SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT– ´ETIENNE, MINES DE NANCY, T ´EL ´ECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILI `ERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI `´ ERE TSI) CONCOURS D’ADMISSION 2011 SECONDE ´EPREUVE DE PHYSIQUE
Fili`ere PC
(Dur´ee de l’´epreuve: 4 heures) L’usage de la calculatrice est autoris´e
Sujet mis `a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE–EIVP Les candidats sont pri´es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi`ere page de la copie :
PHYSIQUE II — PC.
L’´enonc´e de cette ´epreuve comporte 6 pages.
– Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il est invit´e `a le signaler sur sa copie et `a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´et´e amen´e `a prendre.
– Il ne faudra pas h´esiter `a formuler les commentaires (incluant des consid´erations num´eriques) qui vous sembleront pertinents, mˆeme lorsque l’´enonc´e ne le demande pas explicitement. Le bar`eme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualit´es de r´edaction de la copie.
FIBRE OPTIQUE ` A SAUT D’INDICE
L’´epreuve est constitu´ee de trois parties ind´ependantes. La premi`ere partie concerne l’´etude de la propagation de la lumi`ere dans une fibre optique dans le cadre de l’optique g´eom´etrique. La deuxi`eme partie compl`ete la premi`ere en ´etudiant la structure transverse d’une onde ´electromagn´etique dans la fibre, et les conditions d’obtention d’une fibre monomode. Enfin, la derni`ere partie traite des effets non lin´eaires dans la fibre, notamment de l’effet Kerr optique. Apr`es une mod´elisation microscopique de ce dernier, on s’int´eresse au ph´enom`ene d’auto-modulation de phase et `a l’existence possible de solitons optiques. Les applications num´eriques seront donn´ees avec 3 chiffres significatifs.
Une fibre optique `a saut d’indice, repr´esent´ee sur la figure 1 est form´ee d’un cœur cylindrique en verre d’axe(Ox), de diam`etre 2aet d’indicenentour´e d’une gaine optique d’indicen1l´eg`erement inf´erieur `an. Les deux milieux sont suppos´es homog`enes, isotropes, transparents et non charg´es. Un rayon situ´e dans le plan(Oxy)entre dans la fibre au pointOavec un angle d’incidenceθ. Afin de ne pas confondre l’angleid’incidence sur la gaine avec le nombre complexe imaginaire pur de module 1, on notera ce dernier jtel que j2=−1. Quelques constantes sont donn´ees en fin d’´epreuve. Les vecteurs sont surmont´es d’un chapeau,bux, s’ils sont unitaires ou d’une fl`eche,~E, dans le cas g´en´eral.
I. — Approche g´eom´etrique de la propagation
Dans cette partie, les rayons lumineux sont suppos´es issus d’une radiation monochromatique de fr´equencef, de pulsationωet de longueur d’ondeλ dans le milieu constituant le cœur.
1 —Les diff´erents angles utiles sont repr´esent´es sur la figure 1. `A quelle condition suri, angle d’incidence `a l’interface cœur/gaine, le rayon reste-t-il confin´e `a l’int´erieur du cœur ? On note iℓ l’angle d’incidence limite.
x
gaine d’indice n1(milieu 1) gaine d’indice n1(milieu 3)
Cœur d’indice n(milieu 2) y
+a
-a O air
indice 1,000
i r
µ
FIG. 1 – Fibre optique en coupe
2 —Montrer que la condition pr´ec´edente est v´erifi´ee si l’angle d’incidenceθ est inf´erieur `a un angle limiteθℓdont on exprimera le sinus en fonction denetiℓ. En d´eduire l’expression de l’ouverture num´eriqueON=sinθℓde la fibre en fonction denetn1uniquement.
3 —Donner la valeur num´erique deONpourn=1,50 etn1=1,47.
On consid`ere une fibre optique de longueurL. Le rayon entre dans la fibre avec un angle d’incidence θvariable compris entre 0 etθℓ. On notecla vitesse de la lumi`ere dans le vide.
4 —Pour quelle valeur de l’angleθ, le temps de parcours de la lumi`ere dans la fibre est-il minimal ? maximal ? Exprimer alors l’intervalle de tempsδtentre le temps de parcours minimal et maximal en fonction deL,c,netn1.
5 —On pose 2∆=1−(n1/n)2. On admet que pour les fibres optiques∆≪1. Donner dans ce cas l’expression approch´ee deδten fonction deL,c,net∆. On conservera cette expression deδtpour la suite du probl`eme.
On injecte `a l’entr´ee de la fibre une impulsion lumineuse d’une dur´ee caract´eristiquet0=t2−t1form´ee par un fais- ceau de rayons ayant un angle d’incidence compris entre 0 etθℓ. La figure 2 ci-contre repr´esente l’allure de l’amplitude Adu signal lumineux en fonction du tempst.
6 —Reproduire la figure 2 en ajoutant `a la suite l’al- lure du signal lumineux `a la sortie de la fibre. Quelle est la dur´ee caract´eristiquet′0de l’impulsion lumineuse en sortie de fibre ?
Le codage binaire de l’information consiste `a envoyer des impulsions lumineuses (appel´ees«bits») p´eriodiquement avec une fr´equence d’´emissionF.
t A
t0
t1 t2
FIG. 2 – Impulsion lumineuse 7 —En supposantt0n´egligeable devantδt, quelle condition portant sur la fr´equence d’´emission Fexprime le non-recouvrement des impulsions `a la sortie de la fibre optique ?
Pour une fr´equenceF donn´ee, on d´efinit la longueur maximaleLmaxde la fibre optique permettant d’´eviter le ph´enom`ene de recouvrement des impulsions. On appelle bande passante de la fibre le produitB=Lmax·F.
8 —Exprimer la bande passanteBen fonction dec,net∆.
9 —Calculer la valeur num´erique de∆et de la bande passanteB(exprim´ee en MHz·km) avec les valeurs denetn1donn´ees dans la question 3. Pour un d´ebit d’information deF=100 Mbits.s−1= 100 MHz, quelle longueur maximale de fibre optique peut-on utiliser pour transmettre le signal ? Commenter la valeur deLmaxobtenue.
FIN DE LA PARTIE I
II. — Approche ondulatoire de la propagation
10 —A quelle condition sur` λetal’´etude g´eom´etrique de la fibre men´ee dans la partie pr´ec´edente cesse-t-elle d’ˆetre valable ? Dans ce cas, une approche ondulatoire de la propagation est n´ecessaire.
II.A. — ´ Etude de la structure transverse de l’onde
En lumi`ere monochromatique, seules certaines formes d’ondes, appel´ees«modes», peuvent se pro- pager dans la fibre. Chaque mode se propage `a une vitesse diff´erente, ce qui engendre l’´etalement des impulsions lumineuses et donc r´eduit la bande passante. Pour am´eliorer les performances, les fabri- cants de fibres optiques ont ´et´e amen´es `a ´elaborer des fibres `a saut d’indice dites«monomodes»: un seul mode peut s’y propager, ce qui a pour effet de diminuer consid´erablement l’´etalement des im- pulsions. La bande passante des fibres monomodes est ainsi beaucoup plus ´elev´ee que celle calcul´ee
`a la question 9. Cette partie se propose d’´etudier les conditions d’obtention d’une fibre optique `a saut d’indice monomode.
On ´etudie donc la propagation d’un champ ´electromagn´etique de pulsationω dans la direction des xpositifs. Pour simplifier, on se limite aux solutions pour lesquelles~Eest polaris´e suivantubz, avec (bux,buy,buz)tri`edre direct. On note
~E1le champ ´electrique dans le milieu 1 y<−a d’indicen1
~E2le champ ´electrique dans le milieu 2−a<y<a d’indicen
~E3le champ ´electrique dans le milieu 3 y>a d’indicen1
En notation complexe, et en simplifiant la g´eom´etrie du syst`eme, les champs sont recherch´es sous la forme :
~Es=es(y)ej(ωt−kx,sx)ubz aveckx,sr´eel ets=1,2 ou 3
11 —En utilisant les relations de passage `a la travers´ee d’un dioptre entre deux milieux di´electriques non charg´es, montrer quekx,1=kx,2=kx,3=kx.
12 —En utilisant l’´equation de propagation du champ~Edans un milieu di´electrique d’indicen, montrer que les fonctionses(y)sont solutions de l’´equation diff´erentielle
d2es
dy2 −µses=0 pours=1,2 et 3
On donnera l’expression deµspour chacune des trois r´egions en fonction dekx,ω,cetnoun1. Afin que la fibre optique soit effectivement un guide d’onde, on doit fixer les param`etresµsde cette
´equation de telle mani`ere que ses solutions soient des ondes stationnaires suivant(Oy)dans le cœur, et ´evanescentes suivant(Oy)dans la gaine. Dans les trois r´egions consid´er´ees, les fonctionses(y) s’´ecriront donc sous la forme
e1(y) =Aeαy e2(y) =B
ejβy+εe−jβy e3(y) =εAe−αy
o`uαetβsont deux r´eels positifs. Les coefficientsAetBsont fix´es grˆace aux conditions aux limites du probl`eme et le param`etreε=±1 permet d’obtenir les deux familles de solutions. On poserak=nω/c etkx=kcosro`u l’angler∈[0,π/2]correspond `a l’angle de r´eflexion repr´esent´e sur la figure 1.
13 —Exprimerβen fonction deketr, puisαen fonction dek,r,netn1.
14 —Pournetn1donn´es, quelle est la valeur maximalerℓder? En d´eduire la valeur minimaleiℓ deiet commenter le r´esultat obtenu.
15 —A partir des ´equations de Maxwell, d´eterminer l’expression de la repr´esentation complexe` du champ magn´etique dans chacun des trois milieux.
16 —On poseδ=eαaetγ=ejβa. En utilisant les relations de continuit´e des champs eny=a, obtenir deux ´equations liantA,B,ε,α,β,γetδ.
17 —En d´eduire, dans chacun des casε= +1 ouε=−1, la relation que doivent v´erifierα,β eta. Montrer que la r´eunion des deux cas se r´esume en la conditionβa+arctan(β/α) =pπ/2 avec p∈ Z. On rappelle que siϑ>0, alors arctan(ϑ) =π/2−arctan(ϑ−1).
Commeβetαsont des fonctions der, on poseβa+arctan(β/α) =f(r). Pouradonn´e, on admet que la fonctionr7−→f(r)est strictement croissante sur[0,rℓ]. Quand elle existe, la solution de l’´equation
f(r) =pπ/2 est donc unique.
On souhaite r´ealiser une fibre monomode, c’est-`a-dire une fibre dans laquelle l’angler ne puisse prendre qu’une seule valeur pour la radiation de longueur d’ondeλ =2π/kutilis´ee. Pour les appli- cations num´eriques, on prendraλ =709 nm.
18 —D´eterminer la valeur maximale fmaxde f(r)sur l’intervalle[0,rℓ]. Montrer que sip=1, la fibre est monomode quelles que soient les valeurs deaetλ. Montrer que sip≥2, l’´equation f(r) =pπ/2 n’a de solution que sia>aℓo`uaℓest un rayon minimal que l’on exprimera en fonction dep,λ,netn1.
19 —Dans la pratique, afin de r´ealiser une fibre monomode, on prendra un rayona<aℓet seul le mode associ´e `ap=1 se propagera dans la fibre. Calculer la valeur deaℓpourp=2 et commenter le r´esultat obtenu.
II.B. — Dispersion intramodale
Mˆeme dans une fibre monomode, un autre ph´enom`ene provoque l’´etalement des impulsions lumi- neuses. En effet, le cœur de silice est un milieu dispersif, c’est-`a-dire que son indice optique d´epend de la fr´equence du rayonnement. Aux fr´equences optiques, les fibres optiques sont g´en´eralement le si`ege d’une dispersion dite«anomale», pour laquelle les composantes haute fr´equence se propagent plus vite que les composantes basse fr´equence.
Or, la dur´ee finie des paquets d’onde ´emis par les sources implique que l’onde qui se propage dans la fibre n’est jamais strictement monochromatique. Toutes les compo- santes fr´equentielles du paquet d’onde ne se propageant pas
`a la mˆeme vitesse dans la fibre, un ´elargissement tempo- rel de l’impulsion apparaˆıt au cours de la propagation. Ce ph´enom`ene est appel´e«dispersion intramodale»ou«dis- persion chromatique».
20 — La figure 3 repr´esente le profil temporel du champ ´electrique scalaire E(0,t) d’un paquet d’onde
«gaussien»inject´e `a l’entr´eex=0 de la fibre. L’origine des temps est choisie telle que le centre du paquet d’onde passe enx=0 `at=0.
Repr´esenter l’allure du profil temporel du champ ´electrique scalaireE(xfix´e,t)du paquet d’onde apr`es propagation dans la fibre.
E(0,t)
t
FIG. 3 – Paquet gaussien FIN DE LA PARTIE II
III. — Ph´enom`ene optique non lin´eaire : effet Kerr
Quand l’amplitude du champ ´electrique de l’onde se propageant dans le cœur de la fibre n’est plus n´egligeable (i. e.≥1%) devant le champ ´electrique intra-atomique assurant la coh´esion de l’atome, des ph´enom`enes optiques non lin´eaires peuvent apparaˆıtre.
21 —On rappelle que la puissance par unit´e de surface transport´ee dans un milieu d’indicenpar une onde plane progressive d’amplitudeE0, aussi appel´eeintensit´e lumineuse, s’´ecritI=nε0cE02/2.
D´eterminer l’ordre de grandeur de l’intensit´e lumineuse au del`a de laquelle la propagation peut don- ner lieu `a des ph´enom`enes optiques non lin´eaires ? Quelle invention du XXesi`ecle a-t-elle permis d’atteindre de telles puissances surfaciques ?
III.A. — Mod´elisation microscopique
Dans cette partie, on propose une mod´elisation microscopique des interactions lumi`ere/mati`ere per- mettant d’expliquer l’effet Kerr optique, c’est-`a-dire l’apparition d’une variation d’indice dans le milieu proportionnelle `a l’intensit´e du faisceau lumineux qui s’y propage. Le mod`ele microscopique de l’´electron li´e suffit ici `a rendre compte des propri´et´es essentielles que l’on cherche `a mettre en
´evidence. On notez(t)l’´ecart `a la position d’´equilibre d’un ´electron de massemet de charge−e.
Sous l’action de la force exerc´ee par un champ ´electrique~E=E0cos(ωt−kx)ubzde forte puissance polaris´e suivantOz, on suppose que l’´electron est, par r´eaction, soumis `a une force de rappel compor- tant un terme harmonique et un terme de correction anharmonique :
~F=
−mω02z+κm2ω03
¯ h z3
b uz
o`uω0est la pulsation de r´esonance de l’atome et ¯h= h
2π la constante de Planck r´eduite. Dans toute cette partie, on suppose que la pulsation de l’onde incidente est diff´erente de la pulsation de r´esonance du syst`eme mais suffisament proche de celle-ci soitω6=ω0maisω≃ω0. On note ´egalement :
• Nle nombre d’atomes par unit´e de volume
• χL= Ω2
ω02−ω2la susceptibilit´e lin´eaire, avecΩ2=Ne2 ε0m
• nL=√
1+χLl’indice du milieu«lin´eaire»
• ξ=κ ω03 (ω02−ω2)3
(eE0)2 m¯h
22 —Quelle est la dimension du coefficientκtraduisant l’importance du ph´enom`ene non lin´eaire ? 23 —Etablir l’´equation v´erifi´ee par la fonction´ z(t).
Pour r´esoudre cette ´equation, on utilise un d´eveloppement perturbatif aux diff´erentes puissances de κ. On pose alorsz(t) =z0(t) +κz1(t)avecz0(t)solution de l’´equation diff´erentielle lin´eaire obtenue pourκ=0, etz1(t)perturbation obtenue en ne conservant dans l’´equation diff´erentielle que les termes du premier ordre enκ.
24 —D´eterminer l’expression dez0(t).
25 —D´eterminer l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee parz1(t). On admettra que siωest suffisament proche deω0la solution de cette ´equation s’´ecrit
z1(t)≃ −ξ 4κ
eE0
m 3
ω02−ω2cos(ωt−kx) + 1
ω02−9ω2cos[3(ωt−kx)]
Quelle est l’origine math´ematique du terme en cos(3(ωt−kx))contenu dans cette solution ?
26 —On noteχla susceptibilit´e ´electrique du milieu etPzla composante selon l’axeOzdu vecteur polarisation~P. D´eterminer les expressions dePzen fonction deN,e,z0,κ etz1d’une part, etε0,χet E0cos(ωt−kx)d’autre part. On supposera le milieu isotrope et lin´eaire, cette approximation n’est pas en d´esaccord avec le d´eveloppement perturbatif ´etudi´e ici.
27 —En ne conservant que le terme de pulsationω dansz0(t)etz1(t), d´eduire de la question pr´ec´edente l’expression de l’indicendu milieu en fonction denL,χLetξ.
III.B. — Auto-modulation de phase par effet Kerr
Dans le visible (ω≪ω0), on peut supposer que les diff´erents indices ne varient pas avec la fr´equence.
Cette hypoth`eses revient `a supposer que le milieu est non dispersif. La structure transverse de l’onde se propageant dans la fibre a ´et´e ´etudi´ee dans la partie II. Dans cette partie on se propose d’´etudier l’influence des non lin´earit´es optiques sur la structure longitudinale de l’onde. On suppose qu’en notation complexe le champ ´electrique dans la fibre peut se mettre sous la forme~E=E(x,t)ubzavec
E(x,t) =A(x,t−k0′x)ej(ω0t−k0x) aveck′0= dk dω(ω0)
On admet que dans les conditions du probl`eme, l’enveloppe A(x,t)de l’impulsion est solution de l’´equation
∂A
∂x(x,t) =jΓ|A(x,t)|2A(x,t) o`uΓd´epend de l’indice du milieu de propagation mais pas du tempst.
28 —Montrer que le module deA(x,t)ne d´epend pas dex.
29 —On poseA(0,t) =a(t). On admettra quea(t)est r´eel. Donner les expressions de l’enveloppe A(x,t)puis du champE(x,t).
30 —On noteE(x,t) =|E(x,t)|ejφ(x,t). Pour un paquet d’onde gaussien centr´e surt=0 de profil temporela(t) =a0e−t2/2τ02, d´eterminer l’expression de la pulsation instantan´eeω(x,t) =∂ φ
∂t(x,t)puis tracer son allure en fonction du temps pour une valeur fix´ee non nulle dex.
31 —La courbe trac´ee `a la question pr´ec´edente donne la distribution spectrale autour de la pul- sation centraleω0du paquet d’onde gaussien pour le front montant (t<0) et descendant (t>0) de ce paquet. En d´eduire comment est d´eform´e un paquet d’onde gaussien (repr´esent´e sur la figure 3) au cours de sa propagation dans un milieu pr´esentant un effet Kerr optique. Ce ph´enom`ene est appel´e automodulation.
III.C. — Principe de propagation de solitons optiques
32 —On consid`ere que la fibre optique ´etudi´ee est `a la fois le si`ege d’un ph´enom`ene de dispersion intramodale (cf. partie II.B) et d’un ph´enom`ene d’automodulation (cf. partie III.B). Montrer qualita- tivement qu’on peut envisager la propagation d’un paquet d’onde sans d´eformation. Un tel mode de propagation est appel´esoliton optique.
FIN DE LA PARTIE III Donn´ees num´eriques :
– vitesse de la lumi`ere dans le vide :c=3,00·108m·s−1 – charge ´el´ementaire :e=1,60·10−19C
– permittivit´e du vide :ε0=8,85·10−12F·m−1
FIN DE L’ ´EPREUVE
