Nom, prénom : Lundi 17 mai – 1h00
Devoir surveillé n°9
Exponentielle
EXERCICE9.1(6 points).
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule des réponses proposées est correcte.
On demande de cocher celle que vous pensez être correcte sachant qu’une réponse juste rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point et qu’une absence de réponse n’apporte ni n’enlève de point.
1. Le nombre e3ln(2)est égal à
l 9 l 8 l 2e3
2. Le nombre e23×e13 est égal à
l e l 1 l e29
3. Le nombre−3 est solution de l’équation :
l lnx= −ln 3 l ln (ex)= −3 l elnx= −3 4. L’équation e−3x=5 admet pour solution dansR:
l −ln(5)3 l 3+ln(5) l −ln¡5
3
¢
5. L’inéquation ex−364 a pour ensemble de solutions dansR:
l S=]− ∞; 4+ln(3)] l S=]− ∞; 7] l S=]− ∞; 3+ln(4)]
6. Soitf la fonction dérivable surRdéfinie par :f(x)=(2x+3)e−x. Sa fonction dérivéef′est donnée par :
l f′(x)=2e−x l f′(x)=(−2x−3)e−x l f′(x)=(−2x−1)e−x EXERCICE9.2(6 points).
La fonctionf est définie sur [−2; 2] par :
f(x)=1
2e2x−2x−1,5 1. Donner les valeurs exactes de :
(a) f(0).
(b) f³ln(2)
2
´. (c) f(1).
2. On notef′la fonction dérivée def. (a) Calculerf′(x).
(b) Résoudre dans [−2; 2] l’inéquation e2x−2>0.
(c) En déduire le tableau des variations de la fonctionf en y indiquant la valeur exacte de l’extremum.
David ROBERT 79
Nom, prénom : Lundi 17 mai – 1h00
EXERCICE9.3(8 points).
Une entreprise de maroquinerie fabrique des sacs.
On désigne parxle nombre de centaines de sacs fabriqués par jour dans l’entreprise.
Le coût de fabrication dexcentaines de sacs, exprimé en centaines d’euros, est donné par :C(x)=2x+e0,5x.
Chaque sac est vendu 10 euros, on noteR(x) la recette, exprimée en centaines d’euros, correspondant à la vente dex centaines de sacs. On a doncR(x)=10x.
Partie 1 – Lectures graphiques
Voici les représentations graphiques des fonctionsCetR:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
x y
1. Parmi ces deux représentations graphiques, quelle est celle de la fonctionR? 2. À l’aide du graphique, recopier et compléter le tableau suivant :
x 8
C(x) 10
R(x) 40
3. Arrondir à la centaine de sacs, combien de centaines de sacs faut-il fabriquer pour que l’entreprise soit certaine d’être bénéficiaire ?
Partie 2
On noteB(x) le bénéfice journalier, exprime en centaines d’euros réalisé par l’entreprise.
1. Montrer queB(x)=8x−e0,5x.
2. (a) CalculerB′(x). La notationB′désigne la fonction dérivée de la fonctionB.
(b) Montrer que dans [0 ; 15], résoudreB′(x)60 revient à résoudre l’inéquation e0,5x>16.
(c) Dresser le tableau de variations de la fonctionBsur [0 ; 15].
(d) En déduire la valeur exacte dexpour laquelleBadmet un maximum. On donnera une valeur arrondie de cette valeur exacte à 10−2.
3. En déduire la valeur maximale du bénéfice arrondi à l’euro.
80 http ://perpendiculaires.free.fr/
