Inférence de cliques pour la résolution de Max-CSP

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Submitted on 14 Jul 2006

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Mohand Ou Idir Khemmoudj, Hachemi Bennaceur

To cite this version:

Mohand Ou Idir Khemmoudj, Hachemi Bennaceur. Inférence de cliques pour la résolution de Max-

CSP. Deuxièmes Journées Francophones de Programmation par Contraintes (JFPC06), 2006, Nîmes

- Ecole des Mines d’Alès / France. �inria-00085808�

Inférene de Cliques pour la Résolution de

Max-CSP

∗

Mohand Ou Idir Khemmoudj Hahemi Bennaeur

LIPN-CNRSUMR 7030, 99 Av J-B. Clément

93430Villetaneuse, Frane

{MohandOuIdir.Khemmoudj, Hahemi.Bennaeur}lipn.univ -par is13 .fr

Résumé

Peu de travaux sur les problèmes CSP, Max-CSP

et CSP valués ont été réalisés dans le domaine de

l'OptimisationCombinatoirealorsquee domaineren-

ferme de nombreux outils algorithmiques qui peuvent

servir àlarésolutiondees problèmes. Dansepapier,

nous dérivons une tehnique d'inférene d'ensembles

de liques à partir du Max-CSP que nous exploitons

pourdénir unenouvellemodélisationen Programma-

tion Linéaire (PL) du Max-CSP. Nous montrons que

lesestimationslassiquesdu nombreminimumde on-

traintesviolées(bornesinférieures)baséessurlaonsis-

taned'artellesqueDAC[13 ℄,RDAC[8℄etWAC[1℄peu-

ventêtretraduitespardesrelaxationsdualesLagrangien-

nesduPL.Noustironsaussiprotdeettemodélisation

pourdévelopperdenouvellesbornesinférieures. Dansun

premier temps, an d'avoir uneidéesur la qualitédes

bornes inférieures obtenuesàpartirdu PL,nous avons

évaluélavaleurdelarelaxationontinueduPLàl'aide

dusolveurCPLEX,puisnousavonsdéveloppéuneméth-

odedutypeBranhandBoundintégrantunerelaxation

LagrangienneduPL.Lesrésultatsobtenussonttrèsen-

ourageants etouvrent de nouvellesperspetives à ex-

ploiteraumieuxlesoutilsdelaprogrammationlinéaire

pourontribueràlarésolutiondees problèmes.

Abstrat

FewworksonproblemsCSP,Max-CSPandweighted

CSP was arried outinthe eld of Combinatorial Op-

timization,whereasthiseldontainsmanyalgorithmi

toolswhihanbeusedfortheresolutionoftheseprob-

lems. In thispaper,we proposeanewmodelinginlin-

earprogramming (LP) of the problem Max-CSP,then

weshow thatthetraditionalestimatesoftheminimum

number of violated onstraints (lower bounds) based

on the ar-onsisteny suhasDAC[13 ℄, RDAC[8℄and

∗

Cetravailest enpartie soutenu parEletriité De Frane

(EDF).

WAC[1℄anbeexpressedbydualLagrangeanrelaxations

oftheLP.Webenetasfromthismodelingtodevelop

newlowerbounds. Initially,inordertohaveanideaon

the quality ofthe lowerboundsobtainedfromthe LP,

we evaluatedthevalue ofthe ontinuous relaxationof

LPusingCPLEXtool,thenwedevelopedaBranhand

Boundmethod integratingaLagrangeanrelaxationsof

the LP.Theresultsobtainedarevery enouragingand

open new prospets to exploitthe linearprogramming

tools aswellaspossibleto ontributetotheresolution

oftheseproblems.

1 Introdution

Leproblèmedesatisfationdeontraintes(CSPpour

ConstraintSatisfationProblem)estdéniparunen-

semble de variables, ayant haune un domaine de

valeurs possibles, et par un ensemble de ontraintes.

Chaque ontrainte limite lesombinaisonsde valeurs

que peuvent prendre les variables sur lesquelles elle

pèse. Unesolutiond'un CSP est une aetationsat-

isfaisanttouteslesontraintes.

Dans beauoup d'appliations, les ontraintes sont

antagonistes puisque la satisfation de ertaines

d'entreellessefaitaudétrimentd'autres. Ilest don

impossibledesatisfairetouteslesontraintes.Onpeut

alorsêtreintéresséparlareherhed'unesolutionqui

minimiselenombredeontraintesinsatisfaites. Dans

lalittératureCSP,eproblèmeestréférenéMax-CSP,

problèmedesatisfationdeontraintesmaximale.

Comme pour beauoup d'autres problèmes

d'Optimisation Combinatoire, l'algorithme le plus

utilisé pour la résolution exate de Max-CSP est

l'algorithme de séparationet évaluation (branh and

bound, B&B). L'eaité du B&B dépend grande-

ment de la qualité de la borne inférieure alulée en

229

haquenoeuddel'arbredereherhe.

La plupart des méthodes eaes de alul de

bornes inférieures se basent sur la notion de onsis-

taneloale. Laprinipalediultéàlaquelleseheur-

tent es méthodes est la priseen ompte de manière

globale de toutes les ontraintes entre variables non

enoreaetées.

Dans la ommunauté de la Reherhe Opéra-

tionnelle, d'autres bornes inférieures sont utilisées

ommelesbornesobtenuesparlarelaxationontinue

oularelaxationLagrangienne[6℄.

Dans le but de proposer de nouvelles bornes in-

férieures pour les Max-CSP binaires ou d'améliorer

la qualité de ertaines qui existent, e travail porte

surl'étudedeliensentrelestehniquesdeonsistane

loaleetlestehniquesderelaxations ontinueetLa-

grangienne. On sebase sur la notionde lique. Une

lique étant un graphe omplet, i.e, un graphe dont

les sommets sont tous deux à deux adjaents. Nous

nous intéressons aux liques binaires qui expriment

desinompatibilitésentrelesvaleursdedeuxvariables

duMax-CSP.Nousproposonsuneformulationlinéaire

pour touteliquebinaire et montronsommentette

formulationpeutêtreutiliséepourproposerune nou-

velleformulationlinaireéquivalenteauMax-CSP.Des

expérimentationsont été réaliséeset ont montré que

larésolution parProgrammationLinéaireenNombre

Entiers du système linéaire obtenu onstitue une al-

ternativeintéressantepourlarésolutiondesMax-CSP

avegraphedeontraintesàdensitéfaible.

Nous montrons aussi que les bornes inférieures

obtenues par les tehniques de onsistanes loales

tellesqueDAC,RDACetWACpeuventêtreobtenues

parla résolution d'unerelaxationLagrangienne d'un

système linéaire ontenant un nombre réduit de

liques. Nous proposons par la suite un proessus

d'inférene de liques pour le alul d'une meilleure

borne inférieure notéeCBB (CBBpour Cilque-Based

Bound). Cetteborneestintégréedansl'algorithmede

résolution PFC-MPRDAC [9℄ et l'algorithme obtenu

est labelliséPFC-MPRDAC+CBB.Les expérimenta-

tionsréaliséesontmontré quePFC-MPRDAC+CBB

permet d'obtenirdesrésultatstrèsenourageants.

Lereste du papierest organiséommesuit : dans

la setion 2, on présentera quelques dénitions ainsi

qu'un état de l'art sur les méthodes de alul de

bornes inférieurespourlesMax-CSP. Danslasetion

3ondonneralaformulationlinéaireproposéepourles

liquesbinaireset onannoneralethéorèmequinous

permettra deprésenterdiérentes manièresde alul

de bornes inférieures. La setion 4 présente la nou-

velleformulationlinéaireproposéepourlesMax-CSP.

Dans la setion 5on montre omment lesbornes in-

férieuresobtenuesparlestehniquesde onssistanes

loales telles que DAC,RDAC et WACpeuvent être

aluléesparlarésolutiond'unesimplerelaxationLa-

grangienne. La setion 6 est onsarée à la présen-

tation du proessus d'inférene de liques. Ensuite,

nousprésentonslesexpérimentationsréaliséesdansla

setion7. Enn, nousonluronsàlasetion 8.

2 Préliminaires

Dans ette setion nous introduisons quelques déni-

tions néessairespourlasuite del'artile ainsiqu'un

état del'artsur lesméthodes dealul de bornes in-

férieurespourlesMax-CSP.

2.1 Dénitions

Dénition 1 (Le problème de satisfation de on-

traintes binaires). Un problème de satisfation de

ontraintes binaires est la donnée d'un quadruplet

(X,D,C,R) :

•

^{Xestunensembledevariables{}

X

1

, X

2

, . . . , X n

^};

•

^{Destunensemblededomaines{}

D

1

, D

2

, . . . , D _n

^}

où haque

D _i

^{représente les}

d _i

^{valeurs possibles}

pour

X _i

⁽

d _i ≤ d,

^où

d

^{est la tailledu plusgrand}

domaine);

•

^{Cestunensemblede}

e

^{ontraintesoùhaqueon-}

trainte

C ij

^{porte sur deuxvariables}

X i

^et

X j

^de

X

^;

•

^{R est un ensemble de}

e

^{relations où haque}

R _ij

dénit l'ensemble des ombinaisons de valeurs

satisfaisant

C ij : R ij

^estunsous-ensembledupro- duit artésien

D i × D j .

Dénition 2 (Graphe de ontraintes). On appelle

graphe de ontraintes d'un CSP, le graphe dont les

sommetsestl'ensemble desvariables (

X

^{)etlesarêtes}

elui desontraintes(

C

^).

Dénition 3 (Graphe omplémentaire de la Mi-

ro-struturedugraphedeontraintes). Ondésignera

par

C µ

^legrapheomplémentairedela miro-struture dugraphedeontraintes. C'estlegraphedontlessom-

metsreprésententlesvaleursdesvariablesetlesarêtes

lesliens d'inompatibilité entreesvaleurs.

Dénition4(Support). Unevaleur

v k

^{d'unevariable}

X i

^{estditesupportpourla valeur}

v l

^{d'uneautrevari-}

able

X _j

^{siet seulement si on a}

R _ij (v k , v _l ) ((v k , v _l ) ∈ R _ij ).

Dénition 5 (Clique). Dans le adre d'un CSP,

une union de sous-ensembles,

E i

₁

⊆ D i

₁

, E i

₂

⊆

D i

₂

, ..., E i

m

⊆ D i

m

: 1 ≤ i

1

< i

2

< ... < i m ≤ n

^,

forme une lique si et seulement si pour tout ouple

(j

1

, j

2

) ∈ {i

1

, i

2

, ..., i m }

^{2 tel que}

E j

₁

6= ∅

^et

E j

₂

6= ∅

on a

C j

₁

j

₂

∈ C

^et

¬R j

₁

j

₂

(v k , v l ) ∀(v k , v l ) ∈ E j

₁

× E j

₂^.

C'est unsous graphe omplet de

C µ

^{. On dira qu'une}

lique est binaire si elle est l'union de deux sous-

ensembles de deuxvariables duCSP.

Pouruneintrodutionauproblèmedereherhede

liquesdansungraphe,leleteurpeutseréférerà[3℄.

2.2 Bornes inférieurespour lesMax-CSP

On se plae dans la situation générale où on dis-

pose d'une instaniation partielle

I _P = (X i

₁

= v ⁱ

¹

, ..., X _i

_m

= v ⁱ

^m

)

^{et onintroduit lesnotationssuiv-}

antes:

• P = {i

1

, i

2

, ..., i m }, 0 ≤ m ≤ n

^{: ensemble des}

variablesinstaniées;

• F = X \ P

^{: ensembledesvariablesfutures;}

• C ^P ⊆ C

^{: ensemble des ontraintes portant sur}

desvariablesde

P

^;

• C ^F ⊆ C

^{: ensemble des ontraintes portant sur}

desvariablesde

F

^;

• C ^{P F} = C \ (C ^P ∪ C ^F )

^{: ensembledesontraintes}

portantsurune variablede

P

^{et unevariable de}

F

^;

• distance(I P ) = |{C ij ∈ C ^P : ¬R ij (v ⁱ , v ^j )}|

^:

nombre de ontraintes de

C ^P

insatisfaites par l'instaniationpartielle

I _P

^;

• ic ^k _i = |{j : ¬R ij (v k , v ^j ), j ∈ P}|

^{: nom-}

bre de ontraintes de

C ^{P F}

^{qui seront violées si}

onétendl'instaniationpartielleparl'aetation

X _i = v _k .

^{Ce nombre est appelé le ompteur}

d'inonsistanes(inonsistenyount).

L'algorithme de résolution Partial Forward Chek-

ing[5 ℄ qui est un algorithme de séparation et

évaluation utilise un minorant simple à aluler :

distance(I P ) + P

i∈F v min

k∈

D

i

ic ^k _i .

^{C'est le nombre deon-}

traintes violées dans

C ^P

^{augmenté d'une évaluation}

dunombredeontraintesvioléesdans

C ^{P F}

^{. [13℄,pro-}

posed'améliorerlaqualitédee minorantparl'ajout

d'une évaluation du nombre de ontraintes violées

dans

C ^F

^{. Il suppose un ordre xe des variables et}

utilisedesompteursnotés

dac ^k _i

^{etappelésompteurs}

d'ar ohérene orientée (direted ar onsisteny

ounts ou DAC):

dac ^k _i = P

j>i v min

l∈

D

j

(1 − R _ij (v k , v _l )).

Le ompteur

dac ^k _i

^{estle nombre devariables}

X j ∈ F

situées après

X i

^{dans l'ordre utilisé et telles que}

¬R ij (v k , v l ), ∀v l ∈ D j .

^{La nouvelle borne inférieure}

est

distance(I P ) + P

i

∈

F v min

k∈

D

i

ic ^k _i + P

i

∈

F v min

k∈

D

i

dac ^k _i .

^Le

deuxièmeettroisièmetermedel'expressionpréédente

peuvent être ombinés pour obtenir une meilleure

borne :

distance(I P ) + P

i

∈

F v min

k∈

D

i

(ic ^k _i + dac ^k _i )

^{[7℄. [1℄}

proposeunetehniquepours'enpasserdel'ordredes

variables. Elleonsisteàassoieràhaqueontrainte

C _ij ∈ C ^F

^deuxpoids

λ _ij

^et

λ _ji

^telsque

λ _ij + λ _ji = 1

^.

Elle assoie aussi à haquevaleur

v _k

^{de haque vari-}

able

X _i ∈ F

^uneontribution

wac ^k _i

^{telle que}

wac ^k _i = P

j:C

ij∈

C

^F

v min

l∈

D

j

λ _ji (1 − R _ij (v k , v _l ))

^{. Les} ontributions

wac ^k _i

^{sont par la suite utilisées pour le alul de la}

borne inférieure WAC (Weighted Ar Consisteny),

W AC = distance(I P ) + P

i

∈

F v min

k∈

D

i

(ic ^k _i + wac ^k _i ).

^La

méthode proposée dans [8℄ se base sur l'orientation

des ontraintes de

C ^F

(Reversible Direted Ar Consistensy, RDAC). Chaque ontrainte

C _ij ∈ C ^F

est orientéeversunede sesvariables

X _i

^ou

X _j

^etles

éventuelles absenes de support sont omptabilisées

surlavariableindiquéeparetteorientation. Celaest

équivalentàaeter(0,1)ou(1,0)auouple

(λ ij , λ ji ).

[12℄ montre que le problème qui onsiste à trouver

une façon optimale d'orienter les ontraintes de

C ^F

estNP-diile. LesalgorithmesPFC-RDACetPFC-

MRDAC [8℄ optimisent l'orientation des ontraintes

de

C ^F

^{enhaquenoeudduB&Bparreherheloale.}

[9℄ propose une amélioration de la borne obtenue

par l'orientation des ontraintes de

C ^F

^{par l'ajout}

de ontributions globalesde sous-ensembles disjoints

de

F

(Partition-Based Lower Bound). Il existe maintenant des tehniques de onsistanes loales

plusélégantes et plus puissante :

AC

^{∗ [11℄,}

F DAC

^∗

[10℄ et

EDAC

^{∗ [4℄. Dans e papier nous} établissons des liens entre l'inférene de liques et les bornes

inférieures lassiques DAC, RDAC et WAC. Nous

pensonsque es liens peuventêtre aussi établis pour

lestehniques

AC

^∗,

F DAC

^{∗ et}

EDAC

^∗.

3 Modèles linéaires à base de liques

pour les Max-CSP

Cette setion montre omment la notion de lique

binaire peut être utilisée pour le alul de bornes

inférieures pour les Max-CSP. Nous donnons tout

d'abord une formulation linéaire pour les liques bi-

naires,puisnousannonçonsunthéorèmequinousper-

mettra de présenter diérentes manièresde alul de

bornesinférieures.

Nousommençonslaformulationparl'introdution,

pourhaquevariable

X i

^{, de}

d i

^{variables binaires}

x ^k _i , k = 1, ..., d i

⁽

d i

^{étant lataille dudomaine}

D i

^{), telles}

que :

x ^k _i = 1

^si

X i = v k

^et

x ^k _i = 0

^si

X i 6= v k .

Inférence de Cliques pour la Résolution de Max−CSP 231

Nousintroduisons aussi, pourhaqueontrainte

C ij

^,

une variable binaire

η ij

^{qui prendra la valeur1 ou0}

selonquelaontrainteestvioléeoupas. Danslasuite

de e papier, nous noterons par

x

^{le veteur à om-}

posantes

x ^k _i

^,par

η

^{leveteuràomposantes}

η ij

^etpar

S

^{l'ensembledessolutionsduMax-CSP :}

x = (x ^k _i ) ^k=1,d _i=1,n

ⁱ

∈ S ⇔ ( P

v

k∈

D

i

x ^k _i = 1 i = 1, n

x ^k _i ∈ {0, 1} i = 1, n, v k ∈ D _i

Soit

Γ ij = E i ∪ E j

^{une lique binaire1. Elle peut}

êtreformuléelinéairementommesuit:

ψ(E i , E j ) = X

v

k∈

E

i

x ^k _i

! +



 X

v

l∈

E

j

x ^l _j



 ≤ 1 + η ij

⁽¹⁾

Cette ontrainte est l'interprétation de la formule

logique :

X _i = v _k ∧ X _j = v _l ⇒ η _ij = 1,

^pour

(v k , v _l ) ∈ E _i × E _j .

^{Ellesigniequesilesvariables}

X _i

et

X j

^sontrespetivementinstaniéespardesvaleurs

v k ∈ E i

^et

v l ∈ E j

^{, alors la ontrainte}

C ij

^{est vi-}

olée. Ainsi, à tout ensemble de

m

^{liques binaires}

(m ≥ 0)

^,

Γ = {Γ

¹

_i

1

j

₁

, Γ

²

_i

2

j

₂

, ...Γ ^m _i

_m

_j

_m

}

^{tel que}

Γ ^t _i

_t

_j

_t

= E _i ^t

_t

∪ E _j ^t

_t

(1 ≤ t ≤ m)

^{, on peut assoier le système}

linéaired'optimisationsuivant:

IP (Γ)







min

η. 1 l e

t.q : ψ(E _i ^t

_t

, E _j ^t

_t

) ≤ 1 + η _i

_t

_j

_t

t = 1, m x ∈ S

où

1 l e

^{est un veteur de}

e

^1,

e

^{étant le nombre de}

ontraintesdansleMax-CSP.

Théorème 1. Toute borne inférieure du système

linéaire

IP (Γ)

^{est uneborne inférieure duMax-CSP.}

Démonstration. Ilsut demontrer quelavaleurop-

timaledusystème

IP (Γ)

^{est une borneinférieure du}

Max-CSP.Soit

I = (v

¹

, v

²

, . . . , v ⁿ )

^{unesolutionopti-}

maleduMax-CSP,

V (I)

^{sonoût(lenombredeon-}

traintes violées) et onsidérons le ouplede veteurs

(¯ x, η) ¯

^telque:

• ¯ x = ¯ x ^k _i k=1,d

i

i=1,n

^:

x ¯ ^v _i

ⁱ

= 1

^et

x ¯ ^k _i = 0, ∀v k ∈ D i − {v ⁱ }

^;

• η ¯ = (¯ η _ij ) _c

_ij∈

_C

^:

η ¯ _ij = 1

^si

Γ

^{ontientau moins}

une lique

Γ ^t _ij

^{telle que}

v ⁱ ∈ E _i ^t

^et

v ^j ∈ E ^t _j

^{, 0}

sinon.

Par onstrution, le ouple

(¯ x, η) ¯

^{est une solution}

du système

(IP )

^{. Son oût}

V (¯ x, η) ¯

^{est forément}

1

Ilest à noterque l'un dessous-ensembles

E

_i ou

E

_j peut êtrevide, danse aslaliqueest forméeuniquementpar les

valeursdusous-ensemblenonvide.

supérieurouégalauoût

V (IP (Γ))

^{delameilleureso-}

lutionde

IP (Γ).

^{Comparonsmaintenant}

V (¯ x, η) ¯

^ave

le oût

V (I)

^{de la solution}

I

^{du Max-CSP. On peut}

vérierquesi

η ¯ ij

^{vaut1alorslaontrainte}

C ij

^estvio-

léeparlasolution

I

^{etquel'inverseestfaux. En eet,}

¯

η _ij

^{neprendun1quesi}

Γ

^{ontientaumoinsunelique}

ontenantà lafois

v ⁱ

^et

v ^j

^{. Cela n'est possible, par}

dénition delique,quesi

¬R ij (v ⁱ , v ^j )

^{. Parontre,il}

sepeutbienqu'onait

¬R _ij (v ⁱ , v ^j )

^sansque

Γ

^possède

une liqueontenantà la fois

v ⁱ

^et

v ^j

^{. Cela dépend}

du nombre et de la façon dont elles sont onstruites

lesliques. Paronséquent,lenombredevariables

η _ij

mises à1 est au plus égal au nombre de ontraintes

violées par lasolutionoptimale

I

^{duMax-CSP, d'où}

V (I) ≥ V (¯ x, η) ¯ ≥ V (IP (Γ)).

Corollaire 1. Si pour toute ontrainte

C ij ∈ C

^et

toutoupledevaleursinompatibles

(v k , v l ) ∈ D i ×D j

^,

l'ensemble

Γ

^{ontient au moins une lique ontenant}

àlafois

v _k

^et

v _l

^{alors lesystème}

IP (Γ)

^{estéquivalent}

auMax-CSP.

Danslasuite,ondiraqu'unensemble

Γ

^estomplet

si le système

IP (Γ)

^{est équivalent au Max-CSP. On}

diraqu'ilestinompletoupartieldansleasontraire.

Un des intérêts majeurs d'assoier un système

linéaire

IP (Γ)

^{à un Max-CSP est de pouvoir pren-}

dre en ompte de manière globale les ontraintes du

problème. Cependant,plusieursquestions peuventse

poser. Onpeutlesregrouperendeux questionssuiv-

antes: (1)Commenthoisirl'ensemble

Γ

^{? (2)Com-}

mentexploiterlesystèmelinéaire

IP (Γ)

^{? Ontentera}

de donner des éléments de réponses à es questions

danslessetionsquisuivent.

4 Résolution de Max-CSP par Program-

mation Linéaire en Nombres Entiers

Un début de réponse possibleauxquestions poséesà

lasetionpréédente est dedirequ'ilsut dehoisir

un système

IP (Γ)

^{omplet et de le résoudre par la}

ProgrammationLinéaireenNombresEntiers(PLNE).

Ilresteàdirequelensemble

Γ

^{omplethoisir.}

Une façon lassique et simplede onstruire un en-

semble

Γ

^{omplet est d'assoier à haque ouple de}

valeurs inompatibles

(v k , v _l ) ∈ D _i × D _j

^{de haque}

ontrainte

C _ij ∈ C

^{une liqueontenantuniquement}

les valeurs

v _k

^et

v _l

^. L'inonvénient deette façonde fairerésidedanslefaitquel'informationapportéepar

haqueliqueestpauvre. Danseas,uneliquenous

informeuniquementdel'inompatibilitéd'unseulou-

pledevaleurs. Deplus,

Γ

^{ontiendraungrandnombre}

de liques, autant qu'il y ade ouples de valeursin-

ompatibles. On présente ii une meilleure façonde

onstruireunensembledeliques

Γ

^omplet.