7 Équations différentielles

7 différentielles ^Équations

Sommaire

Partie A (s

) 2

1 Introduction . . . 2 2 Équation différentielle du type y

+ ay = b . . . 3

2.1 Solution générale de l’équation y

+ ay = 0 3

2.2 Solution de l’équation y

+ ay = b 3

2.3 Unicité de la solution sous condition initiale 4

Partie B (s

) 5

3 Équations différentielles du type y

+ ω

y = 0 . . . 5

3.1 Solution générale 5

3.2 Unicité de la solution sous condition initiale 6

Partie A (s

)

C’est au xvii^e siècle, avec le calcul différentiel et intégral de Newton et Leibniz, qu’apparait la notion d’équations différen- tielles. Elles sont issues de problèmes de géométrie et de mé- canique. Vers 1700, les méthodes classiques de résolution de certaines équations sont découvertes.

Avec le développement de la mécanique, la résolution des équa- tions différentielles devient une branche importante des ma- thématiques (grâce à Euler, Lagrange, Laplace. . .) et inter- viennent dans de nombreuses autre applications comme les sciences de la vie, l’astronomie, la biologie, les sciences éco- nomiques, les sciences physiques. . .

1 Introduction

Une équation différentielle est une relation entre une variable réelle, une fonction qui dépend de cette variable et un certain nombre de ses dérivées successives.

Résoudre une telle équation signifie déterminer toutes les fonctions qui satisfont à l’égalité.

Définition 1.

Exemple 2

On cherche à résoudre l’équation différentielley^′(x) =x² :

• on trouvey(x) = x³

3 +c oùc est une constante réelle ;

• on remarque qu’il y a une infinité de solutions, dépendantes de la constantec.

Si de plus on impose une contrainte du typey(0) = 1 (condition initiale), on obtient :

• y(0) =0³

3 +c=c. Or,y(0) = 1 donc, par identification,c= 1 ;

• on trouvey(x) = x³

3 + 1 et dans ce cas, la solution devient unique.

Remarque 3

Par la suite, on écrira la solution sous la forme f (x) = . . . , g(x) = . . . plutôt que y(x) = . . .

Une fonction peut être dérivable plusieurs fois de suite : par exemple, une fonction

f deux fois dérivable est une fonction pour laquelle la dérivée de la dérivée existe,

on la note f

, ou y

.

2 Équation différentielle du type y ^′ + ay = b

2.1 Solution générale de l’équation y

+ ay = 0

On considère l’équation différentielle y

+ ay = 0 où a est un réel et y une fonction dérivable de la variable x définie sur

.

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies par :

f (x) = k e

où k

Proriété 4.

appelée équation linéaire homogène d’ordre 1 à coefficient constant

Démonstration :

On considère l’équation différentielle (E) : y

+ ay = 0.

•

Soit f la fonctions définie sur

par f (x) = k e

: f est dérivable sur

de dérivée f

(x) =

ak e

et

f

(x) + af(x) =

ak e

+ ak e

= 0 donc, f est bien solution de (E).

•

Les solutions de la forme x

k e

sont des solutions de (E). Il reste à montrer qu’il n’en existe pas d’autres. Pour cela, on considère une fonction quelconque g définie et dérivable sur

solution de (E) :

soit h la fonction définie sur

par h(x) = g(x) e

.

h est dérivable sur

de dérivée : h

(x) = g

(x) e

+ ag(x) e

; soit h

(x) = e

(g

(x) + ag(x)) = 0.

On a alors : h(x) = K

g(x) e

= K

g(x) = K e

.

On a donc montré que toute fonction solution de (E) est nécessairement de la forme x

K e

, où K est un réel quelconque.

gsolution de(E) donc,g^′+ag= 0

Exemple 5

• Résolution de l’équation différentielle :y^′−3y= 0 : les solutions sont du typef(x) =ke^3x oùk est un réel.

• Résolution de l’équation différentielle : 2y^′ =−5y: cette équation peut s’écrirey^′+5

2y= 0. Les solutions sont du typef(x) =ke^−52x.

2.2 Solution de l’équation y

+ ay = b

On considère l’équation y

+ ay = b, où a

= 0 et b sont des nombres réels et où y est une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f(x) = k e

+ b

a où k

Proriété 6.

appelée équation linéaire d’ordre 1 à coefficients constants

Exemple 7

2.3 Unicité de la solution sous condition initiale

Soient x

, y

et a

= 0 des réels donnés, l’équation différentielle y

+ ay = 0 admet une unique solution f dérivable sur

vérifiant f (x

) = y

.

Proriété 8.

Exemple 9

Résolution de l’équation différentielley^′−1

2y= 2 dont la solutionf vérifief(0) = 1 :

• les solutions de l’équation sont du typef(x) =ke^12x−4 oùk est une constante réelle.

• on obtient une infinité de solutions, en fonction dek, dont en voici quelques représen- tations graphiques :

1 2 3

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

−10 0

k=−50 k=−3

k=−0,1 k= 0 k= 1 k= 5

k= 25

b

• parmi toutes ces courbes, une seule passe par le point de coordonnées (0,1) correspon- dant à la condition f(0) = 1 (en rouge sur le graphique) :

f(0) = 1⇐⇒ke^12×0−4 = 1

⇐⇒k= 5 d’où f(x) = 5 e^12x−4.

wxMaxima : ode2(’diff(y,x)-1/2*y=2,y,x)

wxMaxima : ic1(%,x=0, y=1)

% correspond à la dernière écriture

Partie B (s

)

3 Équations différentielles du type y ^′′ + ω ² y = 0

3.1 Solution générale

On considère l’équation différentielle y

+ ω

y = 0 où ω est un réel non nul et y une fonction de la variable x deux fois dérivable sur

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme :

f (x) = λ cos(ωx) + µ sin(ωx) où λ

µ

Proriété 10.

appelée équation différentielle linéaire du second ordre à coefficient constant

Exemple 11

• Résolution de l’équation différentielle (E¹) :y^′′+ 4y= 0 : (E¹) s’écrit aussiy^′′+ 2²y= 0, on a doncω= 2.

Les solutions sont du typef(x) =λcos(2x) +µsin(2x) oùλet µsont des réels.

• Résolution de l’équation différentielle (E2) : 27y^′′+ 3y= 0 : (E2) s’écrit aussiy^′′+₂₇³ y= 0, ou encorey^′′+ ¹₃²

y= 0, on a donc ω=¹₃. Les solutions sont du typef(x) =λcos ¹3x+µsin ¹3xoùλetµsont des réels.

Remarque 12

Il peut arriver que, pour plus de facilité, on doive transformer l’écriture de la solution f(x) = λ cos(ωx) + µ sin(ωx) en f (x) = A cos(ωx + ϕ) ou f (x) = A sin(ωx + ϕ).

Pour cela, on utilisera les formules de trigonométrie suivantes :

cos(a + b) = cos a cos b

sin a sin b et sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b

Exemple 13

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = √3 cosx

3 + sinx

3, on peut transformer f de manière à n’avoir que des cosinus ou des sinus :

• f(x) = 2 √3

2 cosx 3 +1

2sinx 3

= 2 cosπ

6 cosx

3 + sinπ 6 sinx

3

= 2 cosπ 6 −x

3 .

• f(x) = 2 √3

2 cosx 3 +1

2sinx 3

= 2 sinπ

3cosx

3 + cosπ 3 sinx

3 cosacosb+ sinasinb

= cos(a−b)

sinacosb+ cosasinb

3.2 Unicité de la solution sous condition initiale

L’équation différentielle y

+ω

y = 0 admet une unique solution f définie sur

vérifiant deux conditions initiales données.

Proriété 14.

en sciences physiques, on a classiquement la position et la vitesse à l’instant 0

Remarque 15

On aura en général des conditions initiales du type :

(

f (x

) = y

f

(x

) = y

ou

(

f(x

) = y

f(x

) = y

.

Exemple 16

On considère l’équation (E) : 4y^′′+π²y= 0 dont la solution vérifie les conditions initiales : f

1 2

=

√2 2 et f^′

1 2

= 0.

• Résolution de l’équation différentielle générale : (E)⇐⇒y^′′+π

2 ²

y= 0 ; les solutions sont donc :f(x) =λcosπ 2x

+µsinπ 2x

.

• Utilisation de la première condition : f

1 2

=λcosπ 4

+µsinπ 4

=λ

√2 2 +µ

√2 2 =

√2

2 (λ+µ).

Sachant que f 1

2

=

√2

2 , on obtientλ+µ= 1.

• Utilisation de la seconde condition : f^′(x) =−π

2λsinπ 2x

+π

2µcosπ 2x

. f^′

1 2

=−π

2λsinπ 4

+π

2µcosπ 4

=−π 2λ

√2 2 +π

2µ

√2

2 = π√2

4 (−λ+µ).

Sachant que f^′ 1

2

= 0, on obtient−λ+µ= 0.

• Résolution du système d’équations : λ+µ = 1

−λ+µ = 0 ⇐⇒

λ+µ = 1

2µ = 1 ⇐⇒







λ = 1 2 µ = 1 2 Conclusion :f(x) = 1

2cosπ 2x

+1 2sinπ

2x .