5.4 Proposition d’un modèle de transformation de phase
5.4.3 Une perspective : Transformation inhomogène par un modèle à gradient . 99
Comme nous l’avons dit la dissipation inhomogène pose problème dans le sens où elle fait intervenir des informations sur la forme de la structure. Il peut être intéressant d’introduire la propagation de la phase à l’aide d’un gradient du champ de phase comme dans (Baldelli et al.,
2014). Le but de cette perpective est seulement de montrer l’intérêt que peut avoir ce genre de modèle dans notre cas. Considérons une forme de l’énergie totale avec l’ajout d’une contribution en gradient dans l’énergie potentielle.
P(θ, α) = Z L
0
φ(κ, α) + κ0Mc`2α0(x) dx + diss(α, [0, t]). (5.39)
On considère la même fonction pour la dissipation R0(α) = 2κ0Mc avec un moment critique fixe ne dépendant pas de la variable d’espace, correspondant au potentiel de dissipation du cas homogène. Les conditions globales d’équilibre et de stabilité tiennent toujours, et on peut dériver une équation d’équilibre et un critère de transformation. Le calcul peut être trouvé dans (Baldelli
et al.,2014) et on a : M0(x) = 0, ∂φ ∂α− 2κ0Mc` 2α00(x) + R0(α) ≥ 0, α < 1, − ∂φ ∂α+ 2κ0Mc` 2α00(x) + R0(α) ≥ 0, α > 0, ∂φ ∂α + 2κ0Mc` 2α00(x) | ˙α| + R0(α) ˙α = 0.
La notation en "prime" indique la dérivée par rapport à la variable en argument entre parenthèse. Considérons une transformation de phase, de vitesse de phase positive ˙α > 0, et pour α < 1. On impose une moment ¯M à l’extrémité droite de la barre. L’équation d’équilibre donne M = ¯M . Le critère de transformation est atteint quand ¯M = Mt qui est le moment de transition :
−Mt− Mc`2α00(x) + Mc= 0. (5.40)
Il existe à l’intérieur de la structure une localisation de la transformation sur un intervalle [¯x, ¯x + ∆] inclue dans [0, L] vérifiant les conditions suivantes :
α(¯x) = 0, α(¯x + ∆) = 1, α0(¯x) = 0. (5.41)
La solution de l’équation différentielle tenant compte de la première et troisième condition donne la solution de l’équation différentielle, on a pour x ∈ [¯x, ¯x + ∆] :
α(x) = Mt− Mc `2Mc x2 2 − x¯x + ¯ x2 2 . (5.42)
La deuxième la condition donne la condition sur la longueur δ de l’intervalle de transformation :
∆ = ` s
2Mc ¯
Mt− Mc. (5.43)
On observe dans la figure (5.5) la courbe du champ de phase prise à un instant donné lors de la propagation pour un moment de transition valant .5Mc, pour différentes valeurs internes. Cette longueur interne devrait être remplacée par les valeurs observable en posant :
` = ∆r Mc− Mt 2Mc
. (5.44)
Le moment de transition ne peut pas être fixé à Mt = Mc puisque cela annulerait ` et ferait disparaître le terme en gradient. Cependant on peut choisir Mt aussi proche que l’on veut1 de Mc. ∆ est la taille de la zone inhomogène. Contrairement à ` qui est une longueur interne, δ est une grandeur qui est observable. En dérivant la solution du champ de phase on obtient
1. Il s’agit là du même paradoxe évoqué dans le cas du modèle à moment critique inhomogène. Lorsque la contribution spatiale du moment critique disparaît, quand a = 0, on a Mt = Mc, et on retourne au cas homogène. Ici la même chose arrive quand ` = 0. Cela revient à Mt= Mcet la contribution en gradient donnant l’inhomogénéité à la solution disparaît.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x α
Figure 5.5 – Champ de phase en fonction du x sur l’intervalle où la transformation est localisée. Quand la longueur interne tend vers 0 on retrouve la discontinuité de la transition.
α0(x) = Mt−Mc
Mc`2 x si x ∈ [¯x, ¯x + ∆]. En dehors de cet intervalle on a α0(x) = 0. La contribution du gradient du champ de phase dans l’énergie stockée peut donc s’écrire en substituant la longueur interne par son expression en fonction de δ, Mt et Mc :
Eg= Z δ
0
κ0Mc`(Mt, Mc, δ)2α0(x)2 dx = 2
3(Mt− Mc)κ0∆. (5.45)
La contribution du gradient lors de la transition dépend de la longueur observable ∆ et non plus de la longueur interne.
5.5 Conclusion
L’avantage de l’utilisation des modèles à variable interne est qu’il permet de faciliter le calcul de structure de phénomènes d’instabilité microscopiques en se basant sur des considérations phé-noménologiques et énergétiques. Nous avons ici tenté d’aborder le comportement d’une bande comportant un très grand nombre de cellules bi-stables en postulant différentes équations consti-tutives de modèles phénoménologiques. Ces modèles phénoménologiques sont identifiés à partir de notre connaissance du comportement d’une chaîne d’élément bi-stable obtenue au chapitre4. Nous avons dans un premier temps identifié un modèle macroscopique de transformation homogène. Ce modèle est satisfaisant d’un point de vu macroscopique, puisqu’il nous donne la bonne relation entre le moment et la courbure macroscopique. Cependant il ne respecte pas le postulat de transformation inhomogène. Nous avons ensuite proposé un modèle de transformation impliquant un potentiel de dissipation inhomogène dépendant de la géométrie de la structure. Ce modèle donne un résultat satisfaisant puisqu’il respecte toutes nous hypothèses concernant la réponse macroscopique attendue d’une chaîne de cellule bi-stable.
transfor-mation inhomogène. Ce modèle à l’avantage par rapport au précédent de ne pas dépendre de la géométrie de la structure. Cependant il dépend d’un terme en gradient dont il est difficile de donner une interprétation physique. Ce terme en gradient est associé à une longueur interne liée la différence entre moment critique d’un élément et moment de transition.
Conclusion générale et perspective
6.1 Conclusion
L’ensemble de cette thèse a porté sur l’étude et la modélisation d’un concept de bande inden-tée. Le point de départ consistait à comprendre les mécanismes et le comportement des structures à microstructure bistable, comme la plaque indentée proposée par Seffen. Nous avons alors dégagé un concept plus simple où chaque indentation, représentée par une cellule élémentaire bi-stable, puisse être récolée et ne pose pas de problème de compatibilité des déformations. Nous avons alors mené l’étude en deux volets et divisés en 4 chapitres. Le premier volet a consisté à com-prendre la mécanique d’une cellule élémentaire. Pour cela nous avons consacré le chapitre 2 à la mise en place de modèles et d’outils de simulations, et le chapitre 3 à la modélisation de la cellule élémentaire à l’aide d’un Elastica. Le second volet de la thèse, lui aussi divisé en deux chapitres, a consisté à étudier et modéliser le comportement d’un enchaînement de cellules bi-stables représentant notre concept de bande indentée. Dans le chapitre 4 nous avons étudié la bande indentée comme une chaîne d’éléments bi-stables. Nous avons pu obtenir la réponse ma-croscopique par l’étude des équilibres métastables, et nous avons proposé dans le chapitre 5 un ensemble de modèles pouvant convenir à la modélisation macroscopique du comportement dans le cadre des matériaux standards généralisés.
Dans le chapitre1nous avons décrit le modèle de l’Elastica plan qui a servit de base pour mo-déliser la cellule élémentaire. Nous nous sommes concentrés sur le cas plan et nous avons exposé le modèle de l’Elastica pouvant se déformer en extension et en cisaillement. Nous avons discuté des différentes contraintes cinématiques, et nous avons exposé les simplifications cinématiques qu’implique l’indéformabilité en extension et en cisaillement. Nous avons exposé la formulation classique d’éléments de poutres pour le cas général de l’Elastica plan. Nous avons montré qu’il existe des verrouillages dans la limite inextensible. Nous avons alors proposé une formulation mixte, connue dans le cas des poutres linéaires de Timoshenko qu’on a porté au cas non linéaire. Nous avons montré que dans le cas des poutres très peu épaisses, dans la limite inextensible, cet élément fini converge jusqu’à des erreurs très basses, et semble donc mieux adapté à la modélisa-tion de poutre de très faible épaisseur. Nous avons par le suite exposé un ensemble de méthodes numériques pour la résolution des problèmes non-linéaires.
Le chapitre 2 rentre plus dans le vif du sujet. On expose une modélisation de la cellule élémentaire comme un treillis de Von-Mises qu’on considère comme un problème modèle de la cellule élémentaire. On montre qu’il est possible d’avoir un treillis bi-stable soit par flambement du treillis, soit en imposant une forme initiale à celui-ci, via une rotation initial du ressort de torsion. Il est aussi possible de combiner ces deux effets afin que le treillis soit bi-stable, et l’en-semble des paramètres rendant le treillis bi-stable sont exposés dans un diagramme des domaines de stabilité. Une modélisation plus réaliste est faite en assemblant un Elastica inextensible pou-vant avoir une forme initiale avec une poutre à déformation uniforme. L’Elastica inextensible modélise la bande centrale de la cellule élémentaire, et la poutre à déformation uniforme modé-lise l’effet des bandes parallèles. Nous avons montré que les bandes parallèles peuvent empêcher la structure d’être bi-stable. On propose deux solutions pour minimiser cet effet. La première consiste à diminuer la largeur des bandes parallèles, et la seconde consiste à courber les bandes parallèles afin de contre-balancer l’effet de rappel qu’elles exercent sur la bande centrale. Nous exposons un second modèle de cellule bi-stable, où la bande centrale n’a pas de forme initiale. Elle possède cependant une longueur plus grande que les bandes parallèles l’amenant au flambe-ment. Dans ce dernier cas, nous avons approché la réponse macroscopique de la cellule bi-stable. Par calcul des moments critiques, on a décidé d’approcher la réponse macroscopique de la cellule par une réponse linéaire par morceau. Dans le cas des transitions en mode 1, la réponse est tri-linéaire. Dans le cas d’une transition en mode 2, nous avons montré par une simulation par les éléments finis que la courbure à l’état critique est nulle pour la transition en mode 2. Dans le cas des transitions en mode 2 pour des cellules suffisamment flambées nous avons donc approché la réponse macroscopique par une réponse bi-linéaire.
La réponse macroscopique obtenue dans le chapitre2se présente comme une relation entre le moment et la courbure moyenne d’une cellule. Cette relation est caractérisée par des constantes qu’on peut relier à la géométrie de la cellule. Le chapitre 3, sur la base de cette réponse macro-scopique, cherche à déterminer le comportement d’une chaîne. Nous avons commencé par étudier deux cellules bi-stables, et nous avons montré qu’il y a plusieurs trajets d’équilibre possibles. Nous avons établi qu’il était plus intéressant pour les éléments de changer d’état successivement plutôt que simultanément. Nous avons généralisé le raisonnement à un nombre quelconque d’élé-ment. Dans le cas où les éléments changent d’état les uns à la suite des autres, alors la réponse macroscopique de la chaîne est caractérisée par une phase élastique d’état homogène, un plateau de transition où tous les éléments changent successivement de phase, puis une nouvelle phase élastique homogène. Ce plateau est le lieux de processus dissipatif, et nous avons vu que la dis-sipation totale sur un cycle où on transforme tous les éléments est proportionnelle au moment critique et à la courbure naturelle d’une cellule.
Si la méthode utilisée dans le chapitre 3permet de calculer exactement la réponse macrosco-pique en connaissant le comportement d’une cellule, cette méthode est difficilement applicable au calcul de structure et à la simulation numérique. On a proposé dans le chapitre4d’établir des modèles phénoménologiques basés sur la réponse macroscopique attendue. Nous avons introduit dans un premier temps les équations d’évolution d’un modèle standard généralisé de transfor-mation de phase, et deux types de modèle ont été proposés. Le premier modèle est un modèle
à transformation homogène. Ce modèle donne une réponse macroscopique satisfaisante par rap-port aux hypothèses de départ, mais implique des transformations homogènes. Le second modèle est basé sur l’introduction d’inhomogénéités dans le potentiel de dissipation afin de forcer une transition inhomogène. Ce dernier modèle donne une propagation tel qu’on s’attend à l’observer sur une chaîne d’élément bi-stable. On fait remarquer que si l’on impose des inhomogénéités infiniment faibles, il y aura toujours propagation, mais si on retire ces inhomogénéités, alors on retourne sur une réponse homogènes. On propose des investigations supplémentaires sur le rôle des inhomogénéités dans le phénomène de propagation, notamment par l’introduction d’un modèle à gradient.