Modélisation d’une poutre à microstructure bi-stable

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Mehdi Tha

To cite this version:

Mehdi Tha. Modélisation d’une poutre à microstructure bi-stable. Autre. Sorbonne Université, 2018. Français. �NNT : 2018SORUS236�. �tel-02479107�

Présentée par :

Mehdi THA

Pour obtenir le grade de :

DOCTEUR DE SORBONNE-UNIVERSITÉ

École Doctorale Sciences Mécaniques, Acoustique, Électronique et Robotique

Modélisation d’une poutre à microstructure

bi-stable

soutenu le 29 juin 2018 devant le jury composé de :

Adbelmoula Radhi Paris 13, Institut Galilée, Villataneuse Rapporteur

Vidoli Stefano La Sapienza, Labo, Rome Rapporteur

Kondo Djimedo Sorbonne Université, Institut d’Alembert, Paris Examinateur

Maurini Corrado Sorbonne Université, Institut d’Alembert, Paris Directeur

Marigo Jean-Jacques Ecole Polytechnique, LMS, Palaiseau Examinateur

Vincenti Angela Sorbonne Université, Institut d’Alembert, Paris Examinateur

Institut Jean Le Rond d’Alembert Sorbonne-Université / C.N.R.S – UMR 7190

Dans cette thèse on étudie des structures élastiques ayant une microstructure bistable. Dans ces structures les phénomènes d’instabilité à l’échelle microscopique introduisent une dissipation ef-fective à l’échelle macroscopique. On se concentre sur le cas d’une bande élastique constituée d’un arrangement unidirectionnel de cellules bi-stables compatibles entres elles. L’étude se déroule sur deux axes. Dans un premier temps on étudie la cellule bi-stable. Après avoir présenté les outils théoriques (modèles des poutres non-linéaires) et numériques (éléments finis et solveurs nonli-néaires) nécessaires à sa modélisation, on propose deux concepts de cellules bi-stables basées sur la forme initiale de la cellule, et sur le flambement. Le comportement macroscopique de la cellule est approché à partir d’une étude des équilibres et des états critiques par des modèles réduits. De cette étude on définit le potentiel d’une cellule bi-stable comme une énergie non convexe à deux puits. Le comportement macroscopique de la bande indentée est obtenu par l’équilibre d’une série de cellules bi-stables, en sélectionnant parmi toutes les branches d’équilibres possibles, le trajet d’équilibre passant par des états métastables impliquant la transition successive de chacun des éléments. Dans le cas où le nombre d’éléments devient très grand, le comportement macro-scopique se trouve être une transition continue similaire aux mécanismes de transformation de phase. Un modèle phénoménologique de transformation de phase est proposé afin de modéliser dans le cadre des matériaux standards généralisés la transformation de la bande indentée .

This thesis studies elastic structures including a bistable microstructure, where local instabili-ties introduce an equivalent macroscopic dissipation We focus on the one-dimensional case of a dimpled strip. Our dimpled strip is an unidirectional arrangement of bi-stable cells. In a first part, we study the properties of a single bi-stable cell. After presenting the main theoretical and numerical modelling tools, we propose two design concepts of bi-stable cells based obtained playing either with the initial shape or the pre-stress. The macroscopic behavior of the cell is approached from a study of equilibria and critical states by reduced models. This leads to the characterisation of the two-well non-convex energy potential of a bi-stable cell. The macroscopic behavior of the dimpled strip is obtained by studing the equilibrium of a series of bi-stable cells and selecting among all possible equilibrium paths the one passing through metastable states involving the successive transition of each of the elements. In the case where the element number becomes very large, the macroscopic behavior happens to be a continuous transition similar to a phase transformation mechanism. A phenomenological model of phase transformation is propo-sed in order to model in the context of generalized standard materials the transformation of the dimpled strip.

Mes premiers remerciements vont a Stephane Zaleski, directeur de l’institut Jean le Rond d’alembert, pour avoir accepté de m’accueillir dans le laboratoire pour la durée de ma thèse. Je remercie aussi Djimedo Kondo, directeur de l’école doctoral, qui a aussi été mon professeur lors de mes études supérieurs de m’avoir accepté en thèse dans son école doctorale.

Je remercie mon directeur de thèse Corrado Maurini qui a su diriger ma thèse durant ces trois années. Il a su m’encourager et a eu la patience de me soutenir jusqu’au bout dans ce chemin difficile qu’est l’apprentissage de la recherche et la rédaction d’une thèse. Il a été de très bon conseil. Il a partagé avec moi son expérience de la recherche, expérience d’une valeur inestimable pour le passionné que je suis.

Je remercie Simona Otarasanu, responsable administrative de mon laboratoire d’accueil, qui a été aussi d’une oreille attentive quand j’avais besoin d’être écouté. J’en profite pour remercier l’ensemble du personnel administratif de l’institut qui m’ont aidé au niveau logistique à chaque fois que j’en ai eu besoin.

Je souhaite finalement remercier ma famille. Mon père, ma mère, mon frère, qui dans les moments difficiles qui se sont présentés à moi durant cette épreuve qu’est le doctorat, ont toujours su trouver les mots.

Introduction générale 0

1 Contexte et objet d’étude 2

1.1 Les matériaux à transformation de phase . . . 3

1.1.1 Les alliages à mémoire de forme. . . 3

1.1.2 Matériaux cellulaires et mousses élastomères. . . 3

1.2 Les modèles de matériaux à transformation de phase . . . 6

1.2.1 Les modèles d’élasticité non-linéaire : la barre de Ericksen . . . 6

1.2.2 Les chaînes d’éléments bi-stables . . . 8

1.2.3 Les modèles à variable interne . . . 10

1.3 Objet d’étude . . . 11

1.3.1 La bande indentée . . . 12

2 Les modèles de poutre dans de le plan, modélisation et simulation 14 2.1 Introduction . . . 15

2.2 Le modèle de l’Elastica. . . 15

2.2.1 Cinématique. . . 15

2.2.2 Densités d’énergie élastique. . . 17

2.2.3 Problème de l’Elastica. . . 18

2.2.4 Formulation variationnelle des équations d’équilibre. . . 19

2.2.5 Formulation forte des équations d’équilibres . . . 20

2.2.6 Analyse dimensionnelle . . . 21

2.3 Elements finis pour des poutres non-linéaires . . . 21

2.3.1 Outils numériques . . . 22

2.3.2 Formulation aux éléments finis du problème linéarisé . . . 22

2.3.3 Choix des éléments . . . 25

2.3.4 Étude de convergence de différents éléments finis . . . 27

2.3.5 La formulation mixte de l’Elastica extensible . . . 30

2.4 Méthodes de résolution de problème non-linéaire . . . 31

2.4.1 Méthode de Newton-Raphson . . . 32

2.4.2 Méthode de relaxation visqueuse . . . 33

2.4.3 Méthode de continuation. . . 35

2.4.4 Application : Problème de claquage . . . 35

2.5.1 Condition de stabilité d’un problème d’optimisation sans contrainte. . . . 37

2.5.2 Condition de stabilité d’un problème de stabilité avec contrainte . . . 38

2.6 Conclusion du chapitre . . . 39

2.7 Linéarisation du problème extensible . . . 41

2.7.1 Dérivée première . . . 41

2.7.2 Dérivée seconde . . . 41

2.7.3 Première et seconde dérivée pour la configuration droite . . . 42

3 Modélisation d’une microstructure bi-stable 44 3.1 Introduction . . . 45

3.2 Problème modèle : un treillis de Von-Mises. . . 46

3.2.1 Études des équilibres du treillis . . . 47

3.2.2 États critiques et stabilité . . . 49

3.2.3 Transition de claquage . . . 49

3.2.4 Conclusion de l’étude. . . 52

3.3 Un modélisation poutre de la cellule élémentaire. . . 52

3.3.1 Réduction à un modèle de poutre . . . 53

3.3.2 Methode de Ritz-Galerkin . . . 54

3.4 Equilibres pour ˜u = 0 et v0 6= 0 . . . 56

3.5 Equilibres pour ˜u ≥ 0 et v0 = 0 . . . 57

3.6 Etude du comportement macroscopique de la cellule élémentaire. . . 60

3.6.1 Comportement macroscopique d’une cellule à courbure initiale sans rac-courcissement . . . 60

3.6.2 Comportement macroscopique d’une cellule bi-stable sans courbure initiale 61 3.7 Approximation du comportement macroscopique . . . 65

3.7.1 Comportement macroscopique dans le cas d’une transition en mode 1. . . 65

3.7.2 Comportement macroscopique dans le cas d’une transition en mode 2. . . 67

3.8 Conclusion. . . 69

4 Étude de la réponse mécanique d’une chaîne d’éléments bi-stables 71 4.1 Introduction . . . 72

4.2 Equilibre d’un enchaînement de cellule bi-stable . . . 72

4.3 Etude d’une chaîne de 2 éléments . . . 74

4.3.1 Mécanisme de transition et barrière d’énergie . . . 75

4.3.2 Stabilité et mécanismes de transitions à courbure imposée . . . 76

4.4 Étude du comportement d’une chaîne de N cellules bi-stables . . . 79

4.4.1 Équilibre d’une chaîne de N cellules . . . 79

4.4.2 Stabilité à moment imposé. . . 81

4.4.3 Stabilité à courbure imposée. . . 81

4.4.4 Barrière d’énergie à moment imposé . . . 83

4.4.5 Dissipation . . . 83

4.4.6 Relation entre grandeurs macroscopiques et microscopiques . . . 85

4.5 Simulation numérique d’une chaîne de treillis de Von-Mises . . . 85

4.5.2 Réponse macroscopique d’une chaîne de treillis . . . 86

4.6 Conclusion. . . 87

5 Proposition d’un modèle continu 89 5.1 Introduction . . . 90

5.2 Matériaux standards généralisés . . . 90

5.3 Formulation énergétique des équations d’évolution . . . 92

5.4 Proposition d’un modèle de transformation de phase . . . 95

5.4.1 Identification d’un modèle de transformation homogène . . . 95

5.4.2 Transformation inhomogène . . . 97

5.4.3 Une perspective : Transformation inhomogène par un modèle à gradient . 99 5.5 Conclusion. . . 101

6 Conclusion générale et perspective 103 6.1 Conclusion. . . 103

6.2 Perspective . . . 105

L’objectif de cette thèse est de proposer une modélisation pertinente d’une bande indentée en démarrant par le postulat de la forme d’une cellule élémentaire, et son étude. Ce n’est qu’après avoir établie une modélisation satisfaisante de celle-ci que nous étudierons la réponse collective d’un ensemble de cellules. Cette thèse est partagées en 2 volets de lesquels on trouve 4 cha-pitres. Le premier volet a pour vocation l’étude de la cellule élémentaire, et il est composé des deux premiers chapitres. Le chapitre 2 introduit le modèle de l’Elastica plan et les méthodes numériques servant à résoudre des problèmes de poutres par la méthodes des éléments finis. Le chapitre 3 est axé sur la modélisation de la cellule élémentaire par un assemblage d’Elastica et de poutres aux déformations uniformes, sur la condition de bi-stabilité et le mécanisme de transi-tion d’une cellule. Le second volet est axé sur l’étude et la modélisatransi-tion du comportement d’une bande indentée. Le comportement d’une cellule élémentaire étant connu, on propose d’étudier le comportement d’une chaîne de cellules dans le chapitre 4, puis de proposer un modélisation phénoménologique basée sur un critère de transformation de phase dans le chapitre 5. Nous allons maintenant discuter plus en détail de chacun des chapitres.

Le chapitre 1 est une introduction étendue présentant le contexte et les objectifs motivant cette thèse. Nous commençons par examiner différents types de matériaux qui possèdent en com-mun la capacité d’exhiber une transformation de phase. Nous présentons un concept de plaque indentée et une variante de bande indentée que nous voulons étudier comme une structure im-pliquant une transformation de phase.

Le chapitre 2 a pour but d’introduire un certains nombre d’outils et de modèles. On y intro-duit le modèle plan de l’Elastica en transformation finie, déformable en courbure, en extension et en cisaillement. Nous parlerons notamment de la cinématique de l’Elastica, et des différentes hypothèses qui peuvent en découler. Nous parlerons des éléments finis de poutre dans la limite inextensible et du problème de verrouillage en cisaillement. Nous proposerons une solution basée sur une formulation mixte. Ce premier chapitre se finit par la présentation des méthodes numé-riques nous ayant servi à résoudre des problèmes non-linéaires par la méthode des éléments finis, et de l’étude de la stabilité des solutions.

Le chapitre 3 présente le concept de la bande indentée à travers différentes modélisations. Nous commencerons par présenter un problème classique de structure bi-stable avec une va-riante du treillis de Von-Mises, cette étude sera l’occasion d’introduire la sémantique liée au comportement d’une cellule. Une modélisation plus fine est proposée par la suite en utilisant

permettant d’avoir la bi-stabilité, et dans le cas le plus simple, on dérive une loi de comportement simplifiée pour la structure en décrivant la relation entre le moment et la courbure macroscopique.

Le chapitre 4 est une étude d’un enchainement de cellule bi-stable. Le but est de savoir com-ment les cellules réagissent collectivecom-ment à une sollicitation extérieure. Dans un premier temps on cherche à comprendre la mécanique d’un assemblage de seulement deux cellules, on étend en-suite l’étude à un chaîne d’un nombre quelconque de cellules. On fait finalement des hypothèses sur le comportement macroscopique d’une chaîne d’un grand nombre de cellule.

Le chapitre 5 entend proposer une modélisation phénoménologique du comportement d’une chaîne de cellule possédant un grand nombre d’élément. On introduit le cadre des matériaux standards généralisés, et la formulation globale des équations d’évolutions. Différentes équations constitutives sont proposées. On propose un modèle de transformation homogène, inhomogène avec écrouissage structurel, et enfin on ouvre une perspective sur les modèles à gradient.

Contexte et objet d’étude

Sommaire

1.1 Les matériaux à transformation de phase . . . 3

1.2 Les modèles de matériaux à transformation de phase . . . 6

1.3 Objet d’étude. . . 11

On présente une famille de matériaux qu’on appelle de façon assez générale des matériaux à transformation de phase. Le comportement de ces matériaux est caractérisé par des phases élas-tiques souvent non-linéaires séparées par une phase de plateau où se passe une transformation de la microstructure. Au regard de cette similarité on propose un parallèle entre les mousses élas-tomères et les alliages à mémoire de forme. On présente notre objet d’étude qui est une bande constituée d’indentations bi-stables. On propose d’étudier cette structure en étudiant dans un premier temps la bi-stabilité d’une indentation, et d’évaluer le comportement macroscopique en mettant à contribution l’étude de la microstructure. La finalité de cette thèse est d’élaborer un modèle phénoménologique de transformation de phase tenant compte des transformations struc-turelles de la bande indentée.

1.1

Les matériaux à transformation de phase

Un grand nombre de matériaux et de structures exhibent des caractéristiques communes que nous désigneront comme celles des matériaux et structures à transformation de phase. L’ensemble de ces matériaux peuvent être caractérisés par leur réponse mécanique à une sollicitation : ils possèdent au moins deux phases élastiques et peuvent passer d’une phase à une autre par un ensemble de processus internes caractérisés par une phase de plateau.

On peut distinguer deux grandes classes de modèles employés dans la littérature afin d’étudier les matériaux à transformation de phase. Les premiers sont des modèles d’élasticités non linéaires. On citera notamment le problème de la barre de Ericksen comme point de départ, les modèles d’élasticités non convexes avec plusieurs puits de potentiel. La deuxième grande classe de modèle sont les modèles phénoménologiques. Parmi ces modèles, on parlera des modèles à variables internes, ou modèles phénoménologiques.

La notion de matériaux à transformation de phase est d’abord utilisé pour décrire les alliages à transformation de phase, comme les alliages à mémoire de forme. Nous étendons ici étendre cette notion à tout une variété de matériaux et de structures dont les processus internes peuvent mener à des comportements macroscopique similaires. Dans cette section nous présenterons d’abord les matériaux à transformation de phase, puis ensuite nous présenterons des matériaux et des structures possédant des caractéristiques similaires.

1.1.1 Les alliages à mémoire de forme

Certains solides peuvent exister sous différentes phases. Une phase se caractérise pas sa struc-ture cristalline, et une phase peut être préférée à une autre en fonction de l’état de contrainte et de la température du cristal. Lorsque l’état de contrainte, ou la température change, le maté-riau peut passer d’une phase à une autre provoquant le changement des propriétés mécaniques du matériau. Un grand nombre d’alliage possède ces propriétés, une liste non exhaustive est donnée par (Abeyaratne and Knowles, 2006) : on a les alliages à mémoire de forme NiTi, les alliages ferroéléctrique BaTiO₃, les alliages céramiques superconducteurs à haute température ErRh5B4. Pour donner un exemple on présente des résultats expérimentaux sur les alliages de

NiTi par (Shaw and Kyriakides,1995). A suffisamment haute température, la transformation est souvent qualifiée de super-élastique tandis qu’à basse température, elle présente des caractéris-tiques communes à la plasticité. Le plateau de la transformation de phase est caractérisé dans certains cas par une localisation de la déformation. On notera une expérience plus récente (Hallai and Kyriakides,2013) où les auteurs ont réussi à obtenir la réponse homogène, sans localisation de la déformation, lors de la transformation de phase. Ils ont montré que la réponse homogène est adoucissante.

1.1.2 Matériaux cellulaires et mousses élastomères

La microstructure est caractérisée par des cellules ouvertes en nid d’abeille. La forme du nid d’abeille a une influence sur la rigidité effective du matériau lors de la sollicitation. Ces matériaux ont une réponse mécanique constituée de plusieurs phases, la première est la phase élastique, il y a ensuite la phase de plateau, et enfin on trouve une phase de densification. Comme référence sur ce genre de matériaux on notera le livre de référence (Gibson and Ashby,

Figure 1.1 – Représentation du comportement de NiTi pour deux température (Shaw and

Kyriakides,1995). Pour des températures élevées la structure revient à l’état lors de la décharge, tandis qu’à basse température l’échantillon ne revient pas à l’état initial et garde sa forme.

1999) ainsi que les travaux de (Gong et al.,2005). Comme on peut le voir dans la Figure 1.2, lors d’une compression uni-axiale dans la direction verticale, le matériau se déforme de façon apparemment homogène, et il survient pour un chargement donné un changement dans la façon dont se comporte le matériau. La structure flambe périodiquement engendrant le ré-arrangement de l’ensemble de la microstructure. Ce ré-arrangement est à l’origine d’une modification de la rigidité macroscopique du matériau, notamment du fait qu’une partie des branches des cellules qui étaient en compression se déforment désormais en flexion. La phase de plateau correspond à une phase de post-flambement de la microstructure, et survient après la brisure de symétrie. La dernière phase correspond à la densification, la porosité du matériau tend à être nulle, les cellules entrent alors en contact. Cette phase se caractérise par une augmentation de la rigidité effective du matériau. Un même milieu cellulaire, hyper-élastique, possède un comportement différent lorsqu’il est sollicité de façon bi-axiale. Lorsque le matériau entre dans sa phase de plateau, le ré-arrangement adopte une polarisation qui n’existait pas dans le cas la sollicitation mono-axiale. Les mousses élastomères non structurées possèdent des propriétés analogues, voir Figure 1.3 (Gong et al.,2005).

Un certain nombre de papiers plus récent parlent de matériaux dont la microstructure est le siège de phénomènes non-linéaires tel que de flambement ou du claquage. L’un ou l’autre provoque à l’échelle macroscopique des comportements particuliers comparables à de la transfor-mation de phase. On notera que les mousses élastomères structurées entrent dans cette catégorie de matériaux dont la microstructure est polarisable. On notera les travaux de (Bertoldi and Boyce, 2008) sur un matériaux cellulaire, hyperélastique, dans l’esprit d’une mousse structu-rée. La relation entre contrainte et déformation est aussi caractérisée par une phase de plateau correspondant la polarisation du milieu.

Figure 1.2 – Matériau avec cellules à nid d’abeille (Gibson and Ashby,1999).

Figure 1.4 – Matériaux cellulaires hypeélastiques (Bertoldi and Boyce,2008)

1.2

Les modèles de matériaux à transformation de phase

Les modèles de matériaux à transformation de phase se divisent en deux grandes classes. Il y a d’une part les modèles d’élasticité non-linéaires où localement le matériau est modélisé par une densité d’énergie non-convexe, chaque puit de potentiel représentant une phase dans laquelle le matériau peut s’installer. Certains de ces modèles sont phénoménologiques tandis que d’autres sont issus d’une homogénéisation à partir de l’échelle du cristal. Parmi toutes les contributions liées à l’élasticité non-linéaire, il y en a trois. La première est la contribution de (Ericksen,

1975) sur l’équilibre de phase d’une barre, puis les contributions de (Müller, 1977; Fedelich and Zanzotto,1992;Puglisi and Truskinovsky,2000) abordant les mécanisme de transformation avec une approche discrète. Enfin dans le cas où il y a des phénomènes d’incompatibilité de phases qui interviennent, l’étude du comportement effectif par des méthodes de relaxations ont été faite par (Kohn,1991). L’autre grande classe de modèle consiste en des modèles à variables internes, et plus précisément des matériaux dits standards généralisés (Halphen and Nguyen,

1975). Ces modèles permettent de modéliser directement ces matériaux par identifications sur des variables d’états macroscopiques (Moumni,1995;Pham,2014;Baldelli et al.,2014). Des liens entre l’approche en élasticité non-linéaire et l’approche par une variable interne existe néanmoins, et ces deux approches ne sont pas complètement déconnectées (Mielke and Ortiz, 2008). Nous présenterons de façon résumée en quoi consiste la règle d’équilibre de phase en exposant le problème de la barre de Ericksen. Nous introduirons comme prolongement un système discret et un modèle à variable interne qui seront à la base de futures développements.

1.2.1 Les modèles d’élasticité non-linéaire : la barre de Ericksen

On étudie une barre élastique non linéaire susceptible de changer de phase (Ericksen,1975). Son potentiel élastique est non-convexe, et la barre est paramétrée par son abscisse x ∈ [0, L], on appelle u(x) le champs de déplacement, et ε = u0(x) la déformation. La densité d’énergie élastique est décrite par la fonction non convexe w(ε). La barre est encastrée à gauche et soumise

w

ε

a

a

σ

σ

σ

ε

a

b

b

a

Figure 1.5 – A gauche la contrainte la relation contrainte déformation, à droite l’énergie locale

à un déplacement à droite u(0) = 0 et u(L) = L¯ε. L’énergie élastique de la barre est donnée par :

F (u) = Z L

0

w(ε)dx. (1.1)

On peut écrire l’énergie potentielle à l’aide d’un multiplicateur de Lagrange prenant en compte la condition cinématique. E(u) = Z L 0 w(ε)dx − σ Z L 0 εdx − L¯ε  . (1.2)

Les champs de déplacement correspondant à des configurations d’équilibres stables sont solutions du problème de minimisation :

min

u E(u). (1.3)

Autrement dit, u est un champs d’équilibre stable si et seulement si pour tous champs de dépla-cement u∗ cinématiquement admissibles :

E(u) ≤ E(u∗). (1.4)

Suivant le raisonnement de Ericksen on suppose pour commencer que le champs de déplacement est continue et une fois dérivable : u ∈ C1([0, L]). La déformation est donc constante dans toute la barre : ε ∈ C0[(0, L)]. Quand la déformation, homogène dans la barre, se trouve dans la partie ascendante de la relation contrainte déformation, la condition locale de stabilité est vérifiée w00(ε) ≥ 0. Cependant quand ε ∈ [b1, b2], c’est à dire la partie décroissante de la relation

contrainte déformation, alors le champs de déformation homogène solution ε = ¯ε n’est pas stable. Suivant le raisonnement d’Erickson on considère maintenant un champs de déformation constant par morceau : ε =    β1 si x ∈ [0, αL[ β2 si x ∈ [αL, L] . (1.5)

L’allongement s’écrit alors L¯ε = u(L) − u(0) =RL

0 εdx = αLβ1+ (1 − α)Lβ2. Ce qui donne

¯

ε = αβ1− (1 − α)β2 (1.6)

L’énergie par unité de longueur du problème s’écrit en terme des inconnues σ, β1, β2 et α.

1

LE(β1, β2, α, σ) = αw(β1) + (1 − α)w(β2) − σ(αβ1+ (1 − α)β2− ¯ε). (1.7)

L’enveloppe convexe est donnée par :

CW (β1, β2, σ) = inf α

1

LE(β1, β2, α, σ). (1.8)

Cela nous donne l’équation pour σ :

σ = w(β1) − w(β2) β1− β2

, (1.9)

qui pour β₁ et β₂ minimisant CW nous donne la ligne de Maxwell : La condition d’équilibre sur β1, β2 σ donne : ∂CW ∂β1 = w0(β1) − σ = 0 (1.10) ∂CW ∂β2 = w0(β2) − σ = 0 (1.11) ∂CW ∂σ = αβ1+ (1 − α)β2− ¯ε = 0. (1.12)

On sait dont que β₁ et β₂ se trouve équilibré par la contrainte σ, la stationnarité par rapport à σ nous donne la définition de α.

α = ε − β2 β1− β2

. (1.13)

Afin de déterminer β₁ et β₂ on substitue l’équation pour σ obtenue par la convexification dans les deux équations d’équilibres pour β1 et β2. On appelle ε1 et ε2 les β1 et β2 optimaux. On

définit la ligne de Maxwell comme : s

σm=

w(ε1) − w(ε2)

(ε1− ε2)

. (1.14)

1.2.2 Les chaînes d’éléments bi-stables

La barre d’Ericksen est aussi un point de départ possible afin d’introduire la mécanique des systèmes discrets d’éléments bi-stables. On considére une barre dont les déformations de phases sont uniformes dans des intervalles réguliers, on obtient une discrétisation de l’énergie potentielle non-convexe que l’on peut représenter comme une chaîne d’éléments bi-stables. On considère une barre dont la déformation est vaut ε = ε_i pour x ∈ [ia, (i + 1)a] avec i = 1, ..., N et a = L/N . Notre champs de déformation est donc constant par morceau et défini sur des intervalles réguliers

σ

σ=σ

β

β

ε

a

b

b

a

Figure 1.6 – Représentation de la ligne de maxwell

de longueur L/N . L’énergie élastique de la barre de Ericksen peut être réécrite comme :

F (ε₁, ..., εN) = N X i=1 Z (i+1)a ia w(εi)dx = N X i=1 aw(εi). (1.15)

On passe alors d’une énergie fonctionnelle à une énergie de dimension finie dépendant de N variables discrètes. L’intégrale devient une somme, et on peut alors visualiser le champs des déformations, constants par morceau, comme une succession de ressort au potentiel élastique non linéaire décrit par l’état de déformation κ_i. L’énergie potentielle totale peut être écrite comme G(ε1, ..., εN) = N X i=1 a w(εi) − σεi. (1.16)

Les équilibres sont donnés par w0(εi) − σ = 0 pour i = 1, ..., N . Dans le cas d’un grand nombre de

ressort, on peut définir deux trajets de solutions, les solutions de minimum global et les solutions métastables. Les solutions métastables sont caractérisées par une boucle d’hystérésis de la relation entre la contrainte et la déformation macroscopique de la chaîne. La transformation se caractérise par des oscillations dues à la cascade de bifurcation que traverse la solution. Nous verrons que ces oscillations tendent à s’effacer quand le nombre d’élément devient très grand. Nous verrons

1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

ε

σ

aussi que la transformation est un processus qui peut être activé, dans certain cas, lorsqu’une énergie d’activation est fournie au système, la transition peut se faire à des contraintes inférieurs à la contrainte critique locale pour finir par suivre la règle de transformation de Maxwell.

1.2.3 Les modèles à variable interne

Les modèles élastiques et les procédures de relaxation nous donnent des résultats satisfai-sant pour modéliser le changement de phase réversible. L’accès de la microstructure à des états métastables engendre des phénomènes de dissipation que l’on peut observer dans la réponse mé-canique comme une boucle d’hystérésis. Alors que le comportement réversible peut être obtenue par la minimisation globale de l’énergie libre par rapport à la fraction de phase, la comportement irréversible ne peut être obtenu que par l’introduction d’un potentiel de dissipation. La mini-misation globale de l’énergie totale tenant compte de ce potentiel permet d’accéder aux états métastables. Considérons la densité d’énergie élastique φ(ε, α), où α est la fraction volumique de la seconde phase et ε l’état de déformation, on a :

φ(ε, α) = 1

2E(α)(ε − p(α))

2_{+ σ}

mε + G(α), (1.17)

où σ_m est la contrainte de Maxwell fixée par la hauteur la différence de hauteur entre les puits de potentiel pour les déformation libre ε1 et ε2. On trouve σm = (w(ε2) − w(ε1))/(ε2 − ε1) où

w est l’énergie locale du milieu non homogénéisé. E(α) est le module de rigidité effectif dans le cas où la rigidité entre les deux phases varie. Si on appelle E₁ (resp. E₂) la rigidité de la phase 1 (resp. 2), la rigidité effective est la moyenne arithmétique des rigidités exprimées avec la fraction de phase : E(α) = αE₁+ (1 − α)E2. p(α) est la déformation de transformation, elle dépend des

déformations libres que possède le matériau sans qu’aucunes contraintes ne lui sont imposées. On appelle ε1(resp. ε2) la déformation libre des phases 1 (resp. 2), la déformation de transformation

s’exprime par p(α) = αε₁ + (1 − α)ε2. G(α) est appelée énergie de mélange des phases 1 et 2.

Cette énergie dépend de la capacité des mélanges de phase à s’accomoder entre elles. Lorsque les déformations libres des deux phases sont compatibles, alors G(θ) = 0. Autrement un forme usuellement trouvée dans la littérature estl G(α) = G0(ε1, ε2)α(1 − α). La constante G0 dépend

des déformation libres mais aussi de la distribution de phase.

La réponse réversible est donnée par la minimisation de l’énergie potentielle définit à partir de cette densité d’énergie libre par rapport à θ, dans le cas d’une transformation irréversible, la réponse mécanique est donnée par la conservation de l’énergie totale. L’énergie dissipée au cours du temps est définie par :

D(α, ˙α) = Z t1 t0 Z Ω R0(α)| ˙α|dτ dx (1.18)

L’énergie totale s’exprime comme la somme de l’énergie élastique et de l’énergie dissipée :

E(u, α) = Z Ω φ(ε, α)dx + Z t1 t0 Z Ω R0(α)| ˙α|dτ dx (1.19)

par la règle d’équilibre de phases de Maxwell, obtenue par la stationnarité de l’énergie. Dans le cas dissipatif la transformation se fait par une boucle d’hysérésis. La hauteur de la boucle dépend du taux de dissipation R0(α) tandis que la rigidité de la pente de la zone transformé dépend à la fois de G et de R0 (Pham,2014).

F

F

F

F

∆L

∆L

∆L

∆L

Figure 1.8 – Modèle de transformation de phase réversible, irréversible, avec et sans énergie d’accomodation.

1.3

Objet d’étude

Dans cette thèse nous étudierons un concept de structure reconfigurable inspiré de la plaque indentée (Seffen, 2006), voir Figure 1.9. Nous dériverons d’abord un concept simplifié, tout d’abord en diminuant d’une dimension le problème, puis en proposant une géométrie de mi-crostructure n’engendrant pas de problèmes de compatibilités des déformations.

Les plaques indentées sont constituées d’indentations plastiques arrangées périodiquement sur une plaque mince constitué d’un alliage de cuivre et de Berrylium. Cette plaque est écrouit afin d’avoir une résistance maximale, et permettre aux indentations d’être à la fois assez profonde pour être bi-stable, et permettre de passer d’une configuration à l’autre de manière purement élastique. Un ensemble de configurations sont accessibles en fonction des combinaisons d’indenta-tions dans les configurad’indenta-tions hautes ou basses. Dans la Figure1.9, la première plaque correspond au cas où toutes les indentations sont dans le même sens, la seconde plaque correspond au cas où les positions hautes et basses sont alternées. Dans le premier cas, on remarque que la courbure moyenne de la plaque est non nulle tandis que dans le second cas, la courbure moyenne est nulle.

Figure 1.9 – Plaque indentée proposée par (Seffen,2006)

a b c

d e f

case energy fraction

a 1.000 0.00 b 1.065 0.76 c 1.037 0.52 d 1.173 0.36 e 1.234 0.64 f 1.222 0.48

Tableau 1.1 – Table des différentes énergies de déformations de la structure en fonction de la fraction d’indentation dans une configuration donnée.

Pour chacune de ces configurations l’auteur a calculé l’énergie de déformation de chaque configuration, voir Table1.1. On remarque que les configurations mélangées ont toute une éner-gie plus haute que les configuration non mélangées. Cela indique que le fait de mélanger possède un coût énergétique. On suppose que ce coût énergétique correspond à l’énergie nécessaire à la structure afin de rendre les déformation entre les différentes cellules compatibles.

1.3.1 La bande indentée

Avant d’étudier un arrangement bi-dimensionnel il semble raisonnable de démarrer par l’étude d’un arrangement unidimensionnel, et d’étendre a posteriori l’étude au cas d’arrangements bi-dimensionnel.

Figure 1.10 – Arrangement dans une seule direction d’indentations plastiques.

En raison de la géométrie d’une cellule, quand bien même l’arrangement est unidimensionnel, le recollement des cellules afin de reconstituer la structure est délicate. On peut imaginer qu’une bande indentée à l’équilibre est un ensemble de cellules, ou indentations, constituant un puzzle assemblé. Quand on sépare chacune des cellules, on se rend compte qu’elles possèdent toutes une

déformation qui leur est propre. Il est nécessaire de déformer chacune d’entre elles afin que les bords aient la même forme, et qu’on puisse complètement reconstituer le puzzle. Ce problème de recollement des cellules est en fait un problème de compatibilité des déformations.

Figure 1.11 – Représentation de deux cellules élémentaires incompatibles. Les bords n’ont pas la même forme et ne peuvent être superposé. Il est nécessaire de déformer les cellules afin de pouvoir les coller.

Afin de se soustraire de l’effet d’incompatibilité entre les cellules, on propose un concept de bande indentée où toutes les cellules sont compatibles entre elles. Pour cela il suffit que les bords de chaque cellule soient droits et restent droits après déformation.

Figure 1.12 – Concept de bande indentée aux bords opposés droits. Cette cellule est constituée d’une partie centrale bi-stable.

La partie centrale de la cellule élémentaire peut être obtenue par déformation ou par flam-bement, et sous certaines conditions elle est bi-stable, rendant la cellule toute entière elle aussi bi-stable. La bande indentée peut être alors vue comme une chaîne de cellules bi-stables compa-tibles entres elles.

Figure 1.13 – Exemple d’une chaîne de cellule bi-stable constituée d’une suite de cellule élé-mentaire bi-stable compatibles.

Au niveau conceptuel on s’est détaché du problème d’incompatibilité afin d’arriver à un en-chaînement d’éléments bi-stables aux déformations compatibles. La démarche méthodologique que nous allons adopter afin de modéliser le comportement de cette structure consiste à étudier dans un premier temps la cellule élémentaire. Nous chercherons à comprendre dans quelles condi-tions elle est bi-stable, et donc à quelle condicondi-tions on peut faire en sorte que l’enchaînement de cellule soit reconfigurable. Nous mettrons ensuite l’accent sur la notion de comportement. Une telle structure à une réponse mécanique particulière dû au grand nombre d’instabilités pouvant survenir, et de la multitude d’états métastables possibles. Nous dériverons des modèles donnant le comportement moyen d’une telle structure.

Les modèles de poutre dans de le plan,

modélisation et simulation

Sommaire

2.1 Introduction . . . 15

2.2 Le modèle de l’Elastica . . . 15

2.3 Elements finis pour des poutres non-linéaires . . . 21

2.4 Méthodes de résolution de problème non-linéaire . . . 31

2.5 Etude de la stabilité . . . 37

2.6 Conclusion du chapitre . . . 39

2.7 Linéarisation du problème extensible . . . 41

Le modèle de l’Elastica est à la base de la modélisation des bandes indentées. Ce chapitre a pour objectif de mettre en place le modèle de poutre non-linéaire et son implémentation numérique. On expose le modèle de l’Elastica déformable en extension et en cisaillement. On explicite la mise en oeuvre du modèle de l’Elastica par la méthode des éléments finis. On observe dans la limite inextensible l’apparition de verrouillages numériques. Afin de lever ce verrouillage, on propose une solution basée sur une formulation mixte de l’Elastica. Il s’agit de la généralisation au cas non-linéaire d’une formulation ayant fait ses preuves dans le cas non-linéaire des poutres de Timoshenko. Une partie de ce chapitre est consacrée aux méthodes numériques servant à la résolution de problèmes non-linéaires.

2.1

Introduction

Le but de ce travail est d’étudier le comportement de poutres avec des microstructures bi-stables. Une première étape fondamentale est le développement de modèles analytiques et numé-riques qui permettent de prédire le comportement des poutres non-linéaires. Dans ce chapitre, nous allons mettre en place les modèles de poutre dans le plan. Dans un premier temps on décrit le modèle de poutre non-linéaire dans le plan qu’on appelle simplement Elastica, en référence à l’Elastica d’Euler. On se placera dans un cadre où la déformation extension et en cisaillement sont prises en compte, mais où les effets de gauchissement sont négligeables. Nous introduirons ensuite les méthodes numériques permettant de résoudre ces équations. On parlera de la dis-crétisation spatiale, obtenue à l’aide de la méthode des éléments finis, et du choix des espaces d’approximation. Par rapport à ce dernier point, nous étudierons un cas classique de verrouillage en cisaillement, et les alternatives possibles sur les modèles par rapport à ces verrouillages. Enfin nous mettrons en place les méthodes numériques pour la résolution des équations non-linéaires d’équilibre ainsi que l’étude de la stabilité.

2.2

Le modèle de l’Elastica

On utilise le modèle de l’Elastica dans le plan en transformation finie (Reissner,1972;Simo,

1985). Ce modèle décrit la transformation d’une poutre dans le plan dans le cas des grandes transformations. Des ouvrages plus modernes sur le sujet peuvent être trouvés chez (Antman,

2005;Audoly and Pomeau,2010;Audoly,2013).

2.2.1 Cinématique.

On considère une poutre dont la parametrisation est décrite par l’abscisse curviligne s ∈ [0, L] de la configuration initiale telle que la position d’un point de la poutre dans le plan (e_x, ey) en

tout temps puisse s’exprimer par le vecteur position x(s) = x(s)ex+y(s)ey. On définit la tangente

unitaire à la fibre moyenne de la poutre comme comme la dérivée du vecteur position x(s) par rapport à s normalisée par rapport à sa norme :

t(s) = x

0_(s)

||x0_(s)||. (2.1)

Comme on peut le voir sur la figure 2.1, on définit α comme l’angle que la tangente de cette courbe forme avec l’horizontale ex. On peut alors définir un vecteur normal à la fibre moyenne

tel que :

t(s) = cos(α(s)) ex+ sin(α(s)) ey, n(s) = − sin(α(s)) ex+ cos(α(s)) ey. (2.2)

On définit à un point au point d’abscisse s de la poutre le repère (ν, τ ) associé à une section de la poutre (figure 2.1). Le vecteur τ est la normale à la section, et ν est orthogonal à τ :

t

n

τ

ν

θ

α

Figure 2.1 – Modélisation 1d d’une poutre. La fibre moyenne est représentée par la ligne noir continue, la section transversale est en rouge. Dans le modèle déformable au cisaillement on fait distinction entre le repère local défini par la tangente et la normale à l’axe de la poutre (t, n, en noir) et le repère local (τ , ν) défini par la normale et tangente à la section droite (τ ,ν, en rouge). On peut définir les deux repères avec les angles α et θ que la t et τ forment avec ex,

respectivement.

L’angle entre τ et l’horizontale est appelé θ. La différence entre θ et α définie le défaut d’ortho-gonalité de la section par rapport à l’axe, qui est associé à la déformation en cisaillement. On considère ici le cas général d’une poutre dont les sections ne restent pas perpendiculaires à la fibre moyenne.

Ces deux derniers vecteurs nous permettent de définir les déformations que peut subir la poutre. Celles ci sont les déformations en extension, en flexion et en cisaillement :(Antman,

2005) :

ε(s) = x0(s) · τ (s) − 1 (extension) (2.4) γ(s) = x0(s) · ν(s) (cisaillement) (2.5)

κ(s) = θ0(s) (flexion) (2.6)

La norme de la dérivée du vecteur position peut être écrite en fonction des déformations, compte tenu des définitions de (ν, τ ) on a :

||x0(s)|| =p(1 + ε(s))2_{+ γ(s)}2_{. (2.7)}

Remarques. On a jusqu’ici parlé des poutres extensibles et déformables en cisaillement. A partir de la cinématique décrite plus haut, nous pouvons parler de deux cas particuliers qui sont les poutres extensibles indéformables en cisaillement (Euler-Bernoulli), et les poutres inexten-sibles et indéformables en cisaillement. Dans le cas des poutres indéformables en cisaillement nous imposons la nullité de la déformation en cisaillement γ = 0. Suivant la définition de γ(s), cette hypothèse implique que ν(s) est perpendiculaire x0(s) et donc par conséquent, que ν(s) = n(s) et τ (s) = t(s). Autrement dit, la section reste orthogonale à l’axe et le modèle se retrouve simplifié, car θ = α. Dans ce cas l’extension est peut-être définie par

Pour une poutre inextensible et indéformable en cisaillement, on impose la nullité des dé-formations en extension et en cisaillement : γ = 0 et ε = 0. Dans ce cas, la tangente t à la fibre moyenne coïncide avec la dérivée du vecteur position x0. Le système d’équation ε = 0 et γ = 0 peut être vu comme un système d’équation linéaire dont l’inconnue est le vecteur position (x, y). La solution de ce système d’équation est la réécriture de la contrainte d’inextensibilité et d’indéformabilité en cisaillement sous la forme suivante :

x0(s) − cos θ(s) = 0, y0(s) − sin θ(s) = 0. (2.9)

La cinématique d’une poutre inextensible est complètement décrite par la seule rotation θ et le vecteur position peut être récupéré par l’intégration de la contrainte d’inextensibilité :

x(s) = Z s 0 cos θ(t) dt, y(s) = Z s 0 sin θ(t) dt. (2.10)

2.2.2 Densités d’énergie élastique.

Les densités d’énergie que l’on va considérer dans la suite sont quadratiques par rapport aux déformations. Cela signifie que la relation entre les forces et les déformations sont linéaires : on considère la cas d’un comportement élastique linéaire. Cependant la définition des déformations par rapports aux variables cinématiques restent non-linéaires : l’origine des non-linéarités est donc géométrique. Dans le cas des structures élancées nous pouvons avoir des grands changements de forme par flexion avec des petites déformations car le déformation sont proportionnelles au produit de la courbure par l’épaisseur.

En considérant le modèle élastiquement flexible et élastiquement déformable en extension et cisaillement, les densités d’énergie élastique en extension, flexion et cisaillement s’écrivent :

wε(ε) = 1 2Aε 2_{, w} κ(κ) = 1 2Bκ 2_{, w} γ(γ) = 1 2Cγ 2_{, (2.11)}

où on a introduit le module de rigidité en extension A, le module de rigidité en flexion B, et le module de rigidité en cisaillement C. Par définition, les forces thermodynamiques associées aux densités d’énergie élastiques sont leurs dérivées par rapport aux déformations. On appelle M le moment de flexion, N l’effort normal, et T l’effort tranchant.

N (ε) = Aε, M (κ) = Bκ, T (γ) = Cγ. (2.12)

Les modules de rigidité peuvent être identifiés en utilisant la solution du problème de Saint-Venant (Audoly and Pomeau, 2010) (Audoly, 2013). On introduit E le module de Young et G le module de cisaillement. On a A = ES avec S l’aire de la section de la poutre. B = EI avec I le moment quadratique polaire. Enfin C = GS0 ou S0 = csS. Le facteur cs représente le

facteur de cisaillement, qui est un facteur correcteur obtenu à partir des équations d’équilibre tri-dimensionnelles. Pour le cas des sections rectangulaires cs= 5/6.

2.2.3 Problème de l’Elastica.

On considère une poutre déformable en flexion, en extension et en cisaillement, et non soumis aux effets de gauchissement. La configuration actuelle de la structure est décrite par la position de l’axe x et la rotation de la section droite θ. L’énergie potentielle totale de l’Elastica est la somme des différentes contributions à l’énergie élastique et du potentiel associé aux forces conservatives −W_e :

Ep(x, θ) = E (x, θ) − We=

Z L

0

wε(ε) + wκ(κ) + wγ(γ) ds − We. (2.13)

Soit V = Vx× Vθ l’espace des positions et rotations cinématiquement admissibles. C’est l’espace

des fonctions suffisamment régulières (H₁([0, L])) vérifiant les conditions aux limites cinimatiques du problème. Dans le cas en question sont les conditions sur la position x et la rotation θ, où elles sont imposées, mais pas sur leurs dérivées. Les positions d’équilibres stables réalisent le minimum de l’énergie potentielle, c’est à dire que l’on cherche à déterminer :

min

(x,θ)∈V

E_p(x, θ). (2.14)

A cause des non-linéarités géométriques, la fonctionnelle (2.13) est non-convexe. Le problème n’admet pas tout le temps un unique minimum. La recherche des positions d’équilibre peut mener aussi à plusieurs minima locaux. Cela nous amène à rappeler les définitions de minimum global et local.

On définie par ˆV l’espace vectoriel des variations admissibles, ou espace des fonctions tests, qui a la même régularité que V mais prescrit la version homogène (à 0) des conditions aux limites définies dans V . On dit que u = (x, θ) est un minimum local de E_p sur V si :

u ∈ V, ∃δ > 0, ∀ˆu ∈ ˆV , kˆuk < δ ⇒ Ep(u) ≥ Ep(u + ˆu), (2.15)

où, si pas spécifié diversement, l’on dénote par kˆuk la norme H1 de ˆu. On dit que u = (x, θ) est

un minimum global de Ep sur V si :

u ∈ V, ∀ˆu ∈ ˆV , Ep(u) ≥ Ep(u + v). (2.16)

Nous définissons dans la suite les équilibres stables comme les minima locaux de l’énergie po-tentielle. Le formalisme du problème de minimisation permet notamment d’introduire aussi des contraintes, ce qui nous aidera par exemple dans le cas inextensible, mais aussi dans d’autres circonstances. La définition de la stabilité dans ces cas est plus subtile. Elle est discutée à la Section2.5.

Si (x, θ) est un minimum local on peut récrire (2.15) sur la forme :

∃δ > 0 : Ep(x, θ) ≤ Ep(x + hˆx, θ + hˆθ), ∀(ˆx, ˆθ) ∈ ˆV , |h| ≤ δ. (2.17)

termes en Ep(x, θ) donne l’inégalité : hDEp(x, θ)(ˆx, ˆθ) + h2 2 D 2_E p(x, θ)(ˆx, ˆθ) + o(h2) ≥ 0. (2.18)

L’opérateur D désignera dans toute la suite une dérivée directionnelle :

DEp(x, θ)(ˆx, ˆθ) = d dhEp(x + hˆx, θ + hˆθ)    h=0. (2.19)

On peut obtenir les conditions suivantes d’équilibre et stabilité.

Condition d’optimalité d’ordre 1 (condition de stationnarité de l’énergie). Les fonc-tions (x, θ) ∈ V sont des solufonc-tions d’équilibre si :

DEp(x, θ)(ˆx, ˆθ) = 0, ∀(ˆx, ˆθ) ∈ ˆV . (2.20)

Condition d’optimalité d’ordre 2 (condition locale de stabilité). Une solution d’équi-libre (x, θ) ∈ V est localement stable si :

D2E_p(x, θ)(ˆx, ˆθ) > 0, ∀(ˆx, ˆθ) ∈ ˆV \ {0}. (2.21)

2.2.4 Formulation variationnelle des équations d’équilibre

Soit (x, θ) ∈ V la position et la rotation, (ˆx, ˆθ) ∈ ˆV les fonctions tests associées. En supposant que les forces extérieures soient sur la forme de charges mortes (indépendantes de la configuration de la structure) le travail des efforts extérieurs peut s’écrire comme :

ˆ

We(ˆx, ˆθ) =

Z L

0

f (s) · ˆx(s) + m(s)ˆθ(s) ds + FL· ˆx(L) + CLθ(L),ˆ (2.22)

où, pour fixer les idées, on a considéré le cas de la présence de densités de force linéiques f , d’une densité de linéique de couple m, et d’une force et un couple ponctuels appliqués en s = L. La condition d’équilibre s’écrit alors sur la forme :

DEp(x, θ)(ˆx, ˆθ) = Z L 0 (N (s)ν(s) − T (s)τ (s)) · x0(s)ˆθ(s) + M (s)ˆθ0(s) ds + Z L 0 (N (s)τ (s) + T (s)ν(s)) · ˆx0(s) ds − ˆWe(ˆx, ˆθ) = 0. (2.23)

Après quelque développement faisant apparaître les déformations, la condition de stationnarité prend la forme suivante, qui coïncide aussi avec le principe des puissances virtuelles : trouver (x, θ) ∈ V tels que pour tout (x, θ) ∈ ˆV :

DEp(x, θ)(ˆx, ˆθ) = Z L 0 (N (s)γ(s) − T (s)(1 + ε(s)))ˆθ(s) ds + Z L 0 M (s)ˆκ(s) + N (s)ˆε(s) + T (s)ˆγ(s) ds = 0, (2.24)

où

ˆ

κ(s) = ˆθ0(s), ε(s) = ˆˆ x0(s) · τ (s), γ(s) = ˆˆ x0(s) · ν(s).

2.2.5 Formulation forte des équations d’équilibres

L’intégration par partie de la formulation variationnelle, et l’utilisation du lemme fondamental du calcul des variations permettent d’obtenir les équations d’équilibre sous leur forme forte :

(N (s)τ (s) + T (s)ν(s))0+ f (s) = 0, (2.25) M0(s) + (N (s)ν(s) − T (s)τ (s)).x0+ m(s) = 0. (2.26)

La dernière équation, qui donne l’évolution du moment, peut être réécrite sous la forme :

M0(s) + N (s)γ(s) − T (s)(ε(s) + 1) + m(s) = 0. (2.27)

À ces équations d’équilibre il faut ajouter les conditions aux limites cinématiques et naturelles. Dans l’exemple d’une poutre encastrée en s = 0 et avec couple et forces appliqués en s = L les conditions naturelles sont :

M (L) = CL, N (L) = FL· τ (L), T (L) = FL· ν(L). (2.28)

Les équations d’équilibre données ici mettent en évidence les efforts normal et tangentiel N (s) et T (s), autrement dit les efforts dans le repère local (τ , ν) à la poutre. Si on appelle la réaction R = (Rx, Ry) dans le repère global (ex, ey) avec :

Rx = N (s) cos(θ(s)) − T (s) sin(θ(s)), (2.29)

Ry = N (s) sin(θ(s)) + T (s) cos(θ(s)). (2.30)

Dans l’équation du moment on a donc : (N (s)ν − T (s)τ ) · x0(s) = (ez× R(s)) · x0(s). On a alors

par permutation circulaire du produit mixte (ez × R(s)) · x0(s) = (x0(s) × R(s)) · ez d’où les

équations suivantes : dR(s) ds + f (s) = 0, (2.31) dM (s) ds + (x 0_{(s) × R(s)) · e} z+ m(s) = 0. (2.32)

Il est intéressant d’observer que l’équation moment dépend de la dérivée du vecteur position x0(s), autrement dit de la déformation de la poutre. Il s’agit en effet de l’équilibre de la configuration déformée, exprimée en fonction de l’abscisse s de la configuration initiale.

Nous avons ici exposé la formulation forte des équations d’équilibre à partir de laquelle, par l’utilisation des lois de comportement, il est possible d’obtenir les équations différentielles non-linéaires dépendant des variables cinématiques. Il y a en tout 6 inconnues qui sont les efforts normaux et tranchants et le moment fléchissant, ainsi que les 3 variables cinématiques. Nous avons 3 équations d’équilibres, 2 en résultante et une en moment, ainsi que 3 relations de com-portement. La substitution des relations de comportement dans les équations d’équilibre donne

des équations différentielles non-linéaires par rapport aux variables cinématiques. Des solutions exactes existent dans certains cas, faisant appel à des intégrales elliptiques. Ce n’est pas la dé-marche que l’on a choisi ici. Nous favoriserons les méthodes d’approximation dans le cadre des méthodes énergétiques pour des raisons pratiques.

2.2.6 Analyse dimensionnelle

L’équation de l’énergie donnée ci-dessous peut être mise sous forme sans dimension afin de garder un minimum de paramètres physiques. On prend la longueur L de la poutre pour la mise à l’échelle pour l’abscisse curviligne s 7→ Ls. On utilise la même longueur pour mettre à l’échelle la courbure : κ = ¯κ/L. La déformation en extension et en cisaillement son déjà sans dimension. Par changement de variable sur l’intégrale on prend ds = L ¯ds et on intègre entre 0 et 1.

E(x, y, θ) = Z 1 0  1 2EbhLε 2₊ 1 2 Ebh3 12L ¯κ 2₊1 2 EνbhL (1 + ν)γ 2  ¯ ds, (2.33)

où l’on a pris le module de cisaillement G = _2(1+ν)E . On divise l’énergie par Ebh_12L3 de façon à avoir 1 devant l’énergie de déformation en flexion. On a alors :

E(x, y, θ) = Z 1 0  1 2Aε˜ 2₊1 2κ¯ 2₊1 2Cγ˜ 2  ¯ ds, (2.34)

où dans le cas homogène ˜A = 12L_h22 et ˜C = 12L 2_ν

h2_(1+ν). Dans la suite on ne mettra pas les barres

sur les variables adimensionnées. Par convention, toute intégration spatiale entre 0 et 1 renverra systématique à une énergie sous forme adimensionnée, tandis qu’une intégration entre 0 et L au cas avec dimension.

Sur l’hypothèse d’inextensibilité et d’indéformabilité en cisaillement. Dans le cas de poutre homogène l’énergie d’extension et de cisaillement sont du même ordre de grandeur :

˜

A ∼ ˜C. La condition d’inextensibilité et d’indéformabilité en cisaillement ne peut apparaître que lorsque l’élancement est très important (Audoly, 2013) : h/L << 1 . Ainsi les rigidités en extension et en cisaillement sont très élevées, pénalisant les configurations où ces déformations ne sont pas suffisamment petites. Pour des structures très élancées, la déformation en cisaillement et l’extension à l’équilibre se trouvent être presque nulles et on pourrait utiliser un modèle de poutre inextensible et indéformable au cisaillement. Cela n’est néanmoins pas toujours le plus intéressant pour les applications numériques, car demande une régularité supplémentaire aux fonction d’interpolation à utiliser dans le cadre de la méthodes des éléments finis. On gardera dans la suite le modèle extensible et indéformable au cisaillement même dans le cas de poutres très élancées, comme discuté dans la Section suivante.

2.3

Elements finis pour des poutres non-linéaires

Les équations d’équilibre non-linéaires ne peuvent pas être résolues à la main pour des condi-tions de chargement trop complexes. Plusieurs stratégies de résolution s’offrent à nous, l’une

d’entre elles est la résolution numérique. Nous allons présenter les méthodes de simulation nu-mérique qu’on a choisi d’utiliser afin de résoudre les équations de l’Elastica.

2.3.1 Outils numériques

Nous avons implanté un code aux éléments finis pour la résolution du problème (2.24) en se basant sur la librairie FEniCS (Logg et al., 2012). FEniCS inclue des outils de différentiation automatique et la possibilité d’effectuer de façon simple et génerale la discrétisation et l’assem-blage des formes variationnelles complexes. L’avantage de cette librairie et que l’essentiel du travail reste conceptuel, et consiste à choisir le bon espace de discrétisation et le bon solveur. La résolution des systèmes linéaires, et le format des matrices et des vecteurs est géré par la librairie PETSc (Balay et al., 2016). PETSc est une librairie d’algèbre linéaire parallèle, et qui possède un grand nombre de solveurs et de préconditionneurs. L’étude des problèmes aux valeurs propres est gérée par la librairie SLEPc (Hernandez et al.,2005).

Le langage utilisé est Python (Langtangen et al.,2006), un langage interprété qui a l’avantage d’avoir une syntaxe simple, mais qui comme tout langage interprété peut s’avérer lent pour certaines opérations. Ce genre de langage, tout comme Matlab, n’est pas fait pour gérer des boucles trop lourdes. Pour optimiser les programmes, il faut largement employer la vectorisation avec la librairie Numpy ou des outils de génération automatique de codes C++ et compilation à la volées, qui sont notamment incluses dans FEniCS. Numpy (Walt et al.,2011) est une autre librairie de calcul vectoriel à la syntaxe épurée.

2.3.2 Formulation aux éléments finis du problème linéarisé

Il est nécessaire d’introduire pour la suite le problème linéarisé autour d’un état u₀ cinéma-tiquement admissible. Soit u = (x, θ) ∈ V qui vérifie la stationnarité de l’énergie :

DE (u)(ˆu) = 0, ∀ˆu ∈ ˆV . (2.35)

Cette équation est non linéaire par rapport à u. On donne un champs u0 ∈ V et on cherche

∆u ∈ ˆV tel que DE (u0+ ∆u) = 0. La linéarisation est obtenue par développement de Taylor en

u0 au premier ordre par rapport à ∆u :

DE (u0+ ∆u)(ˆu) = DE (u0)(ˆu) + D2E(u0)(∆u)(ˆu) ' 0, ∀ˆu ∈ ˆV . (2.36)

Le problème linéarisé consiste à utiliser cette dernière approximation qui est valide pour ∆u suffisamment petit (quand la dérivée seconde est définie positive).

2.3.2.a Problème linéairisé.

Soit u₀ ∈ V , le champs de référence. ∆u ∈ ˆV est solution du problème linéarisé autour de u0

si :

où a et b sont les formes bilinéaire et linéaire définies par :

a(∆u, ˆu) = D2Ep(u0)(∆u)(ˆu), b(ˆu) = −DEp(u0)(ˆu). (2.38)

Le problème linéarisé d’inconnue ∆u = (∆x, ∆θ) est le point départ menant à la résolution numérique des équations d’équilibre. Le problème linéarisé est aussi à la base de la méthode de Newton-Raphson qui sera largement utilisée pour la résolution du problème non-linéaire.

2.3.2.b Discrétisation

Les fonctions inconnues peuvent être approchées par le choix d’une discrétisation. Le pro-blème linéarisé devient alors un système linéaire qui peut être résolu en utilisant des méthodes directes (LU) ou itératives (Krylov). Nous allons parler des concepts de base qui permettent la discrétisation à l’aide de méthode des éléments finis, et aussi du choix des espaces de discrétisation pour chacune des inconnues du problème.

Dans la méthodes des éléments finis la discrétisation est basée sur la méthode de Galer-kin (Galerkin,1915). On considère un sous espace Vr de dimension fini dans un sous domaine de référence qui est ici le segment de longueur r. Dans ce sous-espace on définit une base de fonctions de forme, la dimension de cette base dépendant du choix de l’espace discrétisé. Considérons que ce sous-espace soit de dimension N. Alors toute fonction de u ∈ Vr peut être écrite comme :

u(x) =

i=N

X

i=1

φi(x)˜ui. (2.39)

Les φ_i(x) sont les fonctions de bases tandis que les ˜ui sont des coefficients réels.

2.3.2.c Les éléments de type polynôme de Lagrange P_n

La variable d’espace de l’Elastica est son abscisse curviligne s ∈ [0, L] dans la configuration initiale. Le segment [0, L] peut être partitionée en ne éléments séparés par nn noeuds. Une

fonction est décrite sur chaque élément à l’aide de fonction de base, celles que nous utiliserons dans la suite sont des polynômes de Lagrange. On utilisera principalement les polynômes de Lagrange P1 et P2 qui sont des polynômes d’interpolation du premier et du second degrés. Dans

le cas des poutres il est aussi possible d’utiliser des polynômes d’Hermite, qui peuvent assuré une continuité des dérivées des fonctions de forme à l’interface entre éléments contigus. Ce n’est pas l’approche que l’on choisit ici. Le choix de la discrétisation est délicate, car comme nous le verrons, en fonction de celle-ci, des verrouillages numériques peuvent apparaître.

La figure 2.2-gauche représente les fonctions de forme associées aux éléments finis P1 sur

des segments de droite. L’élément P₁ est constitué de deux noeuds, des fonctions de forme li-néaires et ses degrés de liberté sont l’evaluation des fonctions aux extrémités gauche et droite. La figure 2.2-droite représente les fonctions de forme associées aux éléments P₂. Cet élément est constitué de 3 noeuds, 2 aux extrémités et 1 au milieu. Le fonction de base sont de polynômes du second degrés valant 1 sur un des noeuds et 0 sur les deux autres noeuds. Les trois degrés de libertés de cet élément sont l’evaluation d’une fonction sur les trois noeuds.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Figure 2.2 – Fonctions de base de l’élement P1 (gauche) et P2 (droite).

Le choix d’un éléments est guidé par plusieurs principes. Il faut que l’élément puisse permettre à la solution numérique de converger avec un temps de calcul acceptable. Dans certaines situa-tions enrichir la discretisation d’un élément peut être nécessaire pour permettre la convergence, car certains dégrées de liberté peuvent être bloqué par des contraintes cinématiques (par exemple la condition d’inextensibilité) et amener à un verrouillage numérique des éléments d’ordre bas. Une façon d’établir la pertinence d’une discrétisation est d’étudier la convergence de la solution, analytiquement ou numériquement.

Le taux de convergence d’un élément est la vitesse avec laquelle l’erreur converge vers 0 avec la taille de maille. On défini comme l’écart entre la solution numérique et une solution de réfé-rence. La solution de référence est de préférence une solution exacte du problème. Si kek ≤ Chn où C est un réel et h est la taille de l’élément, on appelle n le taux de convergence. Naturellement, le taux de convergence dépend de la norme utilisée.

2.3.2.d Problème en dimension finie

Etant donné le choix d’un espace d’approximation, la formulation variationnelle peut être approchée par un problème en dimension finie. Pour cela il suffit de substituer l’inconnue par son approximation : a i=N X i=1 φi(x) ˜∆ui, i=N X i=1 φi(x)˜vi ! = l i=N X i=1 φi(x)˜vi ! . (2.40)

Pour une discrétisation donnée, la formulation variationnelle des équations d’équilibre peut être mise sous la forme d’un système linéaire dans le cas où le problème initial est lui même linéaire. C’est pour cela que nous avons préalablement introduit le problème linéarisé, étant donné que la formulation variationnelle de l’Elastica est non linéaire. Pour le problème linéarisé, la forme bilinéaire se transforme en l’action de ∆u sur la matrice de rigidité tangente, et la forme linéaire en un vecteur des forces nodales :

K(uk)∆u = F (uk). (2.41)

L’opération permettant d’obtenir K et F à partir de la forme linéaire et bilinéaire est communé-ment appelée assemblage. Les matrices assemblées dans PETSc sont représentées sur le format de matrices creuses.

2.3.3 Choix des éléments

La présence des coefficients de rigidité très élevés sur les termes en cisaillement et d’extension de l’énergie peut mener à des verrouillages numériques. Le verrouillage est une conséquence de l’incapacité de la discrétisation utilisée de représenter les solutions en flexion pure. Il se manifeste par un taux de convergence extrêmement lent de la solution avec la taille de maille.Hughes(2012) et Wriggers (2008) proposent l’utilisation d’éléments P2 avec intégration réduite pour résoudre

le problème de poutre extensible et déformable aux cisaillement dans le cadre non-linéaire. Les mêmes auteurs proposent l’utilisation d’une technique d’intégration réduite afin de réduire les éventuels problème de verrouillage. Dans la suite nous allons étudier la convergence d’un problème de flexion simple pour différents types d’élément en fonction du paramètre d’élancement. On réécrit l’énergie en faisant apparaître l’inverse de l’élancement t = h/L. On fixe le coefficient de poisson à ν = 0.3. Soit ˜A = 12 et ˜C = 2/5A, on a :

E(x, y, θ) = Z 1 0 1 2t −2_˜ Aε2+1 2κ 2₊ 1 2t −2_˜ Cγ2 ds. (2.42)

Afin d’étudier la convergence de la solution d’un problème par rapport à la taille des éléments, nous linéarisons la formulation variationnelle autour de la configuration droite définie par :

x(s) = s, y(s) = 0, θ(s) = 0. (2.43)

Dans l’annexe associée au chapitre, on montre que ce problème correspond à un problème de poutre de Timoshenko, dont on connait la solution analytique. L’étude de convergence consistera à comparer la solution numérique pour un certain nombre d’élément u_n à la solution analytique u. On choisit d’étudier pour cela un problème de flexion simple.

2.3.3.a Le problème de flexion simple

On cherche à déterminer la solution linéarisée d’un problème de flexion simple d’une poutre initialement droite. La poutre encastrée en s = 0 et soumise à un effort ponctuel en s = L tel que Fext= −f ey (figure 2.4). La formulation en annexe du problème linéarisé en configuration

ff

Figure 2.3 – Une poutre de longueur unitaire est représentée. La poutre est encastrée à gauche, libre à droite, et soumise à un effort tranchant f verticale et vers le bas sur son extrémité droite.

droite peut être réécrite en tenant compte des relations suivante, entre configuration initiale et déformée :

x(s) = x0(s) + ∆x(s) = s + ∆x(s), (2.44)

y(s) = y0(s) + ∆y(s) = ∆y(s), (2.45)

Cela revient à considérer les ∆ comme des déplacements. Le problème linéarisé en annexe peut être réécrit sous la forme suivante, en tenant compte du travail des efforts extérieurs :

am(x, ˆx) + ab(θ, ˆθ) + as((θ, y), (ˆθ, ˆy)) − ˆWext= 0, (2.47)

où am, abet assont les formes bilinéaires associées aux travaux virtuels des déformations

d’exten-sion, de flexion et de cisaillement. ˜Wextest le travail virtuel associé à la force ponctuelle verticale

imposée en s = 1. La forme faible peut être réécrite sous la forme adimensionnée. On reprend les notation que pour l’énergie adimensionnée, c’est à dire qu’on intègre entre 0 et 1 et on considère que la rigidité en flexion est unitaire :

am(x, ˆx) = Z 1 0 ˜ A(x0(s) − 1)ˆx0(s) ds, (2.48) ab(θ, ˆθ) = Z 1 0 θ0(s)ˆθ0(s) ds, (2.49) as((θ, y), (ˆθ, ˆy)) = Z 1 0 ˜ C(y0(s) − θ(s))(ˆy0(s) − ˆθ(s)) ds, (2.50) ˆ

Wext = Fext.x(L) = −f ˆy(1). (2.51)

En intégrant par partie la formulation variationnelle et en appliquant le lemme fondamental du calcul des variations on obtient la forme forte des équations d’équilibre du problème :

x00(s) = 0, y00(s) − θ0(s) = 0, θ00(s) + ˜C(y0(s) − θ(s)) = 0, (2.52)

ainsi que les conditions aux limites :

x0(1) − 1 = 0, C(y˜ 0(1) − θ(1)) − f = 0, x(0) = y(0) = θ(0) = 0, θ0(1) = 0. (2.53)

La solution du problème est la solution classique de flexion simple d’une poutre de Timoshenko en petite perturbation : x(s) = s, y(s) = f s 3 6 − f s2 2 − f s ˜ C, θ(s) = f s2 2 − f s. (2.54)

On rappel aussi que les coefficients ˜C et ˜A sont proportionnels à t−2 où t représente l’épaisseur de l’Elastica. Nous allons voir que dans la suite que ce paramètre est fondamental puisqu’il est responsable des problèmes de verrouillage. Nous avons vu précédemment que lorsque le paramètre d’épaisseur tend vers 0, l’Elastica tend à être inextensible et indéformable en cisaillement. Nous allons exposer dans la suite le phénomène de verrouillage qui peut apparaître quand on décide d’utiliser le modèle le plus général de l’Elastica, en prenant en compte les déformations en extension et en cisaillement dans le cas limite où l’épaisseur est très petite. La solution de flexion simple que nous venons de déterminer servira de solution de comparaison dans cette étude.