MATHÉMATIQUES II

(1)

MATHÉMATIQUES II

Concours Centrale-Supélec 2002 1/4

MATHÉMATIQUES II Filière MP

désigne l’espace vectoriel muni de sa structure euclidienne canonique et orienté de sorte que la base canonique, notée , soit orthonormale directe.

On a donc pour tout et réels : . Le produit scalaire sera noté : .

Si est un vecteur non nul élément de , on note , la droite vectorielle de base , le plan vectoriel orthogonal à et le demi-tour par rapport à c’est-à-dire la symétrie orthogonale par rapport à ou encore la rotation vectorielle d’axe et d’angle de mesure .

Si est un nombre réel, on note la rotation vectorielle d’axe orienté dans le sens du vecteur et d’angle de mesure .

On rappelle qu’une rotation vectorielle de ayant comme valeur propre est un demi-tour.

On rappelle également l’inégalité de Cauchy-Schwarz : ,

et l’on admet que dans cette inégalité, l’égalité a lieu si et seulement si les deux vecteurs et sont colinéaires.

Partie I - Étude d’un cas particulier

Pour tout élément de , on pose : et l’on note

l’ensemble suivant : .

I.A - Une étude de

I.A.1) Déterminer quelques éléments de symétrie de

I.A.2) Déterminer et dessiner l’intersection de avec le plan . I.A.3)

a) Démontrer que pour tout réel : .

b) En déduire que, pour tout réel, est invariant par c’est-à-dire : .

I.A.4) Donner la nature géométrique de .

E IR³

i j k, ,

( )

x y, z (x y z, , ) = xi+yj+zk

〈 〉. .

u E D_u

u P_u D_u S_u

D_u D_u

D_u π

θ R_θ D_k

k θ

E –1

u v, ( )∈E²

∀ 〈u v〉²≤ u ² v²

u v

x y z, ,

( ) E q x y z( , , ) = x²+y²–z² Q₀ Q₀ = {(x y z, , )∈E q x y z( , , )=0}

Q₀

Q₀ P_j

θ R_θ(Q₀)⊂Q₀

θ Q₀ R_θ

R_θ(Q₀) = Q₀

Q₀

(2)

Filière MP

I.B - Automorphismes orthogonaux laissant invariant

On note l’ensemble des automorphismes orthogonaux de qui laissent glo- balement invariant , c’est-à-dire :

I.B.1) Donner quelques éléments de . I.B.2) Soit un élément quelconque de . a) Démontrer que est un vecteur propre de .

b) Démontrer : .

c) Déterminer l’ensemble des rotations vectorielles éléments de .

I.B.3) On pose . Démontrer que .

I.C - Automorphismes orthogonaux laissant invariant

On note l’ensemble des automorphismes orthogonaux de qui laissent glo-

balement invariant , c’est-à-dire : .

I.C.1) Démontrer que est un sous-groupe de . I.C.2)

a) Reconnaître, pour tout réel, l’endomorphisme . b) Démontrer : .

c) Démontrer : .

I.C.3) Soit un élément quelconque de .

a) Démontrer que pour tout vecteur élément de tel que : , l’on a : .

b) On note un vecteur quelconque unitaire élément de .

i) Observer que , puis démontrer : .

ii) En faisant intervenir le vecteur , en déduire :

iii) On suppose ; démontrer qu’alors est colinéaire à . Est-ce cohérent ?

iv) En déduire : . I.C.4) Démontrer que .

D_u

K E

D_k K = {ϕ∈O E( ) ϕ(D_k) = D_k} K

ϕ K

k ϕ

ϕ( )k ∈{–k k, }

K⁺ K

K^– = {–r r∈K⁺} K ⁼ K⁺

∪

K^– Q₀

K₀ E

Q₀ K₀ = {ϕ∈O E( ) ϕ(Q₀)=Q₀}

K₀ O E( )

θ R_θoS_i

K⁺⊂K₀ K⊂K₀

ϕ K₀

v Q₀ v = 2

〈v k〉² = 1

u P_k

u+k∈Q₀ 〈ϕ(u+k) k 〉² = 1

u–k 〈ϕ( )u k〉 〈ϕ( )k k〉 = 0 ϕ( )k k

〈 〉 = 0 ϕ( )u k

ϕ(P_k) = P_k K₀ = K

(3)

I.D - Composition et invariance

On pose : .

I.D.1) Démontrer .

I.D.2)

a) Justifier que est une forme quadratique sur et donner sa matrice dans la base .

b) Reconnaître l’endomorphisme de matrice dans la base .

I.D.3) Démontrer que tout élément de commute avec c’est-à-dire véri- fie .

I.D.4) Soit un élément de qui commute avec . Démontrer que est un vecteur propre de .

I.D.5) En déduire .

Partie II - Une généralisation

On note un endomorphisme symétrique de et l’on pose pour tout vecteur

de : . Pour tout réel, on pose ; .

On veut déterminer les endomorphismes tels que toutes les surfaces soient de révolution d’axe c’est-à-dire tels que :

.

II.A - Démontrer que est équivalente à .

II.B - On suppose ici : . Démontrer qu’alors est véri- fiée.

II.C - On suppose maintenant que est vérifiée et l’on veut démontrer : .

II.C.1) Déterminer les endomorphismes symétriques de tels que : .

II.C.2) Démontrer que si et sont des endomorphismes symétriques de , il en est de même de .

II.C.3) Démontrer que pour tout réel l’endomorphisme est symétrique.

II.C.4) Conclure.

II.D - On suppose que commute avec toutes les rotations .

II.D.1) Démontrer que est un vecteur propre de . En déduire : . C = {ϕ∈O E( ) qoϕ=q}

C = K

q E M

i j k, ,

( )

σ M (i j k, , )

ϕ C σ

ϕ σo = σ ϕo

ϕ O E( ) σ k

ϕ

C = {ϕ∈O E( ) σ ϕo =ϕ σo }

U E

X E f X( ) = 〈X U X( )〉 a F_a = {X∈E f X( )=a}

U F_a

D_k

∀a∈IR,∀θ∈IR,R_θ(F_a)=F_a *( )

( )* ∀θ∈IR,f oR_θ=f θ

∀ ∈IR,UoR_θ=R_θoU ( )*

( )* θ

∀ ∈IR,UoR_θ=R_θoU

V E

∀X∈E,〈X V X( )〉=0

V V′ E

V V– ′

θ R_θ^–¹oUoR_θ

U R_θ

k U U P( _k)⊂P_k

(4)

II.D.2) Démontrer que la matrice de dans la base est du type :

II.D.3) En déduire que est vérifiée si et seulement si s’écrit :

. Que vaut alors pour tout élément de ?

II.E - Un résultat plus fort

On suppose dans cette section que est non vide et de révolution d’axe c’est-à-dire que est tel que :

(1) et on désigne par un vecteur quelconque de .

II.E.1) On suppose ; démontrer : .

II.E.2) On suppose . On considère alors un vecteur élément de et pour tout réel , on pose .

a) Démontrer que est une fonction polynômiale de degré que l’on précisera.

En déduire qu’il existe un réel tel que : .

b) Démontrer pour tout réel :

. En déduire que :

.

II.E.3) En déduire quels sont les endomorphismes symétriques satisfaisant aux conditions (1) et reconnaître toutes les surfaces associées.

••• FIN •••

M U (i j k, , ) M

a b 0 b c 0 0 0 λ

 

 

 

=

( )* M

M

µ0 0 0 µ0 0 0 λ

 

 

 

= f x y z( , , ) (x y z, , ) E

F₁ D_k

U F₁≠∅ θ

∀ ∈IR R, _θ( )F₁ =F₁





X E

f X( )>0 ∀θ∈IR f, oR_θ( )X =f X( )

f X( )≤0 X₁ F₁

t g t( ) = f X( +t X₁)

g 2

t₀

∀t∈[t₀;+∞[, g t( )>0 θ

∀t∈[t₀;+∞[, f X( +t X₁) = f oR_θ(X+t X₁) θ

∀ ∈IR f X, ( )=f oR_θ( )X

U F₁