)1

I₁ =constante (3)

Cette constante est appelée résistance électrique entre les points a et b ; on établit ainsi la loi d'Ohm :

(Ua−U_b)

I = ∆U_ab

I =R (4)

R possède les unités [volt/ampère = ohm]. Comme mentionné précédemment (voir éq. [1]), la résistance d'un matériau dépend de sa géométrie : à température constance, on écrit R = ^ρL_A, où l est longueur (m), A la section du matériau (m²) et ρ la résistivité (ohm-m) qui est une valeur intrinsèque au matériau.

Métaux Semiconducteurs

(T = 300 K) Isolants

Argent : 1.47 x 10^-8Ω−m Silicium : 2400Ω−m Verre : 10¹⁰à 10¹⁴ Ω−m Cuivre : 1.72 x 10^-8 Ω−m Germanium : 0.5 Ω−m Mica : 10¹¹ à 10¹⁵ Ω−m

Aluminium : 2.63 x 10^-8 Ω−m Eau : 0.1 à 10⁵ Ω−m

Tableau 1: Tableau de la résistivité de quelques matériaux.

Les meilleurs conducteurs sont évidemment métalliques : ils contiennent des électrons libres.

Le meilleur conducteur est l'argent, suivi du cuivre, de l'or et de l'aluminium. On retrouve très peu de ls faits d'aluminium à cause du risque d'incendie relié à l'utilisation de ce type de l. En eet, si on plie un l d'aluminium à quelques reprises, ce dernier se casse. Le cuivre est de beaucoup plus résistant mais il est plus lourd que l'aluminium : on lui préfère donc l'aluminium dans certains cas particuliers.

Que fait la pile dans un circuit ?

Dans le circuit précédent, vous croyez peut-être que le réservoir d'électrons qui circulent dans le circuit est situé dans la source. Cela est faux ! La source ne fait que pousser sur les électrons qui sont dans la résistance. Oui bien sûr elle doit émettre un électron à la cathode lorsqu'elle en reçoit un à l'anode. D'où viennent donc les électrons qui circulent dans le circuit ? La réponse est la suivante : ils viennent du matériau (résistance) qui est branché aux bornes de la pile.

Pour un métal : Un métal est un énorme réservoir d'électrons libres. Si on lui applique une force électromotrice (pile), ces électrons contribueront tous à la conduction.

Pour un isolant : Si vous utilisez un isolant comme résistance, le courant sera presque nul car ce matériau ne contient presqu'aucun électron libre. Vous utilisez pourtant la même source de force électromotrice.

1.2.1 Vitesse thermique des électrons

La formule suivante issue de la théorie de la thermodynamique permet d'estimer la vitesse moyenne des électrons dans un l de cuivre :

1

2mv²= 3

2k_BT (énergie cinétique=énergie thermique) (5) où kB = 1.381×10²³JK⁻¹ est la constante de Boltzmann et T la température en Kelvin.

La thermodynamique nous dit qu'à chaque degré de liberté est associé une énergie de ¹₂k_BT.

Comme les particules sont libres de se mouvoir dans les trois directions de l'espace, alors il leur est associée une énergie de ³₂kBT. À la température de la pièce T = 300K on obtient une vitesse moyenne d'environ 100 000m/sec. Sans pile aux bornes d'un l, les électrons se promènent donc dans tous les sens à une vitesse extrêmement élevé due à leur très faible masse.

1.2.2 Vitesse de dérive des électrons

La vitesse de dérive est la vitesse moyenne de déplacement d'un électron dans le sens du courant. Si on pouvait voir à l'intérieur d'un conducteur soumis à une diérence de potentiel, on verrait des électrons qui s'agitent à une vitesse de100 000m/sec dans toutes les directions sous l'eet de la température ambiante, mais qui par contre, possèdent une faible vitesse moyenne dans le sens du courant.

Prenons l'exemple d'un l de cuivre ayant une section de 10mm², parcouru par un courant de 30A. Chaque atome de cuivre possède 1 électron libre d'où une densité de :

n= (6.02×10²³atomes/mole)(8.92×10³kg/m³)

63.5×10⁻³kg/mole = 8.46×10²⁸électrons/m³ dans notre l.

La densité de courant j (en A/m³) est donnée par :j =nev où : n = densité d'électrons

e = charge de l'électron

v = vitesse moyenne de l'électron

Dans notre cas, on a une densité de courant j = 30×10⁵A/m² . Cela nous permet de calculer la vitesse moyenne d'un électron. On obtient :

v≈0.22mm/sec

La vitesse moyenne du courant est donc extrêmement faible par rapport à la vitesse d'agi- tation thermique.

1.2.3 Vitesse de propagation d'un signal électrique

Dans un métal, la vitesse de propagation d'un signal électrique est voisine de la vitesse de la lumière soit environ300 000 000m/sec. Pour expliquer cela, regardons le schéma suivant :

signal

piston 1 piston 2

eau

Figure 3: Déplacement quasi-simultané de pistons.

Prenons le cas de deux pistons séparés par une colonne d'eau incompressible. Dès que vous poussez sur le piston 1, le piston 2 se déplace immédiatement dû au fait que l'eau est incompressible. Dans le cas des électrons, c'est le champ électrique qu'ils produisent qui se déplace à la vitesse de la lumière. Il faut cependant éviter de pousser l'analogie trop loin car elle n'est valide que pour les matériaux conducteur et non pour les isolants.

1.3 Puissance : eet Joule

Une diérence de potentiel suppose l'existence d'un champ électrique qui accélère les charges électriques : celles-ci perdent leur énergie par collisions inélastiques dans le matériau. Cette énergie dissipée produit une augmentation de température mesurable : de la puissance élec- trique est alors dissipée lorsqu'on force un courant dans un matériau résistif. Le travail fait sur la charge Q pour l'amener du point a au point b est W =U Q; la puissance fournie est donc donnée par :

P = dW

dt =UdQ

dt =U I (volt·amp.≡watt) (6) En utilisant la loi d'Ohm, on obtient :

P =U I =RI² = U²

R (7)

1.3.1 Application de tous les jours

En général, dans la vie de tous les jours, vous utilisez des sources de tension constante et non des sources de courant constant. Quand il s'agit de dissiper de la puissance, il est très important de faire la distinction entre ces deux types de sources.

Source à tension constante

Pour ce type de source, U est contant : la puissance dissipée est donc donnée par : P =

U²

R. Plus la résistance de l'appareil sera faible, plus il consommera d'énergie. Pour une alimentation de 240 volts, un calorifère dont la puissance est de 1500 watts possède une résistance de :

R= U²

P = (240)²

1500 = 38.4Ω

alors qu'un autre d'une puissance de 300 watts possède une résistance de : R= U²

P = (240)²

300 = 192Ω Source à courant constant

Pour ce type de source, c'estI qui est constant. L'équation [7] nous dit donc que : P =RI². On voit tout de suite que plus R est grand, plus la puissance dissipée sera grande. Ce type de source est plus rare mais on en retrouve dans certains dispositifs.

1.4 Variation de la résistance d'un métal avec la température Pour un métal, on a la relation suivante :

R(T) =R₀(1 +αT) (8)

où R(T) = valeur de la résistance à la température T (en ohms) R₀ = valeur de la résistance à 0^oC (en ohms)

α = coecient de température (en 1/^oC) T = température (^oC)

Métal Résistivité à 0^oC (nW-m) Coecient de température à 0^oC (1/^oC)

cuivre 15.9 0.00427

aluminium 26.0 0.00439

tungstène 49.6 0.0055

nichrome 1080 0.00011

Exemple d'une ampoule incandescente

Supposons une ampoule spéciée 120 watts. Comme ces ampoules sont vendues pour être alimentées avec une tension de 120 volts, on en déduit donc que la résistance de l'ampoule, une fois allumée, est de :

R_allum´ee= 120²volts²

120watts = 120Ω (9)

On mesure ensuite la résistance de son lament à 20 ^oC et on obtient 10 W. À l'aide de l'équation [8], déduire la température du lament lorsque l'ampoule est branchée sur une source de 120 V.

solution :

Calculons d'abord la résistance du lament à 0^oC :

10 = R0(1 + 0.0055×20) 10 = R₀(1.111)

d'où R₀ = 9Ω

Lorsque l'ampoule est allumée, la résistance du lament vaut : R = U/I = 120V/1A = 120 Ω

En reprenant l'équation [8], on trouve :

120 = 9(1 + 0.0055T) d'où T = 2242^oC

Wow ! La température du lament atteint plus de 2000 degrés et ce dernier ne brule pas. Non, parce que le lament est dans une ampoule sous vide : pas d'oxygène, pas de combustion.

La théorie de Planck du corps noir nous apprend qu'un corps chaué à cette température émet principalement de la lumière rouge-orangée.

1.5 Symboles utilisés pour les circuits

Avant d'entreprendre l'étude des circuits en courant continu, présentons d'abord les symboles utilisés :

R A

U V

+ +

-

-

ε

Pile Résistance

R

Résistance variable

Voltmètre Ampèremètre Source de

tension

Figure 4: Symboles utilisés pour les circuits en courant continu.

1.6 Circuit en série

I

I U

c a

3

d b

R 1

1 2 R

R

+ +

+ +

I₂ I₃

Figure 5: Circuit en série.

Les éléments du circuit étant en série, toute charge électrique passant de ab doit passer de bc et de cd ; le courant est donc le même partout,I₁ =I₂ =I₃. Comme la diérence de potentiel entre deux points doit être indépendante du chemin parcouru, on doit avoir :

U =U_ad=U_ab+U_bc+U_cd

On peut appliquer la loi d'Ohm à chaque résistance car le travail fait pour déplacer une charge entre deux points est additif.

U =R₁I₁+R₂I₂+R₃I₃

U = (R₁+R₂+R₃)I =T_totI (10) R_´eq=R_tot=R₁+R₂+R₃ =

3

X

i=1

R_i On obtient ainsi le circuit équivalent :

Réq

a

b U

Figure 6: Circuit équivalent d'un circuit en série.

1.7 Circuit en parallèle

I

U I

a

3

b

1 R

1

R R₂

I₂ I₃

Figure 7: Circuit en parallèle.

Puisque la diérence de potentiel entre les points a et b est indépendante du parcours choisi, on aU =Vab.

U_ab =U =R1I1=R2I2 =R3I3

Puisqu'on a conservation de la charge : I =I1+I2+I3

I = U R1

+ U R2

+ U R3

=U 1

R1

+ 1 R2

+ 1 R3

On a donc la relation suivante pour la résistance équivalente : 1

R_eq´ = 1 R₁ + 1

R₂ + 1

R₃ (11)

On obtient ainsi le circuit équivalent :

éq

a

b U R

Figure 8: Circuit équivalent d'un circuit en parallèle.

1.8 Diviseur de potentiel

On calcule de façon simple la tension aux bornes d'une résistance ou d'un nombre xe de résistances en série. Si U est la tension aux bornes du circuit de résistance, on pourra écrire que :

a b

U

R₁ R₂ R_x R_N

Figure 9: Circuit avec uniquement des résistances en série.

La résistance totale du circuit est Rtot =

N

P

i=1

Ri et le courant vaut I = _R^U

tot. En se servant de la loi d'Ohm (Ux =RxI), on trouve que :

Ux=U Rx

Rtot

(pour0≤x≤N) (12)

1.9 Diviseur de courant

R1

I1

IT

I2

R2

U

Figure 10: Circuit avec uniquement des résistances en série.

Le courant va se séparer au travers les deux résistances qui sont en parallèle : 1

Req

= 1 R1

+ 1 R2

R_eq= R1R2

R₁+R₂ La loi d'Ohm nous dit que :

U =I_T

R1R2

R₁+R₂

On trouve donc que : I1 = U

R1

=IT

R2

R1+R2 et I2= U R2

=IT

R1

R1+R2 (13) 1.10 Lois de Kirchho

De façon générale, on ne peut pas réduire tout circuit électrique en une combinaison série ou parallèle de résistances ; les lois de Kirchho permettent de fournir des méthodes élaborées.

Loi 1 :

En tout n÷ud du circuit, la somme des courants est nulle (conservation de la charge).

U =R₁I₁+R₂I₂+R₃I₃ U = (R1+R2+R3)I =TtotI Rtot=R1+R2+R3 =

3

P

i=1

Ri

(14)

a

1

b I

R R₂ R₃ U

Figure 11: La somme des courants aux n÷uds a et b.

Au point a, la somme des courants est nulle ; lorsqu'on arrive au n÷ud, il est positif et quand il s'en éloigne, il est négatif (convention).

I−I₁−I₂−I₃= 0 I a

I3²

I¹ I

Loi 2 :

La somme algébrique des diérences de potentiel à l'intérieur d'une boucle fermée est nulle (conservation de l'énergie).

P

i

Ui= 0

U−R1I1 = 0 U =R1I1 I₁ R1

I U

Pour obtenir une solution pour les courants et les tensions d'un circuit électrique quelconque, on utilise les deux lois de Kirchho : pour les n÷uds et les boucles fermées.

Exemple :

Trouver le courant dans chaque résistance du circuit suivant :

I1

8 V 2 V

I2

3 Ω 2 Ω 4 Ω

Figure 12: Exemple de la loi des boucles de Kirchho.

On obtient donc un système de deux équations à deux inconnues : boucle de gauche : 2−7I₁+ 4I₂=0 (1)

boucle de droite : 8 + 4I₁−6I₂= 0 (2)

On fait (3 x (1)) + (2 x (2)) ⇒22−13I₁ = 0 d'où : I₁ = 1.692A En remplaçant cette valeur dans (1) on trouve : I₂ = 2.461A

Donc :

I_3Ω= 1.692A I_2Ω= 2.461A I4Ω= 0.769A

Notez que le courant dans la résistance de 4 ohms est la diérence des courantsI₁ etI₂ car ces derniers sont de sens contraires. Pour vérier qu'il n'y a pas d'erreur de calcul, on peut remettre la valeur des courantI₁ etI₂ dans le système à deux équations et vérier chacune.

On peut reprendre le problème précédant en utilisant également la loi des n÷uds :

I1

8 V

2 V I2

I3

3 Ω 2 Ω 4 Ω

Cette fois, on décompose le courant I1 en deux courants I2 et I3 au niveau du n÷ud. On peut donc écrire que :

I1 =I2+I3 eq.(1)´

Pour la boucle de gauche, on a que la loi des mailles nous donne : 2−3I₁−4I₂= 0 eq.(2)´ Pour la boucle de droite, on a que la loi des mailles nous donne :

8−2I3+ 4I2= 0 eq.(3)´

En additionnant les deux dernières équations, on trouve : 10−3I1−2I3= 0 eq.(4)´

En remplaçant (1) dans (3), on trouve :

8 + 4I1−6I3= 0 eq.(5)´

On isole I₁ en faisant (3)×(4)−(5), ce qui donne :13I₁= 22 =⇒ I₁ = 1.692A

On porte maintenant la valeur deI1 dans (5) et on trouve que : I3 = 2.461A

Finalement, on porte les valeurs deI₁ etI₃ dans (1) et on obtient que : I₂ =−0.769A. Le courant I₂ est donc vers le haut à cause du signe négatif. Cette méthode donne les mêmes résultats mais elle est plus longue à appliquer, c'est pourquoi on lui préfèrera la Loi des mailles.

1.11 Le galvanomètre d'Arsonval

(Photographie tirée du livre : Electro-technique. T Wildi. Presses de L'Université Laval.

1978. P. 236)

Le galvanomètre consiste simplement en un cadre rectangulaire sur lequel sont enroulées des spires de l non-magnétique très minces (cf. gure) ; ce cadre est placé entre les pièces polaires d'un aimant permanent. Les deux extrémités du bobinage sont reliées à des ressorts en spirale montés sur pivot éliminant le frottement. Les extrémités libres des deux ressorts sont reliées aux bornes de l'appareil. Une aiguille xée au cadre se déplace sur une échelle graduée.

Figure 13: Galvanomètre d'Arsonval.

Lorsqu'on applique une diérence de potentiel, un courant circule dans l'enroulement du cadre qui est alors soumis à un couple de force électromagnétique qui le fait tourner d'un angle proportionnel à l'intensité du courant. Étant donné que le sens de rotation dépend du sens du courant dans la boucle du cadre mobile, il faut respecter la polarité aux bornes d'entrée sinon l'aiguille frappera une butée pour un courant de mauvais sens.

Un galvanomètre est conçu pour mesurer un courant maximum correspondant à une dé- exion maximale de l'aiguille sur le cadran. La sensibilité du galvanomètre correspond donc à cette intensité de courant Im qui donne la déviation maximale pleine échelle ; le galva- nomètre est aussi caractérisé par sa résistance interne R_m (due au nombre de spires du bobinage) : des valeurs typiques pour un appareil Simpson 260 ou 270 sont50µA et2000 Ω.

1.12 Ampèremètre

On peut construire un ampèremètre à l'aide d'un galvanomètre : si on veut mesurer un courant supérieur àI_m, on doit faire dévier une partie du courant dans une branche parallèle et recalibrer de façon appropriée.

Rsh

m

a b

R Ish

I + -

Figure 14: Construction d'un ampèremètre à l'aide d'un galvanomètre.

On veut fabriquer un ampèremètre avec une échelle allant de 0 à 1mA lorsque l'aiguille du galvanomètre subit une déexion maximale. Sachant que l'aiguille atteint sa déexion maximale pour I_m = 50µA, et que la résistance de la bobine du galvanomètre vautR_m = 2kΩ, quelle résistanceRsh doit-on utiliser ?

I = 10⁻³ =I_m+I_sh 10⁻³ = 50×10⁻⁶+I_sh

I_sh = 0.95×10⁻³ = 950µA Solution :

U_ab =RmIm=R_shI_sh Rsh =RmIm/Ish

Rsh = 2000Ω· 50×10⁻⁶A

950×10⁻⁶A = 105Ω

Pour une déexion maximale de 1mA, on obtient donc le circuit suivant :

105 Ω I

2000 Ω

+ -

Figure 15: Ampèremètre avec échelle de 1 mA.

Pour mesurer un courant, on ouvre le circuit électrique et on installe l'ampèremètre en série avec la bonne polarité : on utilise l'échelle de courant maximum lorsque l'ordre de grandeur

du courant est inconnu. L'ampèremètre idéal est celui qui a une résistance nulle de sorte que tout ampèremètre réel introduit toujours une erreur de mesure par rapport à la vraie valeur de courant en l'absence d'ampèremètre.

R1

U A

Figure 16: Branchement en série d'un ampèremètre.

1.13 Voltmètre

On peut aussi mesurer une diérence de potentiel à l'aide du galvanomètre ; on utilise alors le circuit suivant :

Rsh

I R^m

a

b U

Figure 17: Construction d'un voltmètre à partir d'un galvanomètre.

Soit U, la tension à mesurer entre les points a et b avec le galvanomètre de résistance interneR_m; on doit placer une résistance en série, R_sh, de façon à s'assurer que l'on ne dépasse pas le courant maximum du galvanomètre. Supposons qu'on veuille calibrer le gal- vanomètre (déexion maximale de l'aiguille) pour une tension U = 1volt sachant que les spécications du galvanomètre sont : I_m= 50µA etR_m= 2kΩ.

Pour1volt, on aura une déexion maximale pour un courant de50µA. La résistance interne de voltmètre est (R_sh+Rm) et elle dépend de la tension que l'on veut mesurer (il faut modier R_sh).

U = (R_sh+R_m)I I =I_m U = R_shI_m+R_mI_m

Rsh = (U −RmIm)/Im

R_sh = U/I_m−R_m

R_sh = _50×10¹ −6 −2000 = 18 000Ω On dénit le rapport :

(R_sh+R_m)

U =constante= 1 Im

=SN (15)

qui est l'inverse de la sensibilité en courant ou la sensibilité nominale SN. On aura donc la relation suivante :

Rgamme=Ugamme×SN = (Rsh+Rm)_gamme (16) Un voltmètre est branché en parallèle dans un circuit avec la bonne polarité. Un voltmètre idéal a une résistance innie de telle sorte à faire passer peu de courant dans celui-ci pour la mesure de tension. Plus la résistance est élevée, plus la valeur mesurée est précise. Dans le circuit ci-dessous, si on désire mesurer la tension aux bornes de R2, on doit brancher le voltmètre en parallèle avec R₂.

R1

R2 V U_S

Figure 18: Branchement en parallèle d'un voltmètre.

EXERCICES SUR LES CIRCUITS CC

1) Soit le diviseur de potentiel suivant avec : U = 10, U1= 1, U2= 2, U3 = 5et U4= 2volts. U4

R4 R₃ R₂ R₁ U2

U3 U₁

U

Quelles sont les valeurs deR₁,R₂,R₃ etR₄ si la résistance totale est de 100 ohms ?

2) Dans le circuit suivant, quel est le courant I fourni par la pile ?

10 V

2 Ω 2 Ω

10 Ω 5 Ω

5 Ω I

3) Trouver le courant dans chaque résistance du circuit suivant :

1.5 V 6 V

5 Ω 2 Ω 1 Ω

4) Dans le circuit ci-dessous, le voltmètre de sensibilité nominale 20 000 ohm/volt in- dique une tension de 200 volts sur l'échelle de 500 V et 95 volts sur l'échelle de 100 V. Quelles sont les valeur deR etUs?

s

R

U

V

5) Une antenne ou un haut-parleur peut être représenté par une résistanceRL. Dans le circuit suivant on montre un amplicateur de tensionU et de résistance de sortieR. Pour quelle valeur de RL a-t-on un transfert maximal de puissance dans RL? Petit rappel : pour maximiser une fonction, on prend sa dérivée et on la pose égale à zéro.

R

L

amplificateur

U R

6) Dans le circuit suivant, calculer la valeur du courant dans chacune des résistances.

2V 6V

2Ω

4Ω

1Ω

7) On veut construire un ampèremètre permettant de mesurer10mA (pleine échelle) à l'aide d'un galvanomètre dont les caractéristiques sont les suivantes : R_m = 1000 Ω et Im = 100µA. Dessiner le circuit électrique de cet ampèremètre en incluant les valeurs des composantes.

8) Dans le circuit suivant on veut connaitre la variation du courant dans le circuit lorsqu'on mesure la tension sur la résistance de 100kΩ en utilisant un voltmètre digital de résistance interne R_int = 1MΩ. Quelle sera la variation du courant en pourcentage ?

10 V R V

9) Trouvez la résistance équivalente des circuits suivants :

4Ω 5Ω

4Ω 2Ω3Ω c)

b)

1Ω

1Ω 1Ω

1Ω

a) 10Ω 100Ω

25Ω

10) Dans le circuit suivant, trouvez le courant I dans la résistance de200 Ω:

200 I

5V Ω 300Ω

Ω 400

11) Dans le circuit suivant : calculer la puissance fournie par la source et la puissance dissipée dans la résistance de chargeRL= 5 Ω.

1 10A

I

I_S Ω 5Ω

Ω

2 4Ω

12) Dans le circuit ci-dessous, le courant est mesuré par un ampèremètre ayant une résistance interne de100Ω . Si l'ampèremètre indique 50 mA, quel est le courant en l'absence d'ampèremètre ?

A I

400Ω U_S

13) Dans ce circuit, la tensionU est mesurée par un voltmètre,10V pleine échelle, com- posé d'une résistance en série avec un galvanomètre de sensibilité nominale1000 Ω/V.

Quelle tensionU_S faut-il pour que le voltmètre indique 5V ?

U 2.5kΩ V

3kΩ

S

2 CIRCUITS ET INSTRUMENTS À COURANT ALTER- NATIF (CA)

2.1 Ondes sinusoïdales

Une tension est alternative si elle oscille entre deux valeurs : la forme la plus usuelle est sinusoïdale. L'équation la plus générale pour représenter une telle tension est :

U =U₀sin (ωt+φ) (17)

Une telle onde peut être générée par la variation de la projection verticale d'un vecteur tournant d'un angleα dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à la vitesse angulaire ω autour d'un point xe central :

U U₀

0

φ =

/ 2 π

π/ 2

α

ω

π

Figure 19: Représentation d'une tension sinusoïdale.

Une révolution complète est appelée cycle et l'intervalle de temps pour un cycle est appelé période et s'écrit : T = _f¹ (f = fréquence en hertz [cycles/s], ω = fréquence angulaire [radian/s] ). La longueur du vecteur tournant est U0 et la valeur instantanée : U0sinωt. Si deux ondes sinusoïdales ayant la même fréquence passent par zéro à des temps diérents, elles sont dites déphasées (voir gure suivante).

U

U²

ω

φ

φ U₁

U₁ U₂

t₁

t₂ t₄ t₃ t

ω

Figure 20: Deux ondes déphasées.

U₁ =U₀sinωt U₂ =U₀sin (ωt+φ)

On remarquera que la tensionU2 passe par zéro à un tempst2 >0. Maist2 est antérieur au tempst₁, alors on dira queU₁ a une avance de phase de sur U₂.

φ=ω(t1−t2) = 2π^(t_(t^1−t2)

3−t1)

(t₃−t₁) = (t₄−t₂)

L'angle de phase et la fréquence peuvent être mesurés directement sur l'oscilloscope. On ne peut parler de déphasage que si l'on compare deux ondes de même fréquence. Une autre façon de mesurer le déphasage est l'obtention des gures de Lissajou.

2.2 Valeur RMS (ou eective)

La valeur RMS (Root Mean Square) est la valeur eective d'un courant alternatif. C'est la valeur qu'aurait un courant continu produisant le même chauage que le courant alternatif.

Supposons le circuit suivant ne contenant qu'une source alternative et une résistance :

R

U(t) ^{avecU(t) =U0sinωt et I = UR = UR0 sinωt}

Nous allons nous intéresser à la puissance fournie par ce circuit. En temps réel, voici le graphique de la puissance dissipée par la résistance :

P

t

2 U02sin2

P RI t

R ω

= =

Figure 21: Puissance dissipée dans la résistance en fonction du temps.

Ici, en Amérique du Nord, les réseaux de distribution électrique fonctionnent à la fréquence de 60 Hz : la puissance oscille donc à 120 Hz. On peut donc se poser la question suivante : au lieu d'utiliser une tension sinusoïdale d'amplitudeU₀, quelle serait la tension continueU_{RM S} qui produirait la même puissance moyenne dissipée dans la résistance ? Évidemment, on peut

se poser la même question pour le courant à savoir : quelle valeur de courant continuI_{RM S} produirait la même puissance moyenne dissipée par la résistance que le courant alternatif d'amplitude I0.

Dénition de la moyenne due fonction périodique

Supposons une fonction périodique f(t) de une période T. Sa valeur moyenne sur un cycle est donnée par l'équation suivante :

hf(t)i_cycle≡ 1 T

Z T

0

f(t)dt (18)

Nous avons maintenant tout ce qu'il faut pour calculer la moyenne de la puissance dissipée dans une résistance dans laquelle circule un courant alternatif I = ^U_R⁰ sinωt. Voyons ce que cela nous donne :

P = RI²

cycle= 1 T

Z T

0

RI²dt (19)

P = 1 TRI₀²

Z T

0

sin²ωt dt (20)

Sachant que la moyenne d'un sinus carré sur une période vaut1/2, on obtient :On dénit le rapport :

P = RI₀² T ·T

2 = RI₀²

2 (21)

On posera donc que : RI₀²

2 =RI_C² où I_C représente un courant continu (22) Le courant continu qui dissipe la même puissance moyenne que celle obtenu avec un courant alternatif d'amplitude I0 est donc donné par :

I_{RM S} =I_C =I₀/√

2 (23)

De la même manière, on montre que la tension continue URM S ≡UC produisant le même chauage dans la résistance qu'un tension alternativeU =U₀sinωtest donnée par :

U_{RM S} =U_C =U₀/√

2 (24)

Les deux courants de la gure suivante produisent donc, en moyenne, le même chauage lorsqu'ils traversent une résistance.

courant alternatif

courant continu I (A)

RMS

t

I ⁰

I

Figure 22: Courant RMS équivalent au courant alternatif.

De même, les deux tensions de la gure suivante produisent donc, en moyenne, le même chauage lorsqu'elles sont appliquées une résistance.

tension alternative

tension continue 170

U (volts)

RMS

t (ms)

=120 U ⁰

U

=

4 12

Figure 23: Tension RMS équivalente à la tension alternative.

Attention à la phase !

Quand vous faites circuler un courant dans une résistance (bouilloire, calorifère, séchoir, ...) ce dernier est en phase avec la tension appliquée car une résistance n'introduit aucun déphasage. C'est très important car lorsqu'on parle de puissance, cette dernière peut être nulle à certains temps siU etI ne sont pas en phase (on verra des exemples plus loin avec des composantes comme des condensateurs et des inductances). Une fois une phase introduite, on se retrouvera avec un courant et une tension qui s'écrivent :

I =I0sin(ωt) U =U₀sin(ωt+φ)

Le produit U ·I représente donc la puissance instantanée qui peut être positive, nulle ou négative. LorsquePinst. <0, le circuit donne de l'énergie et lorsquePinst.>0c'est la source qui fournit de l'énergie au circuit. Pour obtenir la puissance moyenne dissipée dans le circuit,

on doit faire le calcul suivant : Pmoy = 1

T Z T

0

U Idt

= 1 T

Z T

0

U₀sin(ωt+φ)I₀sin(ωt)Idt

= U0I0

T Z T

0

sin(ωt+φ) sin(ωt)dt

En utilisant l'identité trigonométrique suivante : sin(ωt+φ) = sinωt·cosφ+ cosωtsinφ, on trouve

P_moy = U₀I₀ T

Z T

0

[sin²(ωt) cos(φ) + cos(ωt) sin(ωt) sin(φ)]dt

Comme la moyenne de cos(ωt) de même que celle desin(ωt) sont nulles sur un cycle, le dernier terme de l'équation précédente est nul. On obtient donc que :

Pmoy =U0I0 cos(φ)1 T

Z T

0

sin²(ωt)dt (25)

La valeur moyenne d'un sinus au carré sur un cycle vaut 1/2, on trouve que : P_moy= 1

T Z T

0

V Idt=V_{RM S}I_{RM S}cosφ (26) Ceci implique que la puissance utile dans un circuit dépend non seulement du courant et de la tension, mais aussi de la diérence de phase entre le courant et la tension.

P

t

2 U02sin2

P RI t

R ω

= =

Figure 24: Puissance dissipée dans une résistance en fonction du temps.

La dénition de la valeur RMS est très importante puisqu'en pratique, on la retrouve par- tout. En eet, la majorité des appareils de mesure CA donnent leur lecture sous forme RMS.

Si vous utilisez un voltmètre pour mesurer la tension du secteur, vous lirez probablement 120 volts. Si vous refaites cette mesure en utilisant l'oscilloscope, vous pourrez voir qu'il s'agit d'une sinusoïde d'environ 170 volts d'amplitude (340 volts crête à crête). L'oscillo- scope fournit toujours la tension réelle alors que le multimètre nous indique la valeur RMS.

L'avantage de la dénition de la valeur RMS est qu'elle permet d'eectuer des calculs avec des circuits CA rapidement, comme si on manipulait des circuits CC.

Valeur moyenne d'un sinus carré Reprenons l'intégrale de l'équation [25] :

1 T

Z T

0

sin²(ωt)dt (27)

Le résultat de cette intégrale donne la valeur moyenne sur un cycle de la fonction sin²(ωt). On peut facilement transformer cette équation en faisant le changement de variable suivant :

x=ωt x= 2πt

T d'où

dx= 2π T dt On peut donc réécrire [27] comme :

1 2π

Z 2π

0

sin²x dx (28)

On utilise l'identité trigonométrique :sin²x= ¹₂ −¹₂cos 2x et [28] devient : 1

2π Z 2π

0

[1 2 −1

2cos 2x]dx (29)

ce qui donne :

x 4π

2π

0

−sin 2x 4

2π

0

= 1 2

Quelle sont les tensions alternatives disponibles en Amérique du Nord et en Europe ?

(texte et photo tirés de : https ://worldstandards.eu/electricite.htm#voltage)

Il n'y pas de normes mondiales pour l'électricité : ni voltage, ni fréquence du courant élec- trique ne sont identiques dans chaque pays. En plus, il existe de grandes diérences entre les pays quant aux ches électriques et prises de courant. En apparence, ces diérences sont insigniantes, mais elles peuvent avoir des suites assez fâcheuses.

La plupart des appareils qu'on achète sur un continent ne peuvent pas être branchés sur un autre continent, tout simplement parce que nos prises ne sont pas compatibles avec la che de l'appareil importé et que les tensions nécessaires au fonctionnement de l'appareil sont diérentes. Il n'y a que deux solutions pour résoudre le problème : soit on coupe la che étrangère et on la remplace par une autre, soit on achète un adaptateur peu esthétique et malcommode. Mais cela étant fait, il y a malheureusement toutes les chances que le problème ne soit toujours pas résolu puisqu'un adaptateur n'assure que la compatibilité entre la che

et la prise électrique, mais il ne changera pas la tension. Un risque d'incendie serait possible si un appareil provenant des États-Unis était branché quelque part en Europe !

Il va de soi que le manque de standards mondiaux en ce qui concerne le voltage, la fréquence et les prises, cause beaucoup de problèmes pour les consommateurs et, en plus de cela, entraine des frais tout à fait inutiles.

Courant monophasé et fréquence

Le tableau suivant illustre les diérences fondamentales entre les réseaux électriques d'ici et ceux d'Europe.

Amplitude de la tension alternative Tension RMS Fréquence

Amérique du Nord 170 volts 120 volts 60 Hz

Europe 310 volts 220 volts 50 Hz

En Europe et dans la plupart des autres pays du monde, la tension varie entre 220 et 240 volts, lorsqu'au Japon et en Amérique du Nord les valeurs de tension uctuent entre 100 et 127 volts.

Figure 25: Courant RMS équivalent au courant alternatif.

À la n du XIX^e siècle, le générateur de courant alternatif a été inventé par Nikola Tesla, ingénieur d'origine croate. Ce génie créatif avait calculé que 60 Hz (le nombre de changements de sens du courant par seconde, exprimé en Hertz) est la fréquence qui permettait d'obtenir le meilleur rendement pour les générateurs de courant alternatif. Il a préféré la tension de 240V, qu'il estimait bonne pour le transport sur de longues distances sans être extrêmement dangereuse. Thomas Edison a développé parallèlement un système de courant continu à 110V qui était sans aucun doute plus sûr, mais moins pratique pour le transport.

Quand la compagnie allemande AEG a mis en place le premier service de production d'élec- tricité, elle a opté pour le 50 Hz, an d'ajuster la fréquence au système métrique. Bénéciant d'un quasi-monopole, AEG a facilement pu diuser ce standard sur le reste du continent.

En Grande-Bretagne, de nombreuses fréquences ont cohabité et ce n'est qu'après la Seconde Guerre mondiale que le 50Hz s'est généralisé en Europe.

À l'origine, la tension de120V était très répandue en Europe, comme en Amérique du Nord et au Japon aujourd'hui. Mais à cause de uctuations de courant et par besoin de plus de puissance électrique, il a été décidé à la n des années 1950 et au début des années 1960 de doubler cette tension. En Europe, cette transition n'a pas posé beaucoup de problèmes, mais aux États-Unis le gouvernement a abandonné le projet par des considérations d'ordre économique et nancier. En eet, dans les années 1950 de nombreuses familles américaines avaient déjà acheté un réfrigérateur, une machine à laver et d'autres appareils électriques fonctionnant sur le 120V, ce qui n'était pas du tout le cas dans l'Europe de l'après-guerre.

Actuellement, les États-Unis ont toujours des problèmes reliés à cette faible tension électrique (p.ex. les appareils se trouvant au bout du circuit électrique fonctionnent parfois mal à cause d'un voltage trop faible, les lampes qui sont installées au début du circuit, tout près du compteur d'électricité, sautent plus vite, etc.). Une diérence de tension de presque 20%

entre le début et le bout du circuit, c'est vraiment monnaie courante !

An de résoudre une partie du problème, les nouveaux bâtiments américains sont alimentés en 240 V, divisés en deux fois 120 V entre la phase et le neutre. Les appareils qui consomment beaucoup d'électricité (fours, lave-linge, sèche-linge, etc.) sont branchés directement en 240 V.

Voici maintenant un aperçu (en %) de la façon dont on produit l'électricité au Québec, en Ontario et au Canada la(note : ces valeurs datent de quelques années).

Hydro charbon nucléaire gaz naturel oul éolien solaire biomasse

Canada 58.7 16.7 15.5 6.6 1.2 0.5 0.3

Québec 97 0 0.7 0.8

Ontario 24 60 10 6 1 1

2.3 Circuit contenant uniquement un condensateur

U(t) C

Figure 26: Circuit à uniquement un condensateur.

La charge sur les plaques d'un condensateur obéit à la relation :

Q=CU (30)

avec l'unité farad pour C. Pour une diérence de potentiel sinusoïdale, on aura :

U +Q -Q

+

U =U0sin(ωt)

I =ωCU0cos(ωt) car I =dQ/dt I =ωCU₀sin(ωt+π/2)

I/ωC =U₀sin(ωt+π/2) (31)

Le courant est sinusoïdal lui aussi, mais en avance de phase de 90 degrés.

En terme de valeurs RMS on a U = (_ωC¹ )I ou encore U = X_CI (X_C = 1/ωC étant la réactance capacitive), ce qui est une forme équivalente à la loi d'Ohm (courant continu). Par contre, cette pseudo loi d'Ohm n'est pas valide en un instant précis à cause de la diérence de phase entre le courant et la tension.

Important : À basse fréquence (ω →0), le condensateur se comporte comme un circuit ouvert car X_C = 1/ωC → ∞. À haute fréquence (ω→ ∞), le condensateur se comporte comme un court-circuit carXC = 1/ωC→0.

La puissance eective est Uef f ·Ief f exprimée en VAR (volts-ampères-réactifs) mais ne correspond pas à ce qui est dissipé en chaleur car la vraie puissance active (U_{ef f}·I_{ef f}·cosφ) est nulle. Le graphique suivant illustre très bien la situation :

00 1

tension

courant puissance

instantannée

-1

2

π

π

2

π 2π

(rad) ωt

Figure 27: Courant, tension et puissance dans un circuit avec seulement un condensateur.

La puissance est positive (énergie emmagasinée dans le condensateur) dans le premier demi- cycle et négative (c'est le condensateur qui génère le courant) dans le second et ainsi de suite. Au total, il n'y a aucune puissance dissipée.

Noter que le courant est proportionnel à la dérivée de la tension présente aux bornes du condensateur. LorsqueUC = 0, il n'y a pas de charge sur les plaques du condensateur et cela facilite la circulation d'un grand courant. Lorsque les plaques sont chargées au maximum (U_C =U₀), le courant devient nul car la répulsion coulombienne devient très forte.

2.3.1 Énergie emmagasinée dans un condensateur

Pour charger un condensateur, il faut transférer des charges d'une plaque à l'autre. La quantité d'énergie pour eectuer ce travail est donnée par :

W = Z Q

0

U dq = 1 C

Z Q

0

q dq = 1 2

Q² C

On peut donc dire que l'énergie (en joules) emmagasinée dans le condensateur est donnée par :

W = 1 2

Q² C = 1

2CU² = 1

2QU (32)

2.3.2 Généralités sur les condensateurs

La valeur de la capacité est donnée en farad :1farad= ^1coulomb_1volt

En général, on parle beaucoup plus en termes de pico ou de micro farad. Un condensateur de 1 farad serait aussi grand que la pièce. Pour fabriquer un condensateur, on utilise deux plaques métalliques séparées par un isolant (air, papier, mica). La capacité d'un tel système est donnée par :

C =ε0εr

A d ε0 : permittivité du vide (8.85 x 10^-12 F/m)

εr : constante diélectrique relative (par rapport à celle du vide) A : aire des plaques (m²)

d : distance entre les plaques (m)

Lorsqu'on introduit un diélectrique au centre du condensateur, cela permet d'augmenter la quantité de charges sur les plaques avant d'atteindre la tension maximale que le condensateur peut supporter. Autrement dit, lorsqu'on insère un diélectrique, la tension diminue.

+ + + + + + + + + + + +

+ +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

plaques

diélectrique

Figure 28: Polarisation du diélectrique d'un condensateur.

Cela s'explique relativement facilement à l'aide du schéma ci-dessus. En eet, le champ électrique des plaques polarise les molécules de l'isolant. Cette polarisation tend à s'opposer au champ électrique appliqué. Le champ total résultant au centre du diélectrique est donc plus faible. Quantitativement, ce champ est diminué d'un facteur égal à ε_r.

Isolant εr

vide 1

air 1

papier 2.5

mylar 3

huile isolante 3 caoutchouc 3

mica 6-8

verre 6-10

eau pure 80

Pour les condensateurs qui doivent supporter des tensions élevées, il n'y a pas d'autres solutions que de grossir les plaques, sinon il y a risque de claquage.

Exemple : On désire calculer la capacité d'un condensateur formé de deux plaques de 20 cm x 25 cm et séparées de 1 cm dans l'air.

Solution :

C= 8.85×10⁻¹²×1×0.2×0.25

0.01 = 44pF

Il n'y a pas que des condensateurs plats : il existe aussi des condensateurs cylindriques et même sphériques. Chaque type possède sa propre équation pour le calcul de sa capacité.

2.3.3 Condensateurs en parallèle

C₁ C₂

Figure 29: Condensateurs en parallèle.

À partir de la dénition de la capacité d'un condensateur [30], on peut montrer que deux condensateurs en parallèle sont équivalents à un seul dont la capacité est la somme des deux capacités.

Selon la gure précédente, on voit que chacun des condensateurs soutient la même tension (U).

C1 porte la chargeQ1 =C1U C₂ porte la chargeQ₂ =C₂U

Donc l'ensemble des deux armatures reliées porte une charge totale : Q=Q1+Q2 = (C1+C2)U

soit la charge que porterait un condensateur de valeur :

C=C₁+C₂ (33)

2.3.4 Condensateurs en série

Calculons maintenant la valeur de deux condensateurs placés en série.

C₁

a

C₂

b c

Figure 30: Condensateurs en série.

Si on a connecté les deux condensateurs en série avant de les charger, le conducteur central, constitué des deux armatures réunies porte une charge totale nulle. Quand on va appliquer une diérence de potentielU entre les deux armatures externes (point a et c), on va provoquer l'apparition de charges +q₁, −q₁, +q₂ −q₂ sur les plaques. Comme le conducteur central est isolé, sa charge totale reste nulle. Donc q2−q1 = 0 : q1 = q2. Les charges des deux condensateurs seront toujours égales.

Pour avoir cette charge commune égale àQ, il faut appliquer une diérence de potentiel U entre les point a et c :

U =U1+U2= Q C1

+ Q C2

=Q· 1

C1

+ 1 C2

C₁

a

C₂

b c

q1

+ −q₁ +q₂ −_q2

Figure 31: Charges sur des condensateurs en série.

Il s'agit donc de la même tension qu'il faudrait appliquer à un condensateur unique de capacité :

1 C = 1

C₁ + 1

C₂ (34)

pour avoir la même charge.Il existe plusieurs types de condensateurs. Le plus commun est probablement celui dont l'isolant est constitué de papier ou de plastique. La gure ci-dessous en est un exemple :

2.3.5 Types de condensateurs

Il existe plusieurs types de condensateurs. Le plus commun est probablement celui dont l'isolant est constitué de papier ou de plastique. La gure ci-dessous en est un exemple :

feuilles métalliques

plastique ou papier

100 uF 350 V C.C.

Figure 32: Intérieur d'un condensateur.

Il est cependant impossible de réaliser des feuilles de papier dont l'épaisseur est inférieure à 6µm. On utilise alors du plastique métallisé qui permet d'obtenir une épaisseur d'environ 1µm.

Pour obtenir des capacités encore plus grandes, on doit faire appel aux condensateurs électro- lytiques. Il s'agit ici d'un eort ultime pour réduire l'épaisseur du diélectrique et augmenter la surface des plaques. On crée d'abord une mince couche d'oxyde d'aluminium sur une feuille d'aluminium par un procédé électrochimique. Cette couche est isolante et extrême- ment mince. Elle possède une rigidité électrique de600kV/mm et une constante diélectrique de 10. En rongeant la surface des feuilles d'aluminium, on augmente leur surface eective au-delà de leurs dimensions apparentes. Le diélectrique est en très bon contact avec la plaque sur laquelle il a été formé. Pour obtenir un bon contact avec l'autre plaque, on imprègne d'un liquide conducteur (électrolyte) un papier poreux que l'on intercale entre les deux plaques.

Les condensateurs électrolytiques ont une très grande capacité par rapport à leur grosseur.

Leur seul inconvénient est qu'il faut respecter la polarité indiquée sur chacune des plaques.

En eet, si l'on ne respecte pas la polarité indiquée, il se produit une réaction électrochi- mique où l'électrolyte s'échaue. Cela génère des gaz et fait monter la pression interne et le condensateur risque d'exploser !

Pour utiliser les condensateurs électrolytiques en mode CA, il faut en placer deux en série en prenant soin de relier ensemble les deux bornes de même polarité. Évidemment la capacité d'un tel système est réduite de moitié par rapport à celle d'un condensateur unique mais demeure de loin supérieure à ce qu'on peut obtenir avec des condensateurs ordinaires. On retrouve ce type d'arrangement dans les moteurs monophasés à démarrage par condensateur.

2.4 Inductance

La gure suivante illustre très bien les directions des lignes de champ d'un solénoïde parcouru par un courant :

N

S

Figure 33: Lignes de champ magnétique d'un solénoïde.

La première des gures suivantes montre comment la règle de la main droite permet de trouver les pôles magnétiques du solénoïde : les doigts sont positionnés selon la direction du courant conventionnel et le pouce donne le pôle nord du solénoïde. Dans l'autre gure, le pouce pointe dans la direction du courant et le champ est donné par la direction des doigts.

Figure 34: Règle de la main droite appliquée au cas d'un solénoïde et celui d'un l.

2.4.1 Loi d'induction de Lenz-Faraday

U =−dφ

dt (35)

Cette loi, énoncée en 1834, signie que si on place une boucle de l dans un ux magnétique changeant, alors on observera une force électromotrice aux bornes de ce l. Si au lieu d'une boucle de l, on utilise un enroulement de N spires (bobine), on a :

U =−N dφ

dt (36)

qui dit aussi que la tension induite est également proportionnelle au nombre de tours que contient la bobine. Henrich Friedrich Emil Lenz, physicien russe, et Michael Faraday, physi-

cien et chimiste britannique, ont tous deux travaillé sur l'induction, et ce, de façon indépen- dante. Faraday avait remarqué l'apparition de la force électromotrice si le ux magnétique traversant une boucle de l est modié. Cependant, c'est Lenz qui a déterminé correctement le signe négatif dans les équations [35] et [36] qui montre que cette force électromotrice va produire un courant qui s'oppose à la variation de ux dans la boucle de l ou dans un solénoïde.

La Loi de Lenz est à la base de nombreuses applications : on pense entre autres au transfor- mateur et à la plaque de cuisson par induction. La gure suivante illustre très bien comment fonctionne la loi de Lenz. Dans un cas,un aimant se dirige vers une boucle de l alors que dans l'autre, l'aimant s'en éloigne. Vous pouvez remarquer les directions des courants induits dans les deux cas.

B I

boucle

B externe B induit

N B augmente

aimant

courant

induit induit

S v

B

I boucle

champ magnétique du courant induit

B externe B induit

N B diminue

aimant

courant

S v Figure 35: Illustration de la loi de Lenz.

2.4.2 Induction mutuelle

U₁

N tours₁ N tours₂

U₂

Figure 36: Induction mutuelle.

Supposons un courant I1 dans la bobine de gauche. Appelons φ21 le ux que ce courant produit dans la bobine de droite.N2φ21est donc le ux total traversant la bobine de droite.

Ce ux est proportionnel au courant I₁. On peut donc dénir l'inductance mutuelle par : M = N2φ21

I1

D'après la loi de Lenz, si I₁ varie, alors il apparait une tensionU₂ qui s'écrit : U2 =−N₂∆φ21

∆t Comme ∆φ₂₁ est proportionnel à ∆I₁, on peut écrire que :

U2 =−M∆I₁

∆t

L'unité SI d'une inductance mutuelle est le Henry. 1 Henry est l'inductance mutuelle entre deux bobines si une variation de 1 ampère/s dans l'une induit une tension de 1 volt dans l'autre.

2.4.3 Auto-induction (self)

U I

Figure 37: Self inductance.

Dans la bobine ci-haut, un changement de courantI produira un changement de ux. Cette variation de ux induit une tension U entre les bornes de la bobine. On a donc que si le courant varie dans une bobine, il apparait une tension induite à ses propres bornes. Ce phénomène porte le nom de self-induction. Par analogie avec l'induction mutuelle, on dénit l'inductance par :

L= N φ

I et donc U =−LdI

dt (37)

L s'exprime en Henry. Le Henry est l'inductance d'une bobine où l'on mesure une tension induite de 1 volt lorsque le courant qui la traverse varie à un taux de 1 ampère/s.

Important : Noter que cette tension s'oppose à toute variation du ux à l'intérieur de la bobine.

2.4.4 Circuit contenant uniquement une inductance

U(t) L

Figure 38: Circuit avec uniquement une inductance.

Soit U(t) =U₀sinωtalors on a :

U−LdI dt = 0 LdI=U0sinωt dt

dI= U₀

L sinωt dt I =−U₀

ωLcosωt d'où :

I =I₀sin (ωt−90) avec I₀ = U₀

ωL (38)

On dénit la réactance inductive X_L=ωL, ce qui permet d'écrire que :U₀=X_LI₀. On remarque donc qu'ici le courant est en retard de 90^o par rapport à la tension. Ceci est dû au fait que la bobine s'oppose à tout changement de ux. En eet, elle induit une tension maximale lorsque la dérivée du courant est elle aussi maximale et cela se produit à courant nul.

Comme dans le cas d'un condensateur, la puissance dissipée par une bobine (on suppose que sa résistance est nulle) est nulle. L'énergie passe simplement de la source au champ magnétique et vice-versa.

Important : À basse fréquence(ω→0), l'inductance se comporte comme court-circuit carXL= ωL → 0. À haute fréquence (ω→ ∞), l'inductance se comporte comme un circuit ouvert carXL=ωL→ ∞.

Note : Comme les inductances sont constituées de nombreux tours de ls, elles ont généra- lement une résistance non négligeable.

2.4.5 Énergie emmagasinée dans le champ magnétique d'une bobine

Une inductance parcourue par un courant I, qui varie à un taux de ^dI_dt emmagasine de l'énergie à un taux de P =U I =LI^dI_dt (P : puissance).

Pour accroitre le courant de I àI+dI, il faut fournir un travail : dW =P dt=LI dI

Pour accroitre le courant de 0 jusqu'àI, il faut donc un travail égal à : W =

Z

dW = Z I

0

LI dI = 1

2LI² (39)

Ceci est donc l'énergie emmagasinée dans le champ magnétique de la bobine.

2.4.6 Fermeture d'un circuit CC contenant uniquement une inductance

L I

t

Figure 39: Régime transitoire d'une pile reliée à une inductance.

2.4.7 Circuit RLC série

L R

C

Figure 40: Circuit RLC série.

Ce circuit agit comme un ltre. En eet, à basse fréquence le condensateur se comporte comme un circuit ouvert et rien ne passe. De même, à haute fréquence, c'est au tour de la bobine de se comporter comme un circuit ouvert. Il y a donc une plage de fréquences bien dénie pour laquelle le circuit fonctionne.

I

R élevée R faible

I_eff

0

ω ω

Figure 41: Résonance d'un circuit RLC série.

C'est ce genre de circuit qui était utilisé pour syntoniser une chaine radio ou télé avant l'ère du numérique.

La fréquence de résonance est donnée par : ω₀=p 1/LC

3 Généralités sur les circuits et systèmes de protection

La résistance électrique des tissus humains est généralement très faible. Par contre celle de la peau se situe normalement entre 10⁴ et10⁶ ohms et constitue une protection naturelle.

Lorsque mouillée, la peau voit sa résistance diminuer jusqu'à10³ ohms ou moins. Pour vous