Polarisation de la lumière par les réseaux échelettes dans l'infrarouge lointain

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Polarisation de la lumière par les réseaux échelettes dans l’infrarouge lointain

Christian Janot, Armand Hadni

To cite this version:

Christian Janot, Armand Hadni. Polarisation de la lumière par les réseaux échelettes dans l’infrarouge lointain. Journal de Physique, 1963, 24 (12), pp.1073-1077. �10.1051/jphys:0196300240120107300�.

�jpa-00205706�

LE JOURNAL DE PHYSIQUE

POLARISATION DE LA LUMIÈRE PAR LES RÉSEAUX ÉCHELETTES

DANS L’INFRAROUGE LOINTAIN

Par CHRISTIAN JANOT et ARMAND HADNI,

Faculté des Sciences de Nancy.

Résumé.

On donne ici la relation qui ^{lie les} énergies diffractées par

réseau échelette dans les différents ordres, pour deux directions perpendiculaires ^du champ électrique ^de l’onde incidente.

Les équations ^du problème général ^{sont obtenues}

écrivant les conditions que doivent satisfaire les ondes

la surface du réseau. L’application ^{est faite} pour

bien déterminé ; ^l’accord

avec l’expérience ^est

satisfaisant.

Abstract.

It is shown why far infrared radiation diffracted in the first order of

echelette

grating ^is polarised The results

compared with those of

experiment ^{carried out}

Ebbert Fastie mounting.

Tome 24 N° 12 DÉCEMBRE 1963

Introduction.

L’étude de la diffraction de la lumière par les réseaux échelettes dans l’approxi-

mation des ondes scalaires [1], ^ne peut être.satis- faisante. On obtient des renseignements ^{sur la ré-} partition ^de l’énergie dans les différents ordres de diffraction, ^{mais on} ignore totalement le caractère électromagnétique de la lumière. Par suite, l’aspect

vectoriel du phénomène, qui intervient dans l’ex-

pression ^des interactions ^avec la surface du réseau, échappe ^{à cette} première investigation.

Nous nous proposons de reprendre ^ici le pro-

blème, ^en partant des conditions imposées ^aux

ondes électromagnétiques ^sur la surface métallique

du réseau, pour deux directions de polarisation orthogonales, l’une telle que le ^vecteur champ ^élec- trique E1 ^soit perpendiculaire ^au plan d’incidence,

l’autre avec Ell parallèle ^au plan d’incidence.

L’étude est faite uniquement ^{dans le cas où les} plans d’incidence et de section principale ^sont parallèles, ^{et nous avons} seulement cherché à obte-

nir, pour ^un ordre donné, ^{une relation entre les}

intensités diffractées pour les deux polarisations choisies. ^{Dans le cas} général ^nous parvenons à ^un

système ^linéaire d’une infinité d’équations ^{à une}

infinité d’inconnues, .système que ^nous résolvons

approximativement ^{dans un cas bien} précis. ^Les

conventions de signes ^{et les} définitions utilisées

sont celles employées ^{dans nos travaux} précé-

dents [1], [2]. ^{Nous avons} préféré particulariser ^la

solution exacte du problème général plutôt que de

chercher, ^{comme certains auteurs} [3], ^{une solution} générale approximative.

Équation ^{de la} surface du réseau.

Dans la

position

^normale », le réseau se trouve repéré ^dans

un système ^{d’axes comme} l’indique ^la figure 1 ;

FIG. 1.

l’abscisse du point ^{A est}

^b Sin2 03BE ^{et celle du} point B, b ^cos2 03BE. L’équation ^d’une période ^du

réseau sera donc a

f(1t) = - ltltg 1 ^{pour :} - b sin 2 ç ^x 0 ; ^et f(x)

x . tg 1 pour : ⁰

b cos2 03BE.

Afin de pouvoir ^{utiliser une} méthode de calcul mise au point par G. W. Stroke [4] pour les réseaux à profil sinusoïdal, ^nous allons effectuer l’analyse harmonique ^du profil échelette. ^{Soit :}

Les calculs conduisent à :

LE JOURNAL DE

PHYSIQUE. ^{- T.} 24. - NO 12. DÉCEMBRE ^1963.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0196300240120107300

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et pour la position

retournée » du réseau on

obtient de la même manière

Nous allons conduire intégralement les calculs pour la position

^{normale » et nous en déduirons}

les résultats pour la position

retournée » ensuite.

Conditions imposées ^{aux ondes sur la surface du}

réseau.

L’amplitude de l’onde incidente sera

prise ^comme amplitude unité. En un point ^d’abs-

cisse x et d’ordonnée _z, l’onde incidente sera de la forme :

Les ondes diffractées dans un ordre k, ^{suivant la}

direction de polarisation ^de l’onde incidente seront :

ik ^étant l’angle ^sous lequel ^{la radiation de lon-}

gueur ^{X est} diffractée dans l’ordre k. On sait que : b (sin ik

^sin i)

^k03BB.

Les lois de l’électromagnétisme exigent que la

composante tangentielle ^du champ électrique ^soit

nulle sur la surface du réseau. Ceci implique,

pour El ^{que le} champ électrique total soit nul sur

le réseau, ^et pour En _{que le} produit scalaire du

champ électrique total par le ^vecteur tangent ^au

réseau soit nul en tous point du réseau. On obtient ainsi les deux relations

En éliminant l’expression de l’onde incidente entre ces deux égalités, ^{on obtient :}

avec :

ou :

où 03A0 _{signifie que} l’on fait le produit ^des quantités

n-1

situées à droite de

ce signe, ^{en donnant à n toutes}

les valeurs depuis ¹ jusque l’infini. En utilisant les

développements ^{en série de} Bessel, l’expression g(x)

devient. :

En regroupant ^{les termes} qui ^{sont du même}

ordre par rapport ^à l’exponentielle, c’est-à-dire

00

tous les termes pour lesquels ç ^--.:

1 npi (avec pi quelconque) ^{a la même} valeur, ^{on obtient :}

avec:

où le signe ^signifie que l’on réalise la ^somme de

00 ^.

tous les termes situés à droite, ^tels que 1; npi = s

, ,

M==2

(où Pi peut prendre n’importe quel ^{ensemble de}

valeurs). ^{On en déduit :}

Ce qui permet ^{de mettre} la relation (1) ^{sous la}

formé -

Dans cette expression, ^nous pouvons grouper tous les termes de même degré ^par rapport ^{à x sous} l’exponentielle. ^En posant :

ou

on obtient une égalité qui ^{doit être vérifiée en} chaque point ^du réseau, c’est-à-dire _que tous les

j 2mx

coefficients _{de exp} b doivent être égaux

dans les deux membres. D’où :

m pouvant prendre ^toutes les valeurs entre

et + oo, le problème ^{se trouve} entièrement résolu, puisque ^nous possédons ^autant de relations que d’ordre de diffraction.

Application ^{à un cas} expérimental déterminé.

Nous allons chercher maintenant ce que donne le

système (2) ^{dans le cas d’une} expérience [5] ^réalisée

au laboratoire et récemment confirmée [6]. ^La manipulation ^{utilise un réseau} échelette. comme appareil disperseur ^{dans un} spectromètre ^infra-

rouge, suivant ^un montage ^du type Ebbert-Fastie.

Le faisceau incident I’0 est fixe ; ^{le réseau tournant}

diffracte l’énergie ^{dans un} plan horizontal et sur 1800. On opère ^de façon ^{à ne} recueillir sur le

récepteur’ que ^ce qui ^est diffracté dans une direc- tion fixe OD (fig. 2). ^On désigne par s, la valeur

arithmétique ^de l’angle ^l’OD ( E

^{18° dans} l’expé-

rience citée). Soient B’B la bissectrice de cet angle, i, ^{ix et 0 les} angles que fait la normale ON orientée

vers l’intérieur du réseau, ^avec respectivement 01,

OD et OB. On voit que la connaissance de 0 déter-

FIG. 2.

mine L, iK, ^et l’ensemble des radiations que reçoit

la fente de sortie du spectromètre :

Nous voulons montrer que si 0 ^est suffisamment

grand, ^{la radiation du} spectre ^du premier ^ordre qui atteint le récepteur ^{dans le} montage ^considéré

ne se retrouvera seulement que dans ^{une ou} deux autres directions. En effet, les interférences entre les ondes diffractées par les différents sillons ne sont constructive que si

Ici, xJb

ÀEF /b, ^est déterminé par les condi- tions de l’expérience (on considère la plus grande longueur ^d’onde qui, pour 0 donné, ^{est isolée} par ’

la fente de sortie), ^ainsi que i

^{0 +} e/2. ^{La rela-}

tion (2) donne la série discrète de direction où l’on

peut retrouver cette radiation.

Traitons le cas 0

24° (sin ⁰

0,4) ; ^{les rela-}

tions précédentes ^donnent

et

donc .K est au plus égal ^à

donc K est au moins égal ^{à 0.}

1076

Nous pouvons donc ^nous contenter de résoudre le système (2) pour le domaine d’étude où 0 > 23030’ ; ^{nous avons alors} Elk

^Ellk

^{0 sauf}

pour k

0 et k = 1. Donc, ^en posant m + ¹ = t, le système (2) ^{se réduit à :}

avec :

On peut vérifier par ailleurs _{que les} arguments

des coefficients de Bessel constituant les P8(k),

restent petits pour le domaine d’étude. Dans ces

conditions, ^on peut poser ^en première approxi-

mation :

et

Par conséquent, ^on pourra négliger ^{tous les} P8(k)

devant Po(k) ^et P+ 1(k). ^On écrit alors l’équation (3)

pour t == 0 et t = -4- 1. La résolution du système qui ^{en découle donne :}

p ^our la position

^normale », ^{avec :}

Les définitions (4) ^nous permettent ^{de calculer}

le rapport des intensités diffractées dans l’ordre 1 à

partir ^de N,.IM, :

dans les conditions de l’expérience décrite, i ^et ii

sont fonction ^{de la seule variable} indépendante ^6.

C’est donc en fonction de ,0 que ^ce rapport ^est représenté ^{sur les courbes de la} figure ^{3 : la courbe}

en trait plein ^{donnant les résultats de} l’expérience

et la courbe en pointillé ^{ceux que} prévoit la théorie.

En ce qui ^{concerne la} position

^retournée », la

comparaison des fonctions fl(x) ^et 12(X) ^nous

montre qu’elles ^se déduisent l’une de l’autre _{par le}

changement ^de sin 2 Z ^en

sin2 03BE ; ^{ceci a} pour

conséquence ^de changer ^le signe ^des arguments ^des

FIG. 3.

Polarisation dans la position

normale o :

expérience (1) ^{et théorie} (2).

coefficients de Bessel intervenant dans les calculs.

Ainsi, ^on peut ^calculer (N1/M1)ret également ^à partir ^de la relation (5), ^{mais en} y changeant ^le signe des coefficients de Bessel d’ordre impair : ^on

obtient de cette manière les courbes de la figure ^4.

FIG. 4.

Polarisation dans la position « retournée o :

expérience (1) ^{et théorie} (2).

On constate que, dans la position

^normale »,

Ell est presque toujours prédominant. ^Cela pouvait

être prévu, ^{car dans le cas limite} représenté ^{sur la} figure ^{5 et où la} longueur ^{d’onde serait telle} que :

la paroi

^{léchée o} par le rayon lumineux n’introduit pas de conditions _pour la composante En ^du champ électrique placée ^{dans le} plan de section principale.

Le réseau se comporte, dans, ^ce cas, ^{comme un} miroir parfait dans l’ordre 1 pour Eu. ^{La distri-} bution de E1 dans les différents ordres de diffrac- tion est, par contre, conditionnée par l’ensemble des deux facettes. Dans la position

^{retournée »,}

on peut ^{faire une} analyse identique lorsque ^la longueur ^{d’onde est} telle que :

Loin de ces conditions particulières, ^{on constate}

normalement des accidents importants ^{dans les}

FiG. 5.

courbes de polarisation. On remarque que ^l’accord

entre la théorie et l’expérience ^est ici très satis- faisant. Pour des angles d’incidence plus petits,

c’est-à-dire _{pour des} longueurs ^d’onde plus faibles,

les approximations ^{faites ici cessent} d’être valables:

d’une part ^la diffraction distribue alors l’énergie

dans un grand ^nombre d’ordres simultanément ^et

E_l, EE2, ^{etc... ne sont} plus nuls, ^d’autre part l’argument des coefficients de Bessel augmente

comme b ja ^si bien que les J8(k) ^{et les} P8(k) ^ne convergent plus quand s croit. Dès lors, les calculs deviennent plus ^{laborieux et} conduiraient à des résultats dont l’exploitation _paraît ^douteuse.

Manuscrit reçu le ³ juillet ^1963.

BIBLIOGRAPHIE [1] ^JANOT (Ch.) ^{et HADNI} (A.), ^J. Physique Rad., 1962, 23,

152.

[2] ^JANOT (Ch.), Thèse, Nancy, 1963.

[3] ^{ME ECHAM} (W. C.), ^J. Appl. Physics, 1956, 27, 131.

[4] ^STROKE (G. W.), Revue d’Optique, 1960, 39, 291.

[5] MUNIER (J. M.), Diplôme ^d’études supérieures, Nancy,

1961.

[6] ^MUNIER (J. M.), ^CLAUDEL (J.), ^DECAMP (E.) ^{et HADNI}

(A.), ^Revue d’Optique, 1962, 5, ^247.