CALCUL DE CHAMPS DE PRESSIONS PAR UNE FORMULATION INTEGRALE INTEGRAL FORMULATION AND PRESSURE COMPUTATION

CALCUL DE CHAMPS DE PRESSIONS PAR UNE FORMULATION INTEGRALE

INTEGRAL FORMULATION AND PRESSURE COMPUTATION

H. MACHROUKI*, S. HUBERSON*,

* HydEE, Institut Pprime,

CNRS-Universit´ e de Poitier- ENSMA, UPR 3346 [email protected]

[email protected]

R´ esum´ e

On pr´ esente une m´ ethode pour calculer le champ de pression d’un ´ ecoulement bi- dimensionnel tourbillonnaire instationnaire pour un fluide incompressible visqueux. Le calcul de la pression est r´ ealis´ e en deux ´ etapes. Dans la premi` ere, on calcule le champ de pression induit par la vitesse seule par la r´ esolution de l’´ equation de Poisson habituelle sans prendre en compte les fronti` eres. ce probl` eme est discr´ etis´ e sur un maillage cart´ esien r´ egulier par une m´ ethode de volumes finis. La deuxi` eme ´ etape est une correction harmo- nique calcul´ ee afin de tenir compte des conditions aux limites. Cette ´ etape est r´ ealis´ ee par la r´ esolution d’une ´ equation int´ egrale de Fredholm de second esp` ece. Les propri´ et´ es de la m´ ethode sont illustr´ ees par deux applications. La premi` ere concerne un champ de vitesse calcul´ e num´ eriquement par DNS coupl´ e avec la m´ ethode des fronti` eres immerg´ ees, et la deuxi` eme un champ de vitesse mesur´ e par la m´ ethode PIV.

Summary

A computational method for the pressure field of the two-dimensional unsteady flow of an inviscid and incompressible fluid is presented. The pressure is computed with a two steps procedure. In the first step, the part of the pressure field due to the velocity field alone is computed by solving a Poisson equation without accounting for the boundaries.

This step is performed by means of a finite-volume scheme on a regular cartesian mesh.

In the second step, an harmonic correction is applied in order to satisfy the boundary

conditions, resulting in a second kind Fredholm integral equation. The properties of the

method are illustrated through two examples, one starting from a computed velocity field

and the other from a measured velocity field

I – Introduction

Le travail pr´ esent´ e ici trouve son origine dans une discussion avec G´ erard Delhom- meau au sujet des m´ ethodes Smooth Particle Hydrodynamic (SPH) et des similitudes entre celles-ci et les m´ ethodes dites Vortex. Il s’agit dans les deux cas de m´ ethodes par- ticulaires, mais associ´ ees ` a des formulations diff´ erentes des ´ equations de Navier-Stokes, vitesse-pression pour les premi` eres, vitesse-tourbillon pour les secondes. Le transfert de

”technologies” entre les deux types de m´ ethodes a permis ` a chacune des am´ elioration signi- ficatives. C’est ainsi que la renormalisation introduite en SPH par Gingold et Monaghan[5]

d` es le d´ epart et analys´ e en d´ etail par Villa[13] par la suite a permis de r´ esoudre le probl` eme de l’inhomog´ en´ e¨ıt´ e des r´ epartitions de particules, les techniques de remaillage introduite dans les m´ ethodes vortex par Joll` es[8] am´ eliore sensiblement les r´ esultats des m´ ethodes SPH pour des temps longs et les techniques de calcul rapide type Tree-code de Greengard et Rocklin[6] sont aujourd’hui couramment employ´ ee par les deux m´ ethodes. Enfin, le cal- cul semi-direct de la pression par r´ esolution de l’´ equation de Poisson a ´ et´ e introduit dans les m´ ethodes SPH par Cummins et Rudman[2] en remplacement de la m´ ethode de com- pressibilit´ e artificielle et perfectionn´ e par la suite pour donner les m´ ethodes XSPH. Il faut cependant noter que, compte tenu de l’aptitude des m´ ethodes SPH ` a fournir des r´ esultats spectaculaires ` a des probl` emes tr` es difficiles, souvent inaccessibles aux m´ ethodes Vortex, les efforts ont souvent port´ e sur des aspect sp´ ecifiques de ceux-ci et les techniques que nous venons de passer en revue ne sont pas encore, loin s’en faut, d’un usage g´ en´ eralis´ e.

On trouve ainsi, ` a cˆ ot´ e de d´ eveloppements ayant pour objectif l’am´ elioration de la qualit´ e des r´ esultats ([1], [3]) des recherches dont le but est d’´ etendre le champ d’application des m´ ethodes SPH ([11],[12]) en travaillant sur une version de la m´ ethode plus proche de la forme originale de Gingold et Monaghan. Nous nous pla¸cons ici dans le premier cadre, et nous allons concentrer nos efforts sur le calcul de la pression ` a partir du champ des vitesses.

Le calcul du champ de pression est tr` es souvent indispensable ` a l’exploitation d’un r´ esultat, qu’il soit num´ erique ou exp´ erimental. D’un point de vue pratique, deux types de difficult´ es principales sont rencontr´ ees : il n’existe g´ en´ eralement pas de conditions aux limites explicites pour la pression ce qui concerne surtout la premi` ere cat´ egorie de m´ ethodes, et les efforts sont concentr´ es sur la construction du champ de vitesse ; dans le cas de m´ ethodes num´ eriques, cela est dˆ u principalement ` a la forme des ´ equations alors que les techniques exp´ erimentales non intrusives type VDL ou PIV sont, elles, d´ edi´ ees ex- clusivement aux champ des vitesses. Le probl` eme qui nous int´ eresse ici est la construction d’un champ de pression ` a posteriori partant d’une d´ efinition suppos´ ee bonne du champ des vitesses. Ce probl` eme d´ epasse donc largement le cadre des m´ ethodes SPH et la m´ ethode que nous proposons s’applique tout aussi bien, pour les cas num´ eriques ` a des m´ ethodes de fronti` eres fictives, pour les cas exp´ erimentaux ` a des champs de mesures PIV par exemple.

Dans tous les cas, nous consid´ erons un ´ ecoulement tourbillonnaire instationnaire d’un fluide incompressible visqueux.

II – Formulation

On consid` ere un obstacle Ω ⁰ d´ elimit´ e par la surface S ₀ et plac´ e dans un domaine Ω de

fronti` ere ext´ erieure S ∞ . On note ∂Ω = S <sub>0</sub> ∪ S ∞ et n le vecteur normal sortant ` a ∂Ω (figure

1). L’´ ecoulement, dans le domaine Ω, est tourbillonnaire instationnaire et on suppose que

la fronti` ere S <sub>∞</sub> est dans une r´ egion o` u la vitesse peut ˆ etre suppo´ ee uniforme. Enfin, le

fluide est newtonien et incompressible.

Figure 1 – domaine de calcul

L’´ ecoulement est solution des ´ equations de Navier Stokes dont l’´ equation de conservation de la quantit´ e de mouvement est ´ ecrite sous la forme :

∂ u

∂t + ω ∧ u − ν∆u − g = −∇h (1)

o` u u est la vitesse du fluide, ω le tourbillon, g la gravitat´ e, ρ la masse volumique et h = p/ρ + u <sup>2</sup> /2. Le calcul de la pression ne sera pas fait directement, mais ` a travers h qui est l’inconnu de notre probl` eme. Pour ´ evaluer h, on applique l’op´ erateur divergence

`

a l’´ equation pr´ ec´ edente. L’incompr´ essibilt´ e du fluide nous permet d’obtenir l’´ equation de Poisson (2). L’unicit´ e de la solution est obtenue par l’imposition d’une condition de Neumann sur la surface de l’obstacle S 0 et d’une condition de Dirichlet sur la surface ext´ erieure S ∞ .



 

 

∆h = −∇(ω ∧ u) dans Ω

∂h

∂n = g ₁ sur S ₀ h = g ₂ sur S ∞

(2)

o` u g 1 = − (∂u/∂t + ω ∧ u − ν∆u − g) · n et g 2 = h ∞

Nous allons r´ esoudre ce probl` eme par une m´ ethode mixte int´ egro-diff´ erentielle. Celle- ci peut ˆ etre vue comme une extension de la formulation purement int´ egrale utilis´ ee par Cantaloube & Rehbach [4].

II – 1 d´ ecomposition du probl` eme

Nous avons construit une m´ ethode de r´ esolution en deux ´ etapes en utilisant la lin´ earit´ e de l’´ equation (2) par rapport ` a la pression. Nous utilisons la d´ ecomposition de h suivante :

h = h _ω + h _γ (3)

La premi` ere ´ etape consiste alors ` a calculer une valeur de h _ω , cette quantit´ e repr´ esente la contribution ` a la pression du champ de vitesse calcul´ e ou mesur´ e. h <sub>ω</sub> est la solution de l’´ equation de Poisson habituelle (4) dans le domaine Ω ∪ Ω <sup>0</sup> . Les conditions aux limites peuvent ˆ etre fix´ ees arbitrairement dans la mesure o` u une correction harmonique sera cal- cul´ ee ` a l’´ etape suivante. Par cons´ equent, on ne tient pas compte de la pr´ esence des parois solides et on utilise une simple condition de dirichlet sur les fronti` eres ext´ erieures.

( ∆h _ω = −∇(ω ∧ u) dans Ω ∪ Ω ⁰ h _ω = h ∞ sur S ∞

(4)

Dans la deuxi` eme ´ etape, h <sub>γ</sub> est calcul´ ee de mani` ere ` a ce que la somme h <sub>ω</sub> + h <sub>γ</sub> soit solution du probl` eme initial. Le probl` eme d´ efinissant h <sub>γ</sub> est donc directement obtenu par simple soustraction du probl` eme pr´ ec´ edent ` a celui dont h est solution soit :



 

 

∆h _γ = 0 dans Ω

∂h

∂n = g ₁ sur S ₀ h = 0 sur S ∞

(5)

Ce probl` eme ne sera pas encore r´ esolu directement sous cette forme, mais reformul´ e en int´ egrale de fronti` ere. C’est l’objet de la section suivante.

II – 2 formulation int´ egrale de fronti` ere

la seconde ´ etape utilise une ´ equation int´ egrale de Fredholm de second esp` ece pour apporter la correction h <sub>γ</sub> n´ ecessaire pour tenir compte de la pr´ esence des fronti` eres (surface libre ou parois solides). Pour retrouver cette ´ equation, on applique la deuxi` eme identit´ e de Green ` a (1) :

k h(x) + Z

∂Ω

h(y) ∂G

∂n _y (x,y) ds − Z

∂Ω

G(x,y) ∂h

∂n _y (x,y) ds = Z

Ω

∇ _y (ω ∧ u) G(x,y) dv (6) G ´ etant la solution fondamentale de l’´ equation de Poisson dans un domaine infini. Dans les cas bidimensionnels, G(x,y) = −1/2π log(|x− y|). La valeur de k d´ epend de la position du point observateur x dans le domaine , elle est calcul´ e de la fa¸con suivante :

k = − Z

∂Ω

∂G

∂n _y (x,y) ds (7)

k = 1 dans Ω, k = ¹ ₂ sur S 0 dans le cas o` u la courbe porteuse de S 0 est de classe C ² ( R ) et k = 0 dans Ω ⁰ . On ´ ecrit aussi l’´ equation (4) sous sa formulation integrale et tenant compte du fait que sur S ∞ on a h = h _ω = h ∞ et ∇h = 0 :

h _ω (x) + Z

S

h _ω (y) ∂G

∂n _y (x,y) ds = Z

Ω

∇ _y (ω ∧ u) G(x,y) dv (8)

La diff´ erence des deux ´ equations (6) et (8) nous donne l’´ equation int´ egrale d´ efinissant h _γ o` u les int´ egrations se font seulement sur la surface S ₀ :

k h _γ (x)+

Z

S

h _γ (y) ∂G

∂n _y (x,y) ds = (1−k)h _ω (x)−

Z

S

h _ω (y) ∂G

∂n _y (x,y) ds+

Z

S

G(x,y) ∂h

∂n _y (y) ds (9)

III – discr´ etisation

Le probl` eme 4 permettant de calculer h _ω est r´ esolu sur un maillage cart´ esien r´ egulier ne respectant pas les parois solides. Il est discr´ etis´ e par une m´ ethode de volumes finis.

L’´ equation int´ egrale (9) est r´ esolue avec les techniques habituelles : les fronti` eres sont discr´ etis´ ees en un ensemble de lignes polygonales et l’int´ egrale est ´ evalu´ ee sur chacun des segments constituant ces lignes. La pr´ esence de coins dans le domaine de calcul est une source d’erreur pour les m´ ethodes int´ egrales. Pour am´ eliorer la pr´ ecision de la m´ ethode, la discr´ etisation du noyau de l’int´ egrale a ´ et´ e r´ ealis´ ee ` a l’aide d’une g´ en´ eralisation de la m´ ethode dite de double nœud de Grilli et Svendsen [7].

Cette m´ ethode est bas´ ee sur deux id´ ees principales. D’une part sur un point anguleux, il existe deux d´ efinitions de la normale, d’autre part la meilleure pr´ ecision est obtenue en adaptant le facteur k dans 6 ` a une combinaison lin´ eaire des solutions correspondant ` a chacune de ces deux d´ efinitions. On peut rapporcher cette argumentation de la condition de continuit´ e du noyau de l’´ equation int´ egrale : celui-ci faisant explicitement intervenir la normale, celle-ci doit ˆ etre continue, mˆ eme si elle cesse d’ˆ etre orthogonale ` a la fronti` ere discr´ etis´ ee. Il s’agit en quelque sorte de d´ efinir une approximation r´ eguli` ere de la normale qui ne sera orthogonale, ni ` a la fronti` ere r´ eelle, ni ` a la fronti` ere discr` ete, mais ` a une ap- proximation r´ eguli` ere de la prem` ere. La qualit´ e de cette approximation repose ´ evidemment sur celle de la discr´ etisation locale et sur l’ordre de l’approximation choisie. Avec des fonc- tions constantes par morceaux, donc non-continue, nous retrouvons la m´ ethode de Grilly.

L’´ equation int´ egrale (9) peut ˆ etre ´ ecrite sous la forme matricielle :

[A] [h _γ ] = [B] (10)

[h _γ ] est le vecteur inconnu contenant la valeur de h _γ au centre de chaque segment de la surface. [B] le vecteur second membre sur lequel on fixe les conditions aux limites sur les segments. [A] est une matrice carr´ e o` u on peut lire sur chaque ligne l’influence des points d’int´ egration sur un point d’observation donn´ e.

Sur la figure 2 on pr´ esente l’erreur relative sur la pression hydrostatique calcul´ ee dans une

cuve de dimension [1 × 1].

Figure 2 – Erreur relative de calcul de pression : On remarque qu’avec une discr´ etisation respectant la continuit´ e de vecteur normal au voisinage d’un angle 90˚, l’erreur est moins concentr´ ee et plus faible ce qui est conforme aux analyses th´ eoriques connues de m´ ethodes similaires.

IV – applications

IV – 1 ` a partir d’un champ de vitesse num´ erique

La m´ ethode que nous venons de pr´ esenter ` a ´ et´ e appliqu´ ee ` a diff´ erents exemples de champs de vitesses. Dans le cas d’un champ de vitesse num´ erique, on a utilis´ e les r´ esultats obtenu par un code de calcul DNS coupl´ e avec une m´ ethode de fronti` eres fictives pour mod´ eliser les effets des parois. La configuration choisie est celle d’un ´ ecoulement autour d’un cylindre [10]avec un nombre de Reynolds Re = 150, un nombre de Strouhal Sr = 0.2.

Le cylindre ´ etait d´ ecoup´ e en 100 segments. Les r´ esultats sont pris ` a l’instant t = 3/10T , T ´ etant la p´ eriode de l’´ ecoulement.

Les champs de pression obtenu par les deux m´ ethodes de calcul sont illustr´ es sur la figure 3 . On remarque que le deux champs de pression sont similaires avec un maximum de pression au point d’arrˆ et amont plus accentu´ e dans le cas de la m´ ethode de fronti` eres fictives. L’observation du coefficient de pression ` a la paroi du cylindre pr´ ecise ce r´ esultat : le maximum est le mˆ eme dans les deux cas, mais l’´ etalement de la zone de haute pression est plus fort pour la m´ ethode de fronti` eres fictives. Par ailleurs, les mininma de pres- sion observ´ ees au voisinage des points de s´ eparation sont plus accentu´ es. On retrouvera cette caract´ eristiques dans l’ensemble de l’´ ecoulement ce qui semble indiquer que la partie

”m´ ethode int´ egrale de fronti` ere” amorti moins les extremas que la m´ ethode de fronti` eres

fictives ` a la paroi, mais les ´ etale plus dans le champ. Rappelons que ce dernier ´ etalement

n’est pas li´ e ` a une quelconque dissipation num´ erique puisque le transport est assur´ e dans

les deux cas par la mˆ eme m´ ethode. Il s’agit simplement du r´ esultat d’une int´ egration

moins pr´ ecise de l’´ equation de Poisson car la m´ ethode de fronti` eres ficives, de pr´ ecision

limit´ ee au voisinage des paroois, fait par contre appel ` a des sch´ emas de haute pr´ ecison

partout ailleurs.

Figure 3 – Champ de pression calcul´ e en haut par les fronti` eres fictives, en bas par r´ esolution de l’´ equation de Poisson

Figure 4 – Coefficients de pression sur le cylindre

IV – 2 ` a partir d’un champ de vitesse mesur´ e

Dans le cas d’une application ` a un champ de vitesse mesur´ e, on a choisi l’´ ecoulement autour d’un profil en configuration dite de vol battu [9]. L’exp´ erience a ´ et´ e r´ ealis´ ee dans une cuve d’eau de dimensions 1 × 1 × 2 m <sup>3</sup> . Le profil ´ etudi´ e est une aile NACA0012 de corde et d’envergure respectivement ´ egales ` a 60 et 500 mm. Le mouvement du profil est repr´ esent´ e sur la figure 5 o` u on reconnaˆıtra un mouvement de ”godille”. Il est caract´ eris´ e par une vitesse de translation u ₀ = 0.0166 m/s et un angle d’attaque diff´ erent entre les phases appel´ ees upstroke et downstroke (20˚ et 45˚, respectivement).

Figure 5 – Description du mouvement du profil

Le champ de vitesse est mesur´ e par la m´ ethode PIV (Particle Image Velocimetry). Ces mesure sont effectu´ ees dans le plan de sym´ etrie vertical du profil o` u l’´ ecoulement est sup- pos´ e bidimensionnel. La pertinence de cette hypoth` ese et la qualit´ e des mesures du champ de vitesse sont tr` es importants pour la pr´ ecision du calcul du champ de pression.

La figure 6 illustre les vairations du coefficient de pression C p calcul´ e ` a diff´ erents instants de l’´ ecoulement pendant une p´ eriode T .

Figure 6 – Coefficient de pression sur le profil en fonction du temps

Figure 7 – champ de pression adimensionnel ` a diff´ erents instants

La figure 7 donne la carte du champ de pression adimensionnel calcul´ e ` a diff´ erents ins- tants de l’´ ecoulement pendant une p´ eriode T . On remarque que pendant la phase dite

”de rotation” (t ≤ 0.1 et t ≤ 0.1) ` A t = 0.1 T , le profil est ´ egalement en mouvement de translation et continue ` a tourner jusqu’` a atteindre un angle d’attaque de 20˚. A cause de cette rotation, la pression est tr` es importante au voisinage du bord de fuite cˆ ot´ e ex- trados. ` A t = 0.3 T , le profil est en translation seul et la pression maximale retrouve sa position habituelle au voisinage du bord d’attaque. Enfin, ` a t = 0.6 T , le profil a entam´ e une rotation pour la phase retour jusqu’` a atteindre un angle d’attaque de 45˚. Les forces de pression sont encore tr` es importants au voisinage du bord de fuite cˆ ot´ e extrados et au bord d’attaque la pression est plus ´ elev´ ee que quand le profil ´ etait dans la phase aller ` a cause de la diff´ erence d’angle entre les deux phases. On note enfin, les zones de d´ epression derri` ere le bord de fuite cr´ ees quand le profil est en rotation.

Ces r´ esulats ne peuvent ˆ etre compar´ es ` a des r´ esultats de mesure de pression dans le

champ car de telles mesures n’existent pas. Il faut n´ eanmoins se rappeler que le champ

de vitesse, mˆ eme dans le plan m´ edian, est rarement bidimentionnel. Tout au plus peut on

supposer raisonablement que la composante normale au plan et sa d´ eriv´ ee normale sont

petites, de mˆ eme que celles des autres composantes de la vitesse.

V – Conclusion

La m´ ethode propos´ ee ici permet de construire le champ de pression correspondant ` a un champ de vitesse d´ efini sur un r´ eseau de point non structur´ e. Le probl` eme correspondant n ’est pas uniquement rencontr´ e avec des m´ ethodes particulaires type SPH, mais peut

´

egalement se retrouver dans beaucoup d’autres situations, en particulier exp´ erimentales.

Dans ce dernier cas, plusieurs difficult´ es sont encore pr´ esentes : la plupart des champs de vitesse exp´ erimentaux sont incomplets, ` a la fois parce qu’ils sont mesur´ es sur des r´ eseaux de points non n´ ecessairement r´ eguliers et parce qu’il manque une composante.

L’estimation de l’erreur r´ ealis´ ee avec ces deux pobl` emes reste ` a faire. Enfin, cette m´ ethode a ´ et´ e construite pour am´ eliorer la pr´ ecision des m´ ethodes SPH. Il est ´ evident que son emploi syst´ ematique repr´ esente un accroissement du temps CPU pas toujours acceptable.

Par contre, et parce qu’il s’agit d’une formulation exacte, elle pourrait apporter une correction p´ eriodique au champ des pressions calcul´ ees.

R´ ef´ erences

[1] A. K. Chaniotis, D. Poulikakos, and P. Koumoutsakos. Remeshed smoothed particle hydrodynamics for the simulation of viscous and heat conducting flows. Journal of Computational Physics, 182(1) :67 – 90, 2002.

[2] Sharen J. Cummins and Murray Rudman. An sph projection method. J. Comput.

Phys., 152(2) :584–607, 1999.

[3] Marco Ellero, Mar Serrano, and Pep Espa˜ nol. Incompressible smoothed particle hydrodynamics. Journal of Computational Physics, 226(2) :1731 – 1752, 2007.

[4] B. Cantaloube et C. Rhebach. Calcul de la pression dans ´ ecoulement rotationnel incompressible de fluide parfait. Rech. A´ erosp, 1988.

[5] R. A. Gingold and J. J. Monaghan. Smoothed particle hydrodynamics - theory and application to non-spherical stars. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 181 :375–389, November 1977.

[6] L. Greengard and V. Rokhlin. A fast algorithm for particle simulations. Journal of Computational Physics, 73(2) :325–348, December 1987.

[7] S.T. Grilli and I.A. Svendsen. Corner problems and global accuracy in the boun- dary element solution of nonlinear wave flows. Engineering Analysis with Boundary Elements, 7(4) :178 – 195, 1990.

[8] A. Joll` es S. Huberson and W. Shen. Numerical simulation of incompressible viscous flows by means of particle methods. Lect. Appl. Math, 1991.

[9] Thierry Jardin, Ludovic Chatellier, Alain Farcy, and Laurent David. Correlation bet- ween vortex structures and unsteady loads for flapping motion in hover. Experiments in Fluids, 47 :655–664, 2009. 10.1007/s00348-009-0658-x.

[10] Sylvain Laizet and Eric Lamballais. High-order compact schemes for incompressible

flows : A simple and efficient method with quasi-spectral accuracy. Journal of Com-

putational Physics, 228(16) :5989 – 6015, 2009.

[11] G. Oger, M. Doring, B. Alessandrini, and P. Ferrant. Two-dimensional sph simula- tions of wedge water entries. Journal of Computational Physics, 213(2) :803 – 822, 2006.

[12] J.-M. Cherfils L. Blonce G. Pinon E. Rivoalen. Simulation num´ erique des interactions houle-ouvrages marins. XXVIe Rencontres Universitaires de G´ enie Civile, 2008.

[13] Vila, Jean-Paul. M´ ethodes particulaires r´ egularis´ ees. d´ eveloppements r´ ecents et nou-

velles applications. ESAIM : Proc., 3 :131–146, 1998.