TSI1 – Physique-chimie DS8 : Induction et thermodynamique – 26/05/2018
DS8 : Induction et thermodynamique
Durée : 4h. Les calculatrices sont autorisées. Le devoir est probablement trop long pour être terminé, faites-en le maximum.
Exercice 1: Le transformateur toriqe (CCP 2018)
On étudie un modèle simplifié du transformateur schématisé sur la figure 1 ci-dessous. Il est constitué d’un matériau ma- gnétique torique d’axe(Oz)à section carrée de côtéaet de rayon intérieurR. L’espace est rapporté à la base cylindrique (~er, ~eθ, ~ez)représentée pour un pointMquelconque sur le schéma.
i1 i2
R a
~eθ
~er
~ez
Figure 1– Vue de dessus du transformateur
Le bobinage « primaire », notéC1, est un enroulement deN1spires autour de ce tore, il est parcouru par un courant d’intensité i1. Le bobinage « secondaire », notéC2, est un enroulement deN2 spires autour de ce tore, il est parcouru par un courant d’intensitéi2.
on admet que dans le tore, le champ magnétique est dirigé dans la direction de~eθ. 1. Si les courantsi1eti2sont positifs, le champ magnétique est-il suivant~eθou−~eθ?
On peut montrer (TSI2) que le champ créé par le circuitC1en tout point à l’intérieur du tore est : B~1=±µ0N1i1
2πr ~eθ
Le signe+ou −est à choisir en fonction de la réponse à la question précédente.µ0 = 4π×10−7S I est la perméabilité magnétique du vide.
2. Donner l’unité deµ0.
3. Donner l’expression du flux magnétiqueϕdu champ magnétiqueB~1à travers une spire du circuitC1sous forme d’une intégrale de surface. On montrera que l’intégrale porte sur les coordonnéesretzet dans ces conditionsdS = drdz.
4. Calculer l’intégrale précédente et donner l’expression deϕ.
5. En déduire le flux totalφdeB~1à travers lesN1spires du circuitC1.
6. Rappeler la définition de l’inductance propreL(ou coefficient d’auto-inductance).
7. En déduire que l’inductance propreL1du circuitC1est donnée par : L1=N12aµ0
2π ln
R+a R
8. Quelle est alors l’expression de l’inductance propreL2du circuitC2? 9. Rappeler la définition du coefficient d’inductance mutuelleM. 10. Montrer que ce coefficientM est donné par :
M =N1N2
aµ0 2π ln
R+a R
11. La résistance des bobinages étant négligée, exprimer la tensionu1aux bornes du primaire en fonction des dérivées par rapport au temps dei1eti2et des coefficientsL1etM.
12. Faire de même pour la tensionu2aux bornes du secondaire en fonction des dérivées par rapport au temps dei1eti2et des coefficientsL2etM.
2017–2018 page 1/4
TSI1 – Physique-chimie DS8 : Induction et thermodynamique – 26/05/2018
13. En déduire que l’on a la relation suivante :
u1=L1
Mu2+M2−L1L2
M
di2
dt.
14. Prouver que cette relation se simplifie pour faire apparaître ce que l’on appelle le rapport de transformation défini comme le rapport des tensions du secondaire et du primaire :
u2 u1
=N2 N1
.
15. Expliquer alors comment les transformateurs constituent des éléments centraux de la chaîne de transport de l’électricité.
16. Que peut-on dire du rendement en puissance entre primaire et secondaire ?
17. Le fonctionnement d’un transformateur est-il possible pour des signaux continus ? Justifiez votre réponse.
18. Techniquement les matériaux magnétiques utilisés dans les transformateurs sont réalisés en accolant des feuillets en acier. Quels types de pertes cherche-t-on ainsi à éviter ?
Exercice 2: Le moteur asynchrone (centrale 2016)
Le compresseur d’une pompe à chaleur fonctionne grâce à un moteur asynchrone que nous allons à présent étudier. Le moteur asynchrone est constitué de deux bobinages fixes (modélisés par des solénoïdes infinis) et d’une bobine plate carrée en rotation autour d’un axe fixe. Il est alimenté par le secteur via une prise de courant classique.
Dans toute cette partie, on se place dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-stationnaires.
En faisant abstraction des spires manquant dans la partie centrale, on considère deux solénoïdes (1) et (2) identiques, de rayonA, de grande dimension selon leur axe, disposés de sorte que leurs axes respectifs(x0x)et(y0y)soient perpendiculaires et concourant au pointO(figure 1). Ils comportentnspires par mètre et sont parcourus par les courants respectifsi1(t) = IMcos(ω0t)eti2(t) =IMcos(ω0t+α)oùω0est une pulsation constante. Le sens de parcours des courants est indiqué sur la figure 1.
On rappelle :µ0= 4π×10−7H m−1.
i1(t) i1(t)
i2(t) i2(t)
x0 x
y0 y
O
~ ux
~ uy
A
A l
Figure 1 – Moteur asynchrone
1. À quelle condition peut-on faire l’hypothèse de l’approximation des régimes quasi-stationnaires ?
2. L’intensité du champ magnétique créé par un solénoïde infini comportantnspires par mètre, parcouru par un couranti estB=µ0ni. Donner la direction et le sens des champs magnétiques créés par les solénoïdes (1) et (2) lorsquei1>0et i2>0.
3. Montrer que l’inductance propreLS d’un solénoïde est donnée par :LS =µ0n2πA2l. Calculer la valeur numérique de LSsachant que chaque solénoïde est constitué d’un enroulement de 4 rangées de spires jointives. On donnea= 0,2 mm le rayon du fil de cuivre utilisé,A= 2 cmetl= 20 cm.
2017–2018 page 2/4
TSI1 – Physique-chimie DS8 : Induction et thermodynamique – 26/05/2018
r LS
i1 u
solénoïde (1)
r LS
i2 C u
solénoïde (2)
Figure 2 – Circuit électrique des solénoïdes du moteur
4. On considère maintenant l’association des deux solénoïdes (1) et (2) décrite ci-dessus. Exprimer le champ magnétique B(O, t)~ créé enOdans les cas oùα=π/2etα=−π/2.
5. Pourquoi peut-on qualifier ce champ magnétique dechamp tournant? Dans quel sens tourne le champ lorsqueα=π/2 etα=−π/2?
Dans la suite du problème, on se placera dans le premier casα=π/2.
6. On donneIM = 0,1 A. Calculer la norme du champ magnétique créé enO. Commenter.
En pratique, on réalise un déphasage deπ/2entre les deux courants en mettant un condensateurCen série avec le solénoïde (2). Les circuits électriques pour les solénoïdes (1) et (2) sont représentés sur la figure 2.
7. La résistancercorrespond à la résistance du fil de cuivre utilisé dans la bobine. La résistance d’un conducteur cylindrique de longueurlc, de surfaceSet de résistivitéρestr= ρlSc.
Calculer la valeur derpour les solénoïdes sachant. La résistivité du cuivreρ= 17×10−9m 8. Montrer que le déphasageαentre les intensités qui circulent dans les bobines est :
α= arctan LSω0
r
−arctan LSω0−Cω1
0
r
!
9. En déduire l’expression de la capacitéCdu condensateur à utiliser pour obtenir un déphasage deα = π2. Calculer la valeur numérique deC.
On place enOune bobine plate carrée (S) de surfaceS =b2comportantN spires orientées. Le vecteur surfaceS~ =b2~n reste dans le planxOyoù il est repéré à la datetpar l’angleθ(t) =ωtpar rapport àOx.
z
O B~0
(S)
x y
S~ B~0
θ(t) ω0t
Cette bobine (S) possède une résistanceRet une inductance propreL.
Le côtébde la bobine plate (S) est supposé très petit devant le rayonAdes deux solénoïdes. Ainsi, le champ magnétique B(O, t)~ créé par les deux solénoïdes peut être supposé uniforme sur toute la surfaceSde la bobine (S), on le noteraB~0. Dans le planxOy, il est repéré à la datetpar l’angleω0t.
En fonctionnement, cette bobine (S) entraîne le reste du dispositif en exerçant sur lui un couple+Γ~uz. On considère que la liaison entre la bobine et son support est parfaite.
10. Justifier sans calcul l’existence d’un courant induiti(t)dans la bobine (S).
11. Justifier sans calcul l’origine du mouvement de la bobine (S).
12. Faire un schéma électrique équivalent de la bobine (S) en faisant apparaître l’inductanceL, la résistanceR et la fem induiteedans la bobine. On fera apparaître l’intensitéidu courant qui circule dans la bobine.
13. Écrire l’équation différentielle (E) vérifiée par l’intensité du couranti(t)circulant dans (S). Pour alléger les notations, on pourra poser :Ω =ω0−ωetΦ0=N SB0.
Dans la suite du problème, on suppose le régime forcé établi :Ω =constante.
On note :i(t) =imsin(Ωt−ψ)la solution de l’équation (E) en régime établi.
2017–2018 page 3/4
TSI1 – Physique-chimie DS8 : Induction et thermodynamique – 26/05/2018
14. Exprimerimetψen fonction deΩet des données du problème.
15. Définir le moment magnétiqueM~ associé à la bobine plate (S).
16. Expliciter l’action mécanique de Laplace s’exerçant sur la bobine (S).
17. Exprimer le coupleΓ(t)en fonction deΩet des données du problème.
18. Dans un fonctionnement usuel, c’est la valeur moyenne temporellehΓidu couple qui intervient.
Montrer que :hΓi= Γ0(1−X)
1 +λ2(1−X)2 avecX=ω/ω0. On exprimeraλetΓ0en fonction des données du problème.
19. Tracer l’allure dehΓi/Γ0en fonction deXen prenantλ= 4. Commenter l’allure de la courbe obtenue, notamment sous l’angle du moteur asynchrone.
Dans la suite du problème, on considère la plage de vitesse :0< ω < ω0.
20. On s’intéresse à la stabilité du moteur en cours de fonctionnement. La partie utilisatrice impose une valeur dehΓi, on trouve alors en général deux valeurs possibles de ω :ω1 et ω2 > ω1. Montrer qualitativement que la valeur deω2 correspond à un régime stable.
21. Exprimer la valeur moyenne temporellehPide la puissance mécanique fournie par le moteur. Commenter l’expression obtenue.
Exercice 3: Transformation cycliqe d’un gaz parfait
On considèrenmoles de gaz parfait monoatomique enfermé dans un cylindre fermé par un piston mobile. Initialement, le volume du cylindre estV1, la pression du gaz estP1et sa températureT1, c’est l’état 1 . Le cylindre est en contact thermique avec un réservoir d’eau à la températureT1. Dans toute la première partie, le réservoir d’eau est considéré comme un thermostat.
Le gaz subit la série de transformations suivante :
— Compression adiabatique quasistatique jusqu’au volumeV2< V1: état 2 ;
— Refroidissement isochore pour revenir à la températureT1du thermostat : état 3 ;
— Détente isotherme quasistatique pour revenir à l’état 1 .
T1
1
Adiabatique
T1
2
isochore
T1
3
isotherme
T1
1
Pour une transformation adiabatique quasistatique, la loi de Laplace indique qu’à chaque instant de la transformation on a P Vγ = constanteavecγ=53 pour un gaz parfait monoatomique.
1. Rappeler le premier principe de la thermodynamique pour un système au repos.
2. Qu’est-ce qu’une transformation adiabatique, en pratique quelles sont les transformations que l’on pourra considérer comme adiabatiques ?
3. Qu’est-ce qu’une transformation isotherme, en pratique quelles sont les transformations que l’on pourra considérer comme isothermes ?
4. Exprimer la pressionP2atteinte par le gaz dans l’état 2 en fonction deP1,V1etV2.
5. En déduire l’expression de la températureT2atteinte par le gaz dans l’état 2 en fonction deT1,V1etV2. 6. Représenter les transformations subies par le gaz dans un diagramme(P, V).
7. Montrer que le travail des forces de pression reçu par le gaz lors de la transformation 1→2 vaut : W12= 3
2P1V1 V1
V2
γ−1
−1
!
On pourra au choix calculer l’intégrale donnant le travailW12ou utiliser le premier principe entre les états 1 et 2.
8. Que vaut le travailW23reçu par le système lors de la transformation2→3? Exprimer la chaleurQ23reçue par le système au cours de cette transformation en fonction deT1etT2. On pourra judicieusement appliquer le premier principe.
9. Exprimer le travailW31et la chaleurQ31reçus par le système au cours de la transformation3→1en fonction deV2et V1.
10. Montrer qu’au cours d’un cycle, le travail et la chaleur reçus par le système sont : W =P1V1
"
3 2
V1
V2
γ−1
−1
!
−lnV1
V2
#
et Q=−W
11. Quel est le signe deW? Quel est le signe deQ? On pourra donner un argument physique, ou étudier mathématiquement le signe deW etQ.
12. Expliquer qualitativement ce qu’il va se passer avec l’eau du réservoir lorsqu’on effectue un grand nombre de cycles identiques. Pourra-t-on toujours le considérer comme un thermostat ?
2017–2018 page 4/4
