Deux approches complémentaires pour un problème d'arbre couvrant robuste

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Deux approches complémentaires pour un problème

d’arbre couvrant robuste

Lucie Galand, Olivier Spanjaard

To cite this version:

Lucie Galand, Olivier Spanjaard. Deux approches complémentaires pour un problème d’arbre couvrant

robuste. 8ème Congrès de la Société Française de Recherche Opérationnelle et d’Aide à la Décision

(ROADEF 2007), Feb 2007, Grenoble, France. pp.129-137. �hal-01311616�

ouvrant robuste

L.GalandetO.Spanjaard

LIP6,4pla eJussieu,75252Paris edex05 {lu ie.galand,olivier.spanjaard}lip6.fr

Résumé Leproblèmedel'arbre ouvrantminimumserésoutentempspolynomialparles algorithmesdeKruskal(1956)etdePrim(1957). Nousnousintéressonsi ià unevariante plusdi ilede e problème,oùl'on re her heunarbre ouvrant robusteenprésen e d'in- ertitudesurle oûtdesarêtes.Pluspré isément,onsupposequel'in ertitudeestmodélisée parlaprise en ompteexpli ite deplusieurss énarios, autrementditplusieursjeux de va-luationspossibles.Ils'agitalorsdetrouverunarbre ouvrantquirestesatisfaisantdanstous les s énarios. Nous adoptons omme mesure derobustesse lamoyenneordonnéepondérée (OWA,OrderedWeightedAverage),dontl'utilisationenoptimisationrobusteaétéjustiée dans[7℄et[8℄.Aprèsavoirdis utéla omplexitéduproblèmeainsiposé,nousprésentonsun algorithmeappro hépark-optimisation,puisunalgorithmeexa tparséparationet évalua-tion,quis'appuiesurle pré édent danssa phased'initialisation.Desrésultats numériques sont présentés,montrantl'e a itédenotrealgorithme.

Mots-Clefs. Optimisationrobuste;Arbre ouvrantminimum;Séparationetévaluation.

1 Introdu tion

L'optimisation ombinatoirerobuste onnaîtunintérêt roissantdepuisl'ouvrage[5℄.Elleviseà revisiterlesproblèmes lassiquesd'optimisation ombinatoireenprenanten ompteexpli itement l'in ertitude qu'il peut y avoirsur les paramètres duproblème, en parti ulier sur les valuations utilisées. Deux appro hesde larobustesse peuvent êtredistinguées selonlafaçondontest déni l'ensemble des s énarios : le modèle par intervalles où haque valuation est un intervalle et où l'ensembledess énariosestdénien ompréhension ommeleproduit artésiende esintervalles;le modèlepars énariosoùlesvaluationssontdesve teurs- oûts,dont haque omposante orrespond àuns énariodonné.

Nous nous intéressons i i plus spé iquement au problème de l'arbre ouvrant robuste dans le modèle par s énarios. Ce problème a été prin ipalement étudié jusqu'à maintenant en utili-santle ritèremin-max ommemesure de robustesse(i.e., on re her he l'arbre ouvrantdontle ve teur- oût a la omposante maximale la plus petite possible). Les auteurs de [3℄ ont montré que e problème est NP-di ile (une preuve alternativeest présentée dans [10℄) et ont proposé unalgorithmeexa tpourlerésoudre,fondésurlak-optimisation.Plus ré emment,lesauteursde [1℄ontproposéuns héma ompletd'approximationpolynomialepour eproblème.Nousétudions i i un problème plus général,où l'on utilise le ritère de la moyenneordonnée pondérée (OWA, OrderedWeightedAverage [9℄) ommemesurederobustesse.Ce ritère,justiédans[7℄et[8℄pour l'optimisationrobuste,permetderendre ompted'attitudesmoinspessimistesfa eàl'in ertitude quele ritèremin-max,enprenanten omptelesvaleursdessolutionssurl'ensembledess énarios pluttquesurlepireseulement.

Aprèsavoirprésenté formellement leproblèmeet dis utésa omplexité(se tion2), nous pro-posons une méthode fondée sur la k-optimisation (se tion3) dontla variante appro hées'avère beau oupplusperformantequelavarianteexa te, ommelemontrentlesexpérimentations numé-riquesprésentées.Nousproposonsensuiteunalgorithmeexa tfondésuruneméthodedeséparation et évaluation(se tion4),dontl'initialisationestee tuéeàpartirdelasolutionrenvoyéepar l'al-gorithmeappro hédelase tionpré édente.Desrésultatsnumériquessontégalementfournispour ette méthode, quimontrentsonintérêt omparativementàlaversionexa tedel'algorithme par

Etantdonné unensemblef1;:::;qgde s énarios,on peutasso ierunve teur deN q

à haque arbre ouvrantdugraphe, orrespondantàlasommeve torielledes oûtsdesarêtesle omposant. La omparaisond'arbres ouvrantsseréduitalorsàla omparaisondesve teurs orrespondants. A lasuitede[7℄et [8℄, nousproposons de omparerlesve teursselonleur valeurowa [9℄ dénie ommesuit:

Dénition 1 Etant donné un ve teur x 2 N q

, sa moyenne ordonnée pondérée est owa( x ) = P q i =1 w i x ( i ) , où x (1) :::x ( q)

représentent les omposantesde x triées enordredé roissa nt et P q i =1 w i =1.

Nous onsidérons i i la sous-famille des opérateurs owa où les poids sont dé roissants (i.e., w

1

:::w q

), equi onduitàa ordermoinsd'importan eauxs énariospourlesquelsle oût estpeuélevé.Cettepréo upationestnaturelle pourmodéliserlanotionderobustesse.Ce ritère est ependant moins pessimiste quele ritèremaxpuisqu'il a orde des poids non nuls aux s é-narios pourlesquelsle pirene seréalise pas.Remarquonstoutefois quel'opérateurowa englobe le ritèremax:il sut pour ela deprendrelespoidsw

1 =1,w 2 =0,:::,w q =0.Un autre as parti ulierintéressantestobtenulorsquel'onadegrandsé artsdepoids( w

1

:::w q

),puisque l'on retrouvealorsl'ordreinduitparl'opérateurleximax,qui onsisteà omparerdeuxve teurs surlabasedeleurplusgrande omposante,puisdeleurse ondeplusgrandeen asd'égalitésurla première,et ainsi desuite... Ce ritèrerane don l'opérateurmaxendépartageantlesve teurs ayantlamême valeursurlaplus grande omposante enfon tiondes valeurssur les omposantes suivantes.

Dans e adre,lare her hed'unarbre ouvrantrobusterevientàrésoudreleproblèmesuivant:

Arbre ouvrant robuste (ACR)

Instan e: ungraphenon-orientéG=( V;E) ,qfon tionsdevaluation i

:E !N pouri=1;:::;q. Obje tif : déterminer un arbre ouvrant T minimisant owa( ( T)) ,où ( T)= (

1 ( T) ;:::; q ( T)) ave i ( T)= P e2T i ( e) .

Commeindiquépré édemment,lorsquew 1

=1ettouslesautrespoidsw i

sontnuls,le ritèreowa seréduitau ritèremax .Or,ilaétéprouvédans[3℄et [10℄queleproblèmedelare her hed'un arbre ouvrant min-maxest NP-di ile. Le problèmedéni i i l'est don égalementdans le as général.Remarquons ependantquele problèmepeut devenirpolynomialpour ertainesfamilles d'instan es:  lorsquew 1 =w 2 =:::=w q

, ilsut devaluer haquearêteepar P

i

i

( e) ,puisd'appliquer unalgorithme lassiqued'arbre ouvrantminimumpourobtenirlasolutionoptimale;  lorsqu'ilexisteunepermutation dess énariostelleque

(1)

( e)::: ( q)

( e)pourtoute arêtee, il sut de valuer haquearête epar

P i w i ( i )

( e) puisd'appliquer unalgorithme lassiqued'arbre ouvrantminimumpourobtenirlasolutionoptimale.

Pré isonsque esdeux asdegureseren ontrentnéanmoinsassezpeufréquemment.

Enn,ilest fa ilede onstruireuns héma ompletd'approximationpolynomialepour e pro-blème. Pour ela, à la manière de [1℄, on peut s'appuyer sur le s héma omplet existant pour approximerlafrontièredeParetodelaversionmultiobje tifduproblèmedel'arbre ouvrant mi-nimum [6℄. Cet algorithme renvoie un ensemble T

"

d'arbres ouvrants de taille polynomiale tel que pour tout arbre ouvrant T du graphe il existe T

" 2 T " pour lequel i ( T " )  (1+") i ( T) pouri =1;:::;q. En remarquantque[ 8 i x

i y

i

℄) owa( x ) owa( y) et queowa ( (1+") x ) = (1+") owa( x ), onpeut en déduire quel'arbre ouvrant T

 "

telque owa ( ( T  " ))=min T"2T" owa( ( T " ))vérieowa( ( T  " ))(1+") owa( ( T  )) ,où T 

désignel'arbre ouvrant optimalau sensdel'opérateurowa.Ondisposedon ainsid'uns héma ompletd'approximationpolynomiale pourleproblèmeACRdénipré édemment(l'algorithmeestbienpolynomialpuisquelare her he del'arbre ouvrantT

 "

sefaitdansunensembledetaillepolynomiale).Cependant,laportéede e résultat estessentiellementthéorique.C'est pourquoinousproposons danslase tionsuivante un

3.1 Une appro he park-optimisation

En pratique, les solutions robustes sont souvent de bonne qualité en terme de oût moyen dans les diérents s énarios. Ainsi, à la manière de [3℄, il peut être intéressant d'énumérer les arbres ouvrants dans l'ordre roissantde leur oût moyen respe tif (voiraussi [2℄ pourla mise en ÷uvrede e typed'appro hepourlare her hed'un arbre ouvrantdemeilleur ompromisen optimisationmulti ritère).Laquestionquel'onseproposed'étudierdans ettese tionestdesavoir quandarrêterl'énumérationanobtenirunesolutionappro héeave unrapportd'approximation à(1+")(ave "0).A etitre,onétablitlerésultatpréliminairesuivant,quilielavaleurmoyenne d'unve teuretsa valeurowa:

Proposition1 Pour tout ve teur x 2 N q

et tout jeu de poids dé roissa nts w 1 ;:::;w q tel que P q i =1 w i

=1, onvérie: avg ( x ) owa ( x ) , oùavg ( x )= 1 q P q i =1 x i .

Preuve.Considéronsladiéren eD=owa( x ) avg ( x ) . Ona:D= P q i =1 w i x ( i ) P q i =1 1 q x i = P q i =1 ( w i 1 q ) x ( i )

.Soitk2f1;:::;qgtelque8 i2f1;:::;kg, w i > 1 q et 8 i 2 fk +1;:::;qg, 1 q  w i . On peut dé omposer D en : P k i =1 ( w i 1 q ) x ( i ) + P q i =k+1 ( w i 1 q ) x ( i ) .Commex (1) x (2) :::x ( q) ,ona P k i =1 ( w i 1 q ) x ( i ) x ( k) P k i =1 ( w i 1 q )et x ( k+1) P q i =k+1 ( w i 1 q ) P q i =k+1 ( w i 1 q ) x ( i ) .Ainsi,Dx ( k) P k i =1 ( w i 1 q ) x ( k+1) P q i =k+1 ( 1 q w i

) (1). On peut remarquer que P q i =1 ( w i 1 q ) = 0 puisque P q i =1 w i = 1 = P q i =1 1 q , et don P k i =1 ( w i 1 q )= P q i =k+1 ( 1 q w i ) .PosonsW = P k i =1 ( w i 1 q )= P q i =k+1 ( 1 q w i ) .D'après(1),on adon DW( x ( k) x ( k+1)

) .Onen on lutqueowa( x )avg( x )puisqu'il estfa iledevérier queW 0.

SoitfT 1

;:::;T r

gl'ensembledesarbres ouvrantsdugraphe,ave desve teurs oûtsx 1

;:::;x r

, indi és detelle manièreque avg( x

1 ) avg ( x 2 ):::avg( x r ) .La suite( T j ) j=1;:::;r peutêtre engendrée enimplémentantunalgorithmede k-optimisation(i.e.,un algorithmequi énumèreles k meilleures solutions dans l'ordre roissant) sur le graphe G = ( V;E) valué selon la fon tion de valuation s alaire 0 : E ! R + dénie par 0

( e) = avg ( ( e)) . En eet, la valeur d'un arbre ouvrant T j du graphe est 0 ( T j ) = P e2T j 0 ( e) = P e2T j avg ( ( e)) = P e2T j 1 q P q i =1 i ( e) = P q i =1 1 q P e2T j i ( e)= P q i =1 1 q i ( T j )= P q i =1 1 q x j i =avg ( x j

) .L'énumérationdesarbres ouvrants dansl'ordre roissantdelamoyennepeutainsiêtreréaliséeàl'aidedel'algorithmede k-optimisa-tionproposépar[4℄pourleproblèmedel'arbre ouvrant.

Supposons que durant l'énumération, on atteigne à l'étape k un arbre ouvrant T k tel que (1+") avg( x k )owa( x ( k)

) ,où( k)=arg min j2f1;:::;kg

owa( x j

)( ( k)estl'indi edel'arbre ouvrant

optimal au sens de owa parmi fT 1

, :::, T k

g). L'énumération peut alors être arrêtée grâ e à la propositionsuivante:

Proposition2 S'ilexistek2f1;:::;rgpourlequel(1+ ") avg( x k )owa( x ( k) ) ,alorsowa( x ( k) ) (1+")min j=1;:::;r owa( x j ) . Preuve. T ( k)

est un arbre ouvrant vériantowa( x ( k)

) =min j=1;:::;k

owa( x j

) .Or, pour tout j 2 fk+1;:::;rg, ona : owa( x j ) avg ( x j ) (d'aprèsla proposition 1) et avg( x j )  avg ( x k ) . Ainsi,(1+") avg( x j )(1+") avg( x k )owa( x ( k) ) ,d'où(1+") owa( x j )owa( x ( k) )pourtout j 2fk+1;:::;rg.Ainsiowa( x ( k) )owa( x j )pourj=1;:::;ketowa( x ( k) )(1+") owa( x j ) pourj=k+1;:::;r,don owa( x

( k)

)(1+") owa( x j

)pourj=1;:::;r.

Lespropositions1et2montrentqu'unarbre ouvrantappro hantlavaleuroptimaleà(1+") près peut être obtenu par l'exé ution d'un algorithme de k-optimisation sur le graphe dont les arêtes sont valuées par lafon tion s alaire

0

. Dans le pire des as, ela reviendrait àengendrer touslesarbres ouvrantsdugraphesansa tiverla onditiond'arrêtdelaproposition2.Cependant, enpratique,laséquen e roissantedes((1+") avg ( x

j ))

j=1;:::;k

roiselaséquen edé roissantedes ( owa( x

( j)

Remarque : la proposition 1 permet de montrer fa ilement qu'un problème d'optimisation ro-buste est q-approximable (i.e.,onpeutdéterminer entemps polynomialunesolutiondontla va-leur est au plus q fois la valeur de la solution optimale) dès lors que sa version lassique (i.e., àun seuls énario) est résolubleen temps polynomial. En eet,appelonsx

 owa

lasolution opti-male duproblème pourle ritèreowa et x

 avg

lasolution optimaleduproblème pourle ritère avg . Remarquonstout d'abord, omme indiqué pré édemment, que la solution x

 avg

peut être obtenue en temps polynomial en résolvantle problème valué selon

0 . De plus, on a owa( x ) = P q i =1 w i x ( i )  P q i =1 x i =q P q i =1 1 q x i

=q: avg( x ) pourtout ve teurx 2 N q

et tout jeu de poids w 1 ;:::;w q telquew i

18 i .En parti ulier,onvériedon owa( x  avg )q: avg( x  avg ) .Comme avg ( x  avg )avg( x  owa

) ,onendéduitqueowa( x  avg )q: avg( x  owa ) .D'aprèslaproposition1, on a avg ( x  owa ) owa( x  owa

) dès lorsque les poids sontdé roissantset somment à 1,et par onséquentowa( x  avg )q: owa ( x  owa ) . 3.2 Expérimentations numériques

L'algorithmeque nousproposonsaétéimplémenté enC++ et lestests ontété menéssur un ordinateurmunid'unpro esseurPentiumIVà3.6Ghzave 2Godemémoirevive.Lestableaux i-dessous(Tab.1)montrentlesrésultatsdetestsee tuéssurdesgraphes ompletsà3et5s énarios respe tivement, en fon tion de la valeur de " et du nombre de sommets du graphe. Les temps indiquésdanslestableaux orrespondentautempsmoyenréaliséparl'algorithmesur30instan es aléatoires.Le symbole  - signiequelamémoirevivedel'ordinateuraété insusante pour la majoritédesinstan es.Lorsquelamémoireaétéinsusante pouruneminoritéd'instan es,nous faisonsgurerletemps moyenobtenusurlesinstan espourlesquellesl'exé utiondel'algorithme apuêtremenéeàterme.Ce iestparti ulièrementle aspour"=0.Lestempsgurantsur ette lignedoiventdon êtrevus ommedesindi ateursdeperforman esurdesinstan esnon ritiques.

Tab.1.Tempsd'exé utionpour3et5s énarios.

Temps(enms)pour3s énarios(w=(0 :6 ;0 :3 ;0 :1) ) "nj Vj 5 10 15 20 30 40

0% 0 5 443 563 2051 4356 3% 0 2 12 380 654 973 5% 0 0 22 28 63 228

10% 0 0 0 2 2 5

Temps(ens)pour5s énarios(w=(0 :5 ;0 :3 ;0 :1 ;0 :06 ;0 :04) ) "nj Vj 5 10 15 20 30 40

0% 0 0,09 2,89 8,42 20,2 -3% 0 0,02 0,57 2,1 2,91 27,64 5% 0 0,01 0,01 0,36 2 3,5 10% 0 0 0,01 0,02 0,04 2,11

Remarquonsqu'onobtient unalgorithmeexa tpour"=0.Leprin ipal enseignement de es testsestl'é artdeperforman egrandissantentrelesversionsappro héesetlaversionexa telorsque lenombredes énariospassede3à5(parexemple,pour30sommetsletempsestmultipliépar10 pourlaversionexa te,alorsqu'ilrestedel'ordrede quelquesse ondespourlaversionappro hée à3%).Autrementdit, lorsquelenombredes énariosaugmente,vérierla onditiond'arrêtpour ">0estbeau oupplusrapidequepour"=0.Eneet,d'unepartilexistepratiquementtoujours une solution de faible owa parmi les solutions de faible moyenne, et d'autre part il existe de nombreux arbres ouvrantsde oût moyenéquivalent.On obtient don rapidement une solution

et unespa emémoireimportant(l'algorithmedek-optimisationné essitele sto kagede données intermédiaires importantes, e qui devient rédhibitoire lorsque la taille de l'instan e augmente, omme l'indique la présen e du  -  en bout de première ligne du tableau pour 5 s énarios). Pourfairefa e à ette di ultéet obtenirunalgorithmeexa tprati ablepour eproblème,nous présentonsdanslase tionsuivanteunalgorithmeparséparationetévaluation.Eneet,lesgrands ensemblesdesolutionsdemoyenneéquivalenteneprésententpluslamêmedi ultédetraitement pour etyped'algorithme.

4 Un algorithme exa t

4.1 Uneappro he parséparation etévaluation

Nous dé rivons i-dessous une méthode par séparationet évaluation pour le problèmeACR. La méthodeque nousproposonsexplore en profondeurd'abordl'arbores en edere her he dont haquenoeud nest ara tériséparlesélémentssuivants:

 in ( n )l'ensembledesarêtesqui doiventgurerdanstouslesarbres ouvrantsasso iésàn;  out( n )l'ensembledesarêtesqui sontinterditesdanstouslesarbres ouvrantsasso iésàn;  ev( n ) la valeur de la fon tion d'évaluation en n , qui représente une borne inférieure de

min T2T( n )

owa( ( T)) , où T( n ) désigne le sous-ensemble d'arbres ouvrants déni impli i-tementparin ( n )et out( n ) .

Nousdétaillonsmaintenantpluspré isémentl'initialisation,leprin ipedeséparationetla fon -tiond'évaluationdenotreméthode:

Initialisation.Uneméthodedeséparationetévaluationest notoirementpluse a equandune bonne solution est onnue avant de démarrer la re her he. Dans notre méthode, laborne supé-rieure est initialiséepar l'algorithme appro hé dé rit dans lase tion 3. En eet, ommeindiqué pré édemment,une solutionappro héedebonnequalité peutainsi êtreobtenuetrès rapidement, equi permettraensuited'éviteruneexplorationtropapprofondiedesous-espa esne omportant pasdebonnesolution.

Prin ipe de séparation. En haque noeud n , on dé ide de pla er dans in ( n ) ou dans out( n ) l'arête e minimisant sa moyenne avg parmi les arêtesde l'ensemble E ( in ( n )[out( n )) . Cela revient à diviser l'espa e de re her he en réant deux noeuds n

0 et n

00

, su esseurs de n dans l'arbores en e,telsque:

 in ( n 0 )=in ( n )[fegetout( n 0 )=out( n ) ,  in ( n 00 )=in ( n )etout( n 00 )=out( n )[feg.

Remarquonsquesiajouterl'arêteeàin ( n )danslenoeudn 0

réeun y le,alorsseullenoeudn 00 sera réé ommesu esseurden .

Fon tion d'évaluation.En haquenoeudn , ondoitdisposerd'unefon tiond'évaluation repré-sentantuneborneinférieuredelamoyenneordonnéeowadetoutarbre ouvrantissudunoeudn . Pour ela,nousproposonsde onsidérerle oûtdel'ensembledesarbres ouvrantsissusden(i.e. in luantlesarêtesdein ( n )etex luantlesarêtesdeout( n ) )pour ha undess énariosséparément ainsiquepourlamoyennearithmétiquedesdiérentss énarios.Soitf( n )2N

q

leve teur oûttel que f

i

( n )représente la valeurdel'arbre ouvrant minimum aun÷ud npourle s énarioi ( ette valeurestobtenueparl'appli ationdel'algorithmedeKruskalpourles énarioientenant ompte des ontraintesimposéesparin ( n )et out( n ) ).Soitf

0( n )

2R le oût dumeilleurarbre ouvrant issu de n pour lamoyenne arithmétiquedess énarios( ette valeur est obtenuepar l'appli ation de l'algorithme deKruskalen tenant ompte des ontraintes imposéespar in ( n )et out( n ) , ette fois- i sur le graphe valuéparle s alaire

0

). Lafon tion d'évaluation ev( n )que nous proposons d'utiliser estlavaleuroptimaleduprogrammesuivant:

( P n ) 8 > > > > > < > > > > > : minowa( x ) x i f i ( n ) 8 i=1;:::;q q X i =1 1 q x i f 0( n ) q

n

peut don dé omposer e problème ensous-problèmesdénis ha un dans unsous-espa ede N q danslequeltouslesve teurssont omonotones(i.e.pourtoutepairex ,y deve teurs,ilexisteune permutation  de (1 ;:::;q)telle que x

(1)  :::  x ( m ) et y (1)  :::  y ( m ) ). Dans ha un de es sous-espa es, l'opérateur owa se ramène alors à une simple somme pondérée des oûts. La résolution de P

n

revient don à résoudre ha un des programmes linéaires dénis pour une permutation de(1 ;:::;q)par: ( P n; ) 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : min q X i =1 w i x ( i ) x ( i ) x ( i +1) 8 i=1;:::;q 1(1 : 1) x i f i ( n ) 8 i=1;:::;q (1 : 2) q X i =1 1 q x i f 0 ( n ) (1 : 3) x2N q

L'évaluation inférieure en n se dénit don omme ev( n ) = min 2 owa( x  n; ) où x  n; désigne lasolutionoptimaleduprogrammelinéaireP

n;

et  l'ensembledespermutationspossibles. Re-marquons quepour q s énarios, il y aj j =q! programmes linéaires à résoudre. Cependant, en pratiquelarésolutionde esq!programmeslinéairesn'estpasné essaire.Eneet,onpeutmontrer qu'ilexisteunepermutation 



aisément al ulabletelle queev( n )=owa( x  n;

):

Proposition3 Soit  

la permutation telle que f   (1) ( n )  f   (2) ( n )  :::  f   ( q) ( n ) . Pour toutesolution réalisabl e x de P

n;

, il existe une solution réalisabl e y de P n;



vériantowa( y)= owa( x ) .

Preuve. L'idée est de déterminer une solution réalisabley de P n;  telle que y ( i ) =x ( i ) 8 i . En eet,onaalorsowa( x )=owa( y)etonpeutimmédiatement on lure.Pour ela,on onstruitune séquen e ( x

j )

j=1;:::;k

de solutions et une séquen e (  j

) j=1;:::;k

de permutations telles que x j est réalisablepourP n; j (pourj =1;:::;k),ave x 1 =x , 1 =, k =  et x 1 ( i ) =x 2 ( i ) =:::=x k ( i ) 8 i . Considérons qu'ilexiste i

0 ;i 1 2 f1;:::;qg tels que i 0 <i 1 et f  1 ( i 0 ) ( n )<f  1 ( i 1 ) ( n ) . Soit 2 la permutation dénie par 

2 ( i 0 ) = 1 ( i 1 ) ,  2 ( i 1 )= 1 ( i 0 ) , et  2 ( i )= 1 ( i ) 8 i6=i 0 ;i 1 . Soit x 2 la solution dénie par x

2  2 ( i ) = x 1  1 ( i )

pour i = 1;:::;q. Montrons que x 2

est bien une solution réalisable deP n; 2. En remarquantquex 1  1 ( i0) f  1 ( i 0 ) ( n ) , x 1  1 ( i1) f  1 ( i 1 ) ( n ) ,x 1  1 ( i0) x 1  1 ( i1) et f  1 ( i1) ( n )>f  1 ( i0)

( n ) ,onvériebien queles ontraintes(1.2)sontsatisfaites:  x 2  2 ( i0) =x 1  1 ( i0) x 1  1 ( i1) f  1 ( i 1 ) ( n )=f  2 ( i 0 ) ( n ) ,  x 2  2 ( i1) =x 1  1 ( i1) f  1 ( i1) ( n )>f  1 ( i0) ( n )=f  2 ( i1) ( n ) ,  x 2  2 ( i ) =x 1  1 ( i ) f  1 ( i ) ( n )=f  2 ( i ) ( n )pouri6=i 0 ;i 1 . Les ontraintes (1.1)sontégalement satisfaites ar [ x

1  1 ( i ) x 1  1 ( i +1) 8 i ℄) [ x 2  2 ( i ) x 2  2 ( i +1) 8 i ℄ puisque x 1  1 ( i ) =x 2  2 ( i )

8 i .De es mêmes égalités,ondéduit enn quela ontrainte (1.3) est sa-tisfaite et que x ( i ) = y ( i ) 8 i . La solution x 2

est don bien une solution réalisable de P n; 2 ave x ( i ) =y ( i )

8 i .Commetoutepermutationestleproduitdepermutationsélémentaires,onpeut tou-jours onstruireainsiprogressivementuneséquen edepermutationsquimèneà



(etlessolutions réalisables orrespondantes). En posant y =x

k

, onobtientalorslasolution réalisablere her hée deP

n; .

Une onséquen eimmédiate de e résultat est que ev( n )= owa( x  n;

) . Ainsi le al ul de la fon tiond'évaluationev( n )revientàrésoudreleprogrammelinéaireP

n; .

Deplus,nousmontrons maintenantquelarésolutionde eprogrammepeutêtreee tuéeentempslinéairedunombrede s énariossansre ouriràunsolveurdeprogramme linéaire.

Le prin ipede ette pro édure (algorithme1) est de xer x  i

=f i

( n ) pour tout i =1;:::;q, de sorte que les ontraintes (1.1) et (1.2) de P

n;

 soient vériées. Cependant, si la somme des oûtsdex



estinférieureàqf

0( n ) ,la ontrainte(1.3)n'estpasvériée.Andelasatisfaire,ilest alorsné essaire derépartirlesurplus
=qf

0( n ) P q j=1 f j

( n )entrelesdiérentes omposantes de x



.Pour ela,l'idée estd'augmenter les oûtsdes omposantesdex 

enmodiantenpriorité les performan es des omposantes de poids les plus faibles (dans l'ordre x

  , x   , :::),

dire tement la valeur de la omposante minimale du ve teur ainsi modié (quantité br dans l'algorithme1).

Algorit hme1:RésolutiondePn; 
qf 0(n) P q j=1 f j (n) s 0;a 0;i q

/*Cal uldunombreq ide omposantesàmodier*/

/*a:quantitémaxpouvantêtreajoutéeauxq idernières omposantes*/ tant quea<
faire

sii=1alors a 1 sinon a a+(f i 1 (n) f i (n))(q i+1) n s s+f i (n) i i 1 n /*Constru tionduve teurx  (n;  ) */ r s+
q i k (r br )(q i ) pourjallantde1àifaire

x  n;  (j) fj(n) n

pourjallantde(i+1)à(i+k)faire x  n;  (j) br +1 n

pourjallantde(i+k+1)àqfaire x  n;  (j) br n Sortie: (x  (n;  ) )

And'illustrer le prin ipedenotre algorithme, onsidéronsmaintenant unexemplede al ul deborneinférieuresurunproblèmeà3s énariosenunnoeudndel'arbores en edere her hetel quel'on af( n )=(5 ;10;3) etf

0( n )=7.Leprogramme( P n

)àrésoudreest alorslesuivant(peu importelesvaleursw

1 w 2 w 3 ): ( P n ) 8 > > > > > > > < > > > > > > > : min w 1 x (1) +w 2 x (2) +w 3 x (3) x 1  5 x 2  10 x 3  3 1 3 ( x 1 +x 2 + x 3 )7 x 2 N 3

Selonlaproposition3,larésolutionde eprogrammeseramèneàlarésolutionduprogramme linéaire ( P

n; )

suivant, pourlequel   (1) =2,   (2) =1 et   (3) = 3(puisque l'on af 2 ( n )  f 1 ( n )f 3 ( n ) ). ( P n; ) 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : min w 1 x 2 +w 2 x 1 +w 3 x 3 x 2 x 1 x 3 (2 : 1) x 1  5 (2 : 2) x 2  10 (2 : 3) x 3  3 (2 : 4) x 1 +x 2 +x 3  21 (2 : 5) 3

 onposex =f( n )=(5 ;10;3) :les ontraintes(2.1), (2.2),(2.3)et (2.4)sontainsivériées. Cependant,la ontrainte(2.5)nepeutêtrevériéequesi l'onajoutelaquantité
=3sur uneouplusieurs omposantesdex .

 Onaugmentealorsla omposantedepoidsminimum(i.e.x 3

)autantquel'onpeutentenant ompte de la ontrainte (2.1) : ela revient à poser x

3 = minfx 1 ;x 3 +
g. I i on obtient x 3

=5, equin'estpassusantpoursatisfairela ontrainte (2.5).

 Onaugmente alorssimultanément lesdeux omposantes de poids lesplus faibles x 1

et x 3

. Puisqu'ilneresteplusquelaquantité1àrajouteretquela ontrainte(2.1)imposex

1 x 3 , onposex 1 =x 1

+1et l'onn'ajouteriensurla omposantex 3

.  Lasolutionx=(6 ;10;5)ainsiobtenueest réalisablepourP

n; 

: onest àl'optimum. Notons que l'exé ution de l'algorithme 1sur et exemplepermet d'obtenir dire tementbr = 5, i=1etk=1, equi biensûr onduitàlasolutionx

 n;



=(6 ;10;5) .

4.2 Résultats expérimentaux

Andetesterl'e a itédelaméthodeparséparationetévaluation,nousavonsréalisédestests dans les mêmes onditions quepour l'algorithmede la se tion3. Letableau 2 montre lestemps obtenussurdesgraphes ompletsenfon tiondunombredes énariosetdunombredesommetsdu graphe. Lestemps indiquésdans lestableaux orrespondentau tempsmoyen total(initialisation +exploration)sur50 instan esaléatoires,laduréemoyenne spé iquement onsa réeàlaphase d'initialisationétantpré iséeentreparenthèses.Cettephased'initialisationestréaliséeàl'aidede l'algorithme de k-optimisation pour " = 0;05. En eet, ette valeur de " permet d'obtenir très rapidementunesolutiondebonnequalité, ommeonl'avudanslase tionpré édente.

Tab.2.Tempsd'exé ution(ens)

qnj Vj 5 10 15 20 30 40 2 0 0 0 0,01 0,09 2,2 (0) (0) (0) (0) (0) (0,01) 3 0 0 0,02 0,07 1,2 3,4 (0) (0) (0) (0) (0,02) (0,02) 5 0 0,06 0,9 15 229 261 (0) (0,01) (0,07) (0,41) (1,55) (3,3)

Cesrésultatsmontrentque etteappro hepermetd'obtenirunesolutionoptimaleenuntemps inférieur à l'appro he exa te de la se tion 3 pour 3 s énarios. Con ernant les instan es ave 5 s énarios,lestempsobtenusdeviennentplusimportantsàpartirde20sommets,mais elanepeut êtreinterprété ommeunesupérioritédel'appro heexa tepark-optimisationsurlaméthodepar séparationet évaluation ar lestemps gurant dansle tableau1 pour "=0ne tiennent ompte que des instan es non ritiques. De plus,la méthode parséparationet évaluation ne soure pas desproblèmesdemémoirevivedelapré édente arl'explorationdel'arbores en eest réaliséeen profondeur: touteslesexé utionssontmenéesàleurterme.

5 Con lusion

Dans e papier, nous avons présenté deux appro hes pour un problème d'arbre ouvrant ro-buste lorsque l'on souhaite prendre en ompte plusieurss énarios sur les oûts des arêtes. Plus pré isément,leproblème onsiste àdéterminerunarbre ouvrantminimisantlamoyenne ordon-née pondérée de ses oûts dans les diérents s énarios. La première appro he s'appuie sur un algorithmedek-optimisationetfournitrapidementunesolutionappro héeselonunrapport d'ap-proximation ontrlé.Lase ondeappro hepro ède parséparationet évaluationpourdéterminer une solution optimale.Sa prin ipale originalitérésidedans la fon tiond'évaluation utilisée pour

d'ailleursquelenombredes énariosestunparamètre ru ialdansladi ultéduproblème.Enn, soulignonsque lesdeux appro hesquenous avonsdéveloppées sont assezgénérales(ni la propo-sition 1quenous utilisons pour établirla validitédupremier algorithme,ni la proposition 3qui justielafon tion d'évaluationduse ond algorithme,nedépendentdelastru ture ombinatoire duproblèmetraitéi i),etdevraientdon pouvoirêtreadaptéese a ementàd'autresproblèmes d'optimisation ombinatoirerobuste.C'estunsujetd'étudeintéressantpourdestravauxfuturs.

Remer iements

Nousremer ionsPatri ePernyet Fran isSourdpourdemultiplesé hangesqui ont ontribué à etarti le,ainsiquelesrele teursanonymespourleurssuggestionspertinentes.

Référen es

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