On donne une paire (m,n) de deux entiers naturels premiers entre eux. Une opération sur ce couple consiste à le remplacer par (m + n,n) ou bien par (m,m + n). Démontrer que l’on peut toujours obtenir un couple de deux carrés parfaits à l’issue d’un nombre fini d’opérations.
Applications numériques (avec l’aide d’un automate) : m=2012 et n=2013, m=2013 et n=2014.
En itérant l’opération, on peut obtenir des nombres de la forme km+n ou m+kn; m et n étant premiers entre eux, l’un au moins (m par exemple) est impair, et l’on peut obtenir un nombre congru à -1 modulo 4 que nous noterons p=km+n ; -1 n’est pas un résidu quadratique modulo p, donc l’un des deux nombres, m ou (k-1)m+n de l’étape précédente (désigné par q) est un résidu quadratique modulo p. Donc il existe u tel que u2=hp+q, et nous pouvons supposer que u=-1 (mod 4) quitte à remplacer u par u+p, u+2p ou u+3p, dont les carrés sont congrus à celui de u modulo p ; donc ici encore, -1 n’est pas un résidu quadratique modulo u2, et donc l’un des nombres de l’étape précédente (p ou (h-1)p+q) que nous désignerons par t, en est un, et il existe v tel que v2=t+ju2.
On peut donc obtenir le couple (u2, v2).
Nul besoin d’un automate pour résoudre les applications numériques proposées: le processus inverse remplace (a, b) par (a, b-a) si a<b ou (a-b, b) si a>b.
Partant de deux carrés consécutifs, (2k)2 et (2k+1)2 soit (4k2, 4k2+4k+1) on obtient (4k2, 4k+1), puis après quelques itérations, puisque 4k2=(4k+1)(k-1)+3k+1
(4k+1, 3k+1), (k, 3k+1), (k, 2k+1), (k, k+1).
On peut donc obtenir (16192576, 16200625) en partant de (2012, 2013) et (16208676, 16216729) à partir de (2013, 2014).
