Inférence d'Inconsistances pour la Résolution de MAX-N CSP

HAL Id: inria-00085789

https://hal.inria.fr/inria-00085789

Submitted on 14 Jul 2006

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Inférence d’Inconsistances pour la Résolution de MAX-N CSP

Fayçal Djerourou, Hachemi Bennaceur

To cite this version:

Fayçal Djerourou, Hachemi Bennaceur. Inférence d’Inconsistances pour la Résolution de MAX-N CSP.

Deuxièmes Journées Francophones de Programmation par Contraintes (JFPC06), 2006, Nîmes - Ecole

des Mines d’Alès / France. �inria-00085789�

Inférene d'inonsistanes pour la résolution du

Max-CSP

Fayçal Djerourou Hahemi Bennaeur

LIPN-UMR CNRS 7030- Institut Galiliée,Université de Paris Nord,

99,avenue Jean-Baptiste Clément,93430, Villetaneuse, Frane.

{Fayal.Djerourou,Hahemi.Be nna eur} lip n.un iv-p ari s13. fr

Résumé

Leprésent artileporte surla résolutionexate du

problèmedesatisfationmaximaledeontraintes(Max-

CSP).La résolutiondu Max-CSP est généralementef-

fetuéeàl'aided'algorithmesdetypebranhandbound.

L'eaitédeesalgorithmesdépendétroitementdela

borneinférieuredelavaleurduMax-CSPqu'ilsutilisent

auoursdelareherhe. Lesbornesinférieurespourle

Max-CSP se basent, en général, sur le onept d'ar

onsistane (AC). Nous présentons ii un méanisme

d'inférenes d'inonsistane entre valeurs dans le but

d'augmenter les valeurs des bornes inférieures basées

sur l'AC. Cei est eetué en détetant les inonsis-

tanes ignorées par les ompteurs d'ar-inonsistane

dirigéeda. L'inférened'inonsistanespourunevaleur

a d'unevariablenon instaniéei,onsiste àrajouterà

laontributiondealenombredevariablesfuturesdont les valeurs partiipantau alul de la borne inférieure

sontinohérentesavea. Uneimplémentationdeette tehniqueestprésentéeettestéesurdesMax-CSPaléa-

toires.

Abstrat

This paperdeals withanexat algorithmdesigned

forsolving over-onstrainedproblems. It iswellknown

that the eieny of aomplete algorithm deeply de-

pends on the quality of its lower bound. This lower

bound should be as large as possible and as heap to

omputeaspossible. Weproposeanewtehniquewhih

enhanesthe lassialaronsistenylowerboundsfor

Max-CSP.Inadditiontoinonsisteny anddiretedar

onsistenyountsofavalue,weinferfurtherinonsis-

teniesresultingfrominonsisteniesbetweenthisvalue

andminimavaluesofunassignedvariables.Wewillshow

in this paper that this idea an be generalized to the

Weighted CSP framework (see setion 4.2). The in-

ferred inonsistenies tehniqueis embedded in a for-

ward hekingalgorithm, it isused to tightthe lower

bound during the searh in order to lter future do-

mains. This newalgorithm, PFC-VRDAC (PFC-Value

infereneReversibleDiretedArConsisteny),isom-

paredwithsome referene algorithmsfor solving Max-

CSP.Obtainedresultsonsomerandomproblems,show

improvementsintimeandsearheort.

1 Introdution

Le problèmede satisfationde ontraintes (CSP) est

donné par un ensemble de variables soumises à des

ontraintes. Chaque variable possède un domaine

disrêt et ni. Le but est d'aeter à haune des

variables une valeur de son domaine an de satis-

fairel'ensembledesontraintes.Nousnousintéressons

ii aux problème de satisfation de ontraintes sur-

ontraint oû la satisfation de toutes les ontraintes

du CSP est impossible. Dans e as, le but est de

herherl'instaniation omplètesatisfaisantlemaxi-

mumde ontraintes(Max-CSP). LeMax-CSP est un

problème d'optimisation. Dans [13℄, le CSP a été

étendu vers un modèle plus général le problème de

satisfation de ontraintes valué (VCSP). Ce modèle

prend en ompte les ontraintes molles et rend pos-

sible l'expression despréférenes entre solutions. En

VCSP des valuations sont assoiées aux

n

^{-uplets et}

le oût d'une instaniation omplète est alulé en

agrégeant les valuations des

n

^-uplets appartenant à ette instaniation. L'objetif en VCSP est de trou-

ver l'instaniation omplète ayant le oût minimal.

Dans[6℄,leWeightedCSP,unaspartiulierduVCSP

est proposé. En WCSP les valuations sont des en-

tierspositifsetl'opérateurd'agrégationestl'addition.

Le VCSP et ses spéiations (WCSP et Max-CSP)

possèdent plusieurs domaines d'appliation tels que

l'alloationderessoures,labioinformatique,leraison-

129

nementprobabiliste et l'ordonnanement.

LarésolutionexateduMax-CSP estgénéralement

eetuée ave des méthodes suivant le shéma du

branhandbound. Cesméthodesparourentl'arbrede

reherhedes solutionsen profondeur d'abord. Pour

dirigerla reherhe, ils utilisent une borne inférieure

dunombreminimaldeontraintesviolées. L'eaité

d'unbranhandbounddépendétroitementdelaqual-

itédesaborne,elle-idoitêtrelaplusprohepossible

de lavaleur duproblème et non oûteuseà aluler.

Diérentes bornes inférieures ont été dénies pour le

Max-CSP, ellessontbasées sur le onept d'aron-

sistane(AC)[1,3,4,6,7,8,9,14,15℄,ou/etsurdes

tehniques exploitantla struture duproblème Max-

CSP[5, 12℄.

Dans et artile, nous présentons une tehnique

d'inférened'inonsistanespouraméliorerlesbornes

inférieureslassiquesbaséessurl'aronsistane. Cei

est eetué en inférant desinonsistanes non dété-

tées parles bornes inférieures lassiques. Dans ette

tehnique, pour une valeur d'une variable non in-

staniée (variable future), nous omptons le nombre

d'inonsistanes qu'elle a ave les valeurs des vari-

ablesnon instaniées partiipantdans le alul de la

borneinférieure. Parexemple,dansleasd'uneborne

inférieure utilisant les ompteurs d'inonsistanes et

d'inonsistanesdirigées (i+da), pour une valeur

a

d'unevariablenon instaniée, nousalulonsle nom-

bre d'inonsistanes, non alulées par la borne in-

férieure, entre

a

^{et les valeurs des variables futures}

ayant le minimum i+da. Par omparaison aux

bornesinférieureslassiques,notretehniquepeutra-

jouterdesinonsistanesauompteursdade

a

^même

siettedernièrepossèdedessupportssurlesvariables

futures. Nous montrons omment utiliser ette nou-

velle borne dans un algorithme de réolution omplet

pour antiiperlesretours arrièreet ltrerlesvaleurs

desvariablesfutures. Cettetehniqueaété ombinée

avel'algorithmePFC-RDAC[8℄,lenouvelalgorithme

PFC-VRDAC(PartialForwardCheking Value infer-

ring Reversible Direted Ar Consisteny)aété testé

sur quelquesinstanes Max-CSP aléatoires. Les pre-

miers résultas sont omparés ave eux obtenus par

PFC-MRDAC [7℄, un algorithme longtemps onsid-

éré ommeune référenepour larésolution du Max-

CSP.Lesgainsentempsetennombredenoeudsvis-

itées,montrentl'eaitédel'utilisationdel'inférene

d'inonsistanesavelesbornes lassiquespourlaré-

solutionduMax-CSP.

Ce artile est organisé omme suit. La setion 2

présente quelques notions de base relatives au prob-

lèmeCSP.Lasetion3déritl'utilisationdel'inférene

d'inonsistanesdanslebut d'améliorerlesbornesin-

férieuresbasées sur lesompteurs i+da. Les avan-

tages de la nouvelleborne inférieure par apport aux

bornes lassiques sont dérits dans la setion 4. La

proédure de alul d'inférene d'inonsistanes est

donnée dans la setion 5. La setion 6 traite des

questions relatives à la mise en ouvre de l'infèrene

d'inonsistanes dans un branh and bound pour le

Max-CSP. Lasetion7présentequelquesrésultasex-

périmentaux préliminaires obtenus sur les Max-CSP

aléatoires. Enn, lasetion8traequelquesperspe-

tivespourlapoursuitedeetravail.

2 Préliminaires

2.1 CSPetMax-CSP

Un problème de satisfation de ontraintes (CSP)

est déni par un ensemble ni de variables

X = {1, . . . , n}

^{, un ensemble de domainesnis et disrêts}

D = {d

1

, . . . , d

n

}

^{et un ensemble de ontraintes}

C = {C

1

, . . . , C

m

}

^{. Chaque variable}

i

^{prend ses valeurs}

dans ledomaine

d

i^{. Chaqueontrainte}

C

j ^estdénie

sur un sous ensemble de

X

^{appelé saportée et noté}

scope(C

j

)

^{. Uneontrainte}

C

j ^{estunsousensembledu}

produitartésien

d

i₁

×d

i₂

×. . .×d

ip

,

^ave

{i

1

, . . . , i

p

} ∈ scope(C

j

)

^{, elle ontient l'ensemble de}

n

^{-uplets au-}

toriséspourlesvariablesde

scope(C

j

)

^.

L'instaniationd'unevariable

i

^{onsiste àluiaeter}

une valeurdepuisson domaine

d

i^{. Une}instaniation est ditepartielle sielleportesurunsousensemblede

variablesde

X

^{. Elleestditeomplètesielleportesur}

touteslesvariablesde

X

^.

La solution d'un CSP est une instaniation om-

plètequi satisfaittouteslesontraintesde l'ensemble

C

^{. Si une telle} instaniationn'existepas, leCSP est dit inonsistant. Dans e as, il est intéressant de

herher l'instaniation omplète satisfaisant le plus

de ontraintes, 'estla satisfationmaximalede on-

traintes(Max-CSP)[4℄.

Ces dernièresannées, le modèle CSP aété étendu

versunmodèleplusgénéralleproblèmedesatisfation

de ontraintesvalué(VCSP)[13℄. Cenouveaumodèle

prend enomptelesontraintesmolles et rendpossi-

blelehoixentre solutionsenassoiantunevaluation

àhaque

n

^{-uplet d'uneontrainte. En VCSP,leoût}

globale d'une instaniation omplète est l'agrégation

desvaluationsdes

n

^-upletappartenantàetteinstan- iation. La solution d'un VCSP est une instania-

tion omplète de oût minimal. Un as partiulier

duVCSP,leCSPbinairepondéré (WCSP),est déni

dans [6℄. Dans e modèle, les ontraintes sont soit

unaires (

C

i^{), soit binaires (}

C

ij^{). A haque valeur}

a

d'unevariable

i

^{est assoié unoûtunitaire}

C

i

(a)

^{, et}

àhaqueouple

(a, b) ∈ d

i

×d

j^{d'uneontraintebinaire}

C

ij

∈ C

^{est assoié unoût}

C

ij

(a, b)

^{. Ces oûtssont}

des naturelset l'opérateurd'agrégationestl'addition

(+). RemarquonsqueleMax-CSPpeutêtreéritsous

forme d'un WCSP binaire où à tout ouple interdit

(inohérent) onassoie unoût 1et à unouple au-

thorisé unoût nul. Lasolutionestune instaniation

omplèteminimisantlasommedesoûtsdesouples.

Cei revient à trouver l'instaniation omplète min-

imisantlenombredeontraintesviolées.

Danset artile,

i, j, k, . . .

désignentdesvariableset

a, b, c, . . .

^{des valeurs.}

(i, a)

^{désigne la valeur}

a

^de

la variable

i

^.

P

^désigneune instaniation partielle et

F

^{l'ensemble des variablesnon enoreinstaniées(li-}

bresoufutures). On appelvaleur future toutevaleur

d'une variable de

F

^{. La valeur}

(i, a)

^{est inonsis-}

tante ave la variable

j

^{si elle est inohérente ave}

toutes les valeurs de

d

j^{. Soit la valeur future}

(i, a)

^,

ic

ia^{est lenombredevaleursde}

P

inonsistantesave

(i, a)

^{. Soitlafontion}

dac(i, a, j)

^{dénie ommesuit.}

dac(i, a, j) = 1

^si

(i, a)

^est inonsistanteave

j

^etsiles

inonsistanes sont omptés de

j

^vers

i

^{; 0sinon. Le}

nombre d'inonsistanes d'ar dirigées,

dac

ia^{, est le}

nombredevariables

j ∈ F

^telque

dac(i, a, j) = 1

^{. Soit}

le Max-CSP

P

^,

P

P ^{est le Max-CSP}

P

^{obtenu après}

propagation de l'instaniation partielle

P

^et

V (P )

^le

nombreminimaldeontraintesvioléesdans

P

^.

2.2 Survoldes bornes inférieuresenMax-CSP

L'un des premiers algorithmes pour la résolution du

Max-CSP,PFC[4℄utiliseuneborneinférieuresimple.

Elleestaluléeenrajoutantàladistane(leoûtde

l'instaniationpartielle

P

^)lasommedes

ic

^minimums

des variables futures

F

⁽

LB(P)

P F C

= distance(P ) + P

i∈F

min

a∈di

(ic

ia

)

^{). Cette borne a été améliorée,}

dansPFC-DAC[14℄,enonsidérantlesinonsistanes

entrelesvariablesfutures. Endénissantunordresur

les variables et en dirigeant legraphe de ontraintes

suivant et ordre, PFC-DAC utilise les ompteursi

et da et alule sa borne inférieure omme suit :

LB(P )

DAC

=distance(P)+ P

i∈F

min

a∈di

{ic

ia

+ dac

ia

}

^.

Une sensible améliorationdePFC-DAC,l'algorithme

PFC-RDAC, a été proposée dans [8℄. A haque

instaniation d'une variable, PFC-RDAC realule

une bonne orientation des ontraintes entre les vari-

ables futures dans le but d'augmenter lasomme des

i+da minimums. Dans[7℄,lapropriétéd'aronsis-

tane dirigée est maintenue durant larésolution. Ce

maintienonduitgénéralementàl'inrémentationdes

ompteursdasetdonàunepossibleaméliorationde

laborne inférieure. Dansasadedda [15℄,lesomp-

teurs das sont augmentés en inférant des nouvelles

inonsistanes ense basantsur l'ordreutilisé dans le

alul des das. Ce proessus d'inférene est limité

par l'ordre statique des variables. De plus, il nées-

site une gestion des inonsistanes redondantes an

de maintenirune borne inférieure valide. Dans [1℄ la

la onsistene d'ar pondérée (WAC), une borne in-

férieure ne néessitant auun ordre sur les variables

est proposée. ContrairementàDAC et RDAC, dans

WAC les inonsistanes sont alulées dans les deux

sens. An d'éviterlesredondanes, deux poids om-

plémentaires

w ≤ 1

^et

1−w

^{sontassoiésauxdeuxsens}

delaontraintes. Dans[5℄,uneborne inférieurepour

le Max-CSP est alulée en partitionnant l'ensemble

des ontraintes en plusieurs sous ensembles appelés

mini-bukets. Dans[12℄(Conit Sets),desnouvelles

ontraintes sont rajoutées au Max-CSP dans le but

d'identierdes inonsistanesnon détetées parl'ar

onsistanedirigée.

Dans [6, 10℄, de nouvelles onsistanes loales

(NC,NC*,AC,AC*) sont dénies pour le WCSP.

Théoriquement, ei généralise les onsistanes las-

siques au WCSP et permet de dénir des nouvelles

bornes inférieures beauoup plus élégantes. Cepen-

dant, les résultats expérimentaux sur les Max-CSP

aléatoiresontmontréquelesalgorithmes(PFC-RDAC

etPFC-MRDAC)proposésdans[7,8℄restentplusef-

aes. Dans [9℄, en sebasantsur les travauxde[2℄,

des nouvellesformes de onsistane loale(l'ar on-

sistanedirigée)DAC*and(l'aronsistaneomplète

dirigée)FDAC*,sontdéniespourleWCSP.Comme

dans le as du Max-CSP, DAC* et FDAC* néessi-

tent qu'un ordre statique soit dénisur les variables

duWCSP. LesalgorithmesMDAC*etMFDAC*,qui

maintiennentrespetivementlesonsistanesDAC*et

FDAC*, ont été développés et testés sur des Max-

CSPsaléatoires. Lesrésultatsobtenusontmontréque

lemaintiendeFDAC*sembleêtrelemeilleureniveau

de onsistane pourla résolution desMax-CSP aléa-

toires. Réemmentdans[3℄,unenouvelleformed'ar

onsistane est dénie, 'est la onhérene d'ar ex-

istentielle EDAC*. EDAC* renfore la propriété de

FDAC*andeserapproherleplusdelaonsistane

d'ar omplète. MEDAC*, un algorithme qui main-

tientlapropriétéEDAC*,aétédeveloppéettestésur

des WCSPs aléatoires et réels. Les tests ont montré

que MEDAC* est plus eae que MFDAC* sur de

nombreuseslassesdeproblèmes.

3 Amélioration des bornes in-

férieures lassiques par inférene

d'inonsistanes

Sans perte degénéralité,nous ne onsidéronsqueles

bornes inférieures basées sur les ompteurs i+da.

L'inférene d'inonsistanespeutégalementêtre util-

iséeavelesbornesinférieuresbaséessur l'aronsis-

taneommel'aronsistanepodérée WAC.

Inférence d’inconsistances pour la résolution du Max−CSP 131

3.1 L'inférene d'inonsistanes après

l'instaniationd'une variable

Pendant l'instaniation d'une variable

i

^{par la}

valeur

a ∈ d

i^{, le branh and bound alule une}

borne inférieure du nombre de ontraintes violées

par l'instaniation partielle

P ∪ {(i, a)}

^{. Cette}

borne inférieure est donnée par la formule suiv-

ante,

LB(P, i, a) = distance(P) + ic

ia

+ dac

ia

+ P

j∈F

min

a∈dj

{ic

ja

+ dac

ja

}

^{. La somme}

ic

ia

+ dac

ia

représentelaontributiondelavaleur

(i, a)

^dansette

borne. Sous ertaines onditions, ette ontribution

peut être augmentée même si

(i, a)

^{est onsistante}

ave quelques variables futures

F

^{. De plus, à ause}

del'orientationdesontraintes,lesinonsistanesave

quelquesvariablesde

F

^{nesontpasomptéesmêmesi}

(i, a)

^estinonsistanteaveesvariables. Enutilisant es remarques, nous proposons dans e qui suit une

tehniqued'inférened'inonsistanesand'améliorer

lesbornesinférieuresbaséessuri+da.

Soit

(i, a)

^lavaleuratuellementinstaniéeà

i

^{et soit}

j ∈ F

^{une variable future partageant une ontrainte}

ave

i

^. Considéronslasituationsuivante:

• b

^{est l'unique valeur de}

j

^{minimisant la somme}

i+da.

•

^{le ouple}

(i, a)

^et

(j, b)

^{est inohérent et}

dac(i, a, j) = dac(j, b, i) = 0

^.

Soit

k ≥ 0

^{le nombredevariables futures vériantles}

onditionsi-dessusetpartageantuneontrainteave

i

^{. Alorslaborneinférieure assoiéeàlavaleur}

(i, a)

^,

LB(P, i, a)

^{, peut être inrémentée de}

k

^{. Comme les}

inonsistanesrajoutéesnesontaluléesnipardas,

niparis,

LB(P, i, a) + k

^{peutêtreonsidéréeomme}

uneborne inférieureduMax-CSP.

Dans le préédent paragraphe, nous avons onsid-

éré les variables futures ave un minimum unique.

L'inférene d'inonsistanes est aussi appliable ave

les variables futures possédant plusieurs valeurs at-

teignant le minimum i+da. Soit

M(j)

^l'ensemble

des valeursde

j

^{ayant une somme i+da minimale.}

Laquantité à rajouter àla ontribution de lavaleur

(i, a)

^dans

LB(P, i, a)

^{est donnéepar :}

Inf er(i, a) = P

j∈F

min

b∈M(j)

{r(i, a, j, b)}

^,où

r(i, a, j, b) =



 

 

1

^si

(i, a)

^et

(j, b)

^{sontinohérents}

et,

dac(i, a, j) = 0

^et

dac(j, b, i) = 0 0

^sinon

La propriété suivante montre que

LB

Inf er

(P, i, a) = LB(P, i, a) + Inf er(i, a)

^{est une borne inférieure du}

nombre de ontraintes violées par toute instania-

tion omplète extension de l'instaniation partielle

P ∪ {(i, a)}

^.

Propriété1. SoientleMax-CSP

P

^etl'instaniation partielle

P

^,

LB

Inf er

(P, i, a)

^{est une borne inférieure}

de

V (P

P∪{(i,a)}

)

^.

Preuve. Soit l'instaniation omplète

A = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

)

^{extension de}

P

^ave

a

^{aetée à}

i

^{. Le oût de}

A

^{, le nombre de ontraintes violées}

par

A

^{, est noté par}

distance(A)

^{. Soit}

LB(A, i, a) = distance(P )+ic

ia

+dac

ia

+ P

j∈F

(ic

jaj

+dac

jaj

)

^où:

• distance(P)

^{repésente le nombre de ontraintes}

violéesparl'instaniation partielle

P

^.

• ic

ia

+ dac

ia ^{représente le nombre de ontraintes}

violées entre

(i, a)

^et l'instaniation partielle

P

et unesousestimation dunombredeontraintes

violéesentre

(i, a)

^{etlesvariablesfutures.}

• P

j∈F

(ic

jaj

+ dac

jaj

)

^{est une sous estimation du}

nombre de ontraintes violées entre les valeurs

a

j

, j ∈ F

^de

A

^{,etlenombredeontraintesviolées}

entrelesvaleurs

a

j

, j ∈ F

^de

A

^etl'instaniation partielle

P ∪ {(i, a)}

^.

Pardénition nousavons

distance(A) ≥ LB(A, i, a)

^.

Nous allons d'abord prouver que

ic

jaj

+ dac

jaj

+ r(i, a, j, a

j

) ≥ min

a∈dj

{dac

ja

+ ic

ja

} + min

b∈M(j)

{r(i, a, j, b)}

^{. Comme}

ic

jaj

+ dac

jaj

≥ min

a∈dj

{dac

ja

+ ic

ja

}

^alors l'inégalité est vériée si

r(i, a, j, a

j

)≥min

_b∈M(j)

{r(i, a, j, b)}

^.

Considérons maintenant le as où

r(i, a, j, a

j

) = 0

et

min

_b∈M(j)

{r(i, a, j, b)} = 1

^{et supposons que}

ic

jaj

+ dac

jaj

+ r(i, a, j, a

j

) < min

a∈dj

{dac

ja

+ ic

ja

} + min

b∈M(j)

{r(i, a, j, b)}

^{, alors}

ic

jaj

+ dac

jaj

<

min

a∈dj

{dac

ja

+ ic

ja

} + 1

^{e qui implique que}

ic

jaj

+ dac

jaj

≤ min

a∈dj

{dac

ja

+ ic

ja

}

^{. Don}

a

j

∈ M(j)

^et

r(i, a, j, a

j

) = 1

^{,equiestenontradi-}

tionaveleshypothèses.

En sommant sur l'ensemble des variables

futures, nous avons

P

j∈F

(ic

jaj

+ dac

jaj

+ r(i, a, j, a

j

)) ≥ P

j∈F

min

a∈dj

{dac

ja

+ ic

ja

} + P

j∈F

min

b∈M(j)

{r(i, a, j, b)}

^{. Cetteinégalitépeutêtre}

ériteommesuit.

P

j∈F

(ic

jaj

+ dac

jaj

+r(i, a, j, a

j

))≥

P

j∈F

min

a∈dj

{dac

ja

+ic

ja

}+Inf er(i, a)

^{. Enrajoutant}

distance(P )+ic

ia

+dac

ia^{auxdeuxtésde}l'inégalité nousavons

LB(A, i, a) ≥LB

Inf er

(P, i, a)

^.

La nouvelle borne inférieure

LB

Inf er

(P, i, a)

^est

au moins égale à

LB(P, i, a)

^{et au plus égale à}

LB(P, i, a) + ρ(i)

^{, où}

ρ(i)

^{est le nombre devariables}

partageantune ontraintesave

i

^.

3.2 L'inférene d'inonsistanes pendant le l-

trage

Leproessusdeltrageestutilisépartouslessolveurs

Max-CSP, avant et au ours de la reherhe. Le