Td corrigé Corrigé de la série 2 - Exercices corriges pdf

I.P.E.I.N Filière SP

Corrigé de la série de TD n°2 ELECTROSTATIQUE Exercice n°1

1°-a) Négliger les effets de bords revient à supposer les plaques infinies et le système est donc invariant par translation suivant x et y.

Le potentiel s’écrit V(z)et l’équation de Laplace donne

0

V  ₂

0

2





 z

V

 k

z V 



  V kzk' à

0

z , V 0  k'0 et V(d)V₀ kd 

d k  V

⁰ et

z d z V V ( ) 

⁰ 1°-b)

e_z

z E V 





 

e

_z

d E



  V

₀ 

1°-c) Sur la plaque supérieur (zd) z

à

z

e

d e

E



V

 



 







⁰ Soit

d V

₀



0

 

Sur la plaque inférieure (z0) le même

raisonnement donne z

à

z

e

d e

E



V

 



 





⁰ _et

d V

₀



0

  

1°-d) La charge ^Qsur la plaque est

A

d A V

Q    

^{0 0} et la capacité s’écrit

d C _ 

⁰

A

1°-e) Application numérique : C₀ 0,44nF ; Q₀ 176nC

Calcul de la force qui s’exerce sur les armatures :

1 ^ere méthode : L’énergie électrique du condensateur s’écrit

d z

z V CV A

U





 

 



₀^{2 0} ₀²

2

1 2

1 

L’action électrostatique s »écrit

d z

z

V

z A z

F U





 



 

 

⁰_{2 0}²

2

1 

 ⁰_{2 0}²

2

1 V

d F

_z

 A





1 méthode^ere :La pression électrostatique P sur l’une des plaques s’écrit

0 2

2







P soit

2 2 0 0

2 ) (

d P _  V

et avec

A F dS

P dF  

A

d F V

₂

2 0 0

2 ) ( 



cette force est dirigé suivant e_z soit

A e

_z

d

F V 

2 2 0 0

2 ) ( 





Application numérique : F=-1,2 N

2°) Après un déplacement z<<d de l’armature supérieure la capacité s’écrit

z d C A

  

⁰



) 1 (

0

d d z C A



 



) 1 (

0

d z C C





 ₀(1 )

d C z C 

La d.d.p. entre les armatures s’écrit :

( ) ( 1 )

0 0

d z C

q Q C

V  Q   



( 1 )( 1 )

0 0

0

d z Q

q C

V  Q  

(1 )(1 )

0

0 d

z Q

V q

V    et en développant à l’ordre 1 on trouve (1 )

0

0 d

z Q V q

V   

On peut exprimer la force à partir de l’énergie électrostatique ( ) 2

1

0 2

z A d

U  Q 



à charge étant constante

z F_z U







z

x

y

E 

z

A F_z Q

0 2

2





  ²

0 0

2

0

( 1 )

2 Q

q A F

_z

  Q 





( 1 2 )

2

_{0 0}

2 0

Q q A

F

_z

  Q 



3°-a) Pour écarter les plaques l’opérateur doit fournir une énergie au moins égale à la variation de l’énergie électrostatique associé à l’écartement des armatures soit

) 1 2 (

) 1 2 (

1 ) ( 1

2

_{0 0}

2 0 0

0 2 0 0

2

0

    



 d

d C Q C

C C Q C

C

U Q



( 1 )

2

₀

2 0

0





 d

d V

U C

Application numérique : ^{U 1j}

3°-b) A potentiel constant

( 1 )

) 2 1 2 (

) 2 (

2 )

(

⁰

2 0 0 0

2 0 0 0 2

0 2

0

     





 d

d V C C

V C C C

V C U CV

Application numérique : ^{U 1j} Exercice n°2 : condensateur cylindrique

1°) Le système est invariant par rotation d’angle  et par translation selon z ,le champ et de la forme E E()



Les plans ( e,e) et (e_,ez) sont de symétrie paire ainsi les composantes E_z et E sont nulles et il reste que E E  e

)

 (

2°) L’équation de Laplace V 0 s’écrit en coordonné s cylindrique 1 ( )0









 





V .Par intégration on trouve

V k





 

   k V 





et

V (  )  k ln   k

₁

avec

^V(b)0

et

V(a)V0 soit

0klnbk₁ 

k b

V(



) ln



et

b k a

V₀  ln

on aboutit à

b a V b V

ln ln

0





3°)

Le champ électrique est relié au potentiel V par  ^e

gradV V

E 









 soit



^

e a b E



V



ln



0

4°) Pour =a ,



^{ }

 e

a a b e V a

E   

ln )

(

⁰

0





ce qui donne

a a b

V

a

ln

0



0

 

Pour =b ,



^{ }

 e

a b b e V b

E   

ln )

(

⁰

0







ce qui donne

a b b

V

b

ln

0



0

  

5°)

La charge Q du condensateur s’écrit

^Qa2^az



z a b Q V

ln

0

2

0



 

et la capacité C(z)s’écrit

z

a V b

z Q C

ln ) 2

(

⁰

0

 



Application numérique : C(z)=20z nF

6°) Partant de l’expression du champ électrique on exprime l’énergie du condensateur par U  E d

ur condensate

2

2 0



1





 

 



^{z b}

a

dz d a

b U V

0 2 2 2 0

0

1 2

2 ln

1  

 



z  

^ba

a b

U  V ln  ln

2 2 0 0

 

 





z

a b U V

ln

2 0



0



Sachant que pour un condensateur ₀² 2 1CV

U  il vient que

z

a C b

ln 2 

₀



7°-a) A potentiel constant l’action électrique sur l’armature interne s’écrit _e e_z dz

F  dU   ^e e^z

a b F V 

ln

2



0

 A l’équilibre mécanique on a F_eP0

avec P mge_z le poids de l’armature interne. On a alors

0 ln

2

0 0

 mg 

a b

 V



a b V mg ln

0

0 ^ 

L’énergie potentielle totale UT s’écrit z a b mgz V

U_T

ln

2



0



  ₂

0

2

dz  U

d

_T l’équilibre est indifférent

8°) A charge constante _e e_z dz

F dU  

z

e

e

dz d C

F  Q ( 1 )  2

2



0





z

e

e

z b a

F  Q 

2 0 2

0

1

2 ) ln(

2 



A l’équilibre mécanique on a F_ePF_op ⁰



z

op

e

z b a mg Q

F  

2 0 0 2

0

1

4 ) ln(

 



Exercice n°3 : Conducteurs et condensateurs sphériques (concours 2005)

1°-a) On appelle conducteur en équilibre électrostatique un milieu comportant des charges mobiles qui ne sont pas animées d’un mouvement d’ensemble. La densité volumique de courant est nulle (j=0)

1°-b) A l’intérieur du conducteur le champ électrique est nul E_i 0

, le potentiel V est constant et la densité de charge volumique est nulle =0 , sur la sphère la densité superficielle de charge est ₂

0 0

4 R

Q

  

, au voisinage immédiat de la sphère

r

ext e

E 



0





2°) Vu les symétries de la répartition des charge sur la sphère le cham électrique s’écrit E E r e_r )

 ( L’équation de Maxwell-Gauss pour r>R0 s’écrit divE 0 soit

1 (

²

) 0

2



dr E r d

r

ou encore ( ² ) 0

dr E r

d _il

vient que

e_r r E A 

 2 où A est une constante

3°) Au voisinage immédiat de la sphère ext r

e

r

R e A

E

  

2 0 0



 



soit

0 2 0





A  R

et en replaçant  par sa valeur on trouve

0 0

4

A  Q

4°) Pour r<R0 on E0 et

0 0 0 0

1

4 R

V Q

V ^{ } 

Pour r>R0 Le champ électrostatique s’écrit ₂

0

0

1

4 r

E Q

 

et le potentiel

r

V Q 1

4

₀

0

 

5°-a) Les surfaces de rayons R0 et R1 sont correspondantes ainsi la sphère de rayon R1 porte la charge Q0 , Q1 Q0 Le potentiel de la sphère creuse (reliée au sol) s’écrit

1 0

4

_{0 2}

2

2

 

R V Q



 Q₂ 0

5°-b) L’ensemble des deux sphères forment un condensateur d’armature interne de rayon R0 et d’armature externe de rayon R1

5°-c) La capacité est définie par

1 0

0

V V C Q

 

. Le champ entre les deux armatures est

e

r

r E



Q



2 0

0

1

4 



et la différence

de potentiel V0 V1 s’écrit

V V E e dr

R

R

 ^

r





¹

0

1

0

 



1 1 )

4

₀

(

_{0 1}

0 1

0

R R

V Q

V   



^

0 1

1 0

4

0

R R

R C R

  

6°)

C E

_p

Q

2 0

2

 1

^

1 1 )

8

0

(

_{0 1}

2 0

R R E

_p

 Q 



et

^ 

armaturesles entre

E d W  

2

2 0

0 

 ^ 

¹

0 0

2 0 2 0

1 8

R

R

r dr W Q



1 1 ) 8

₀

(

_{0 1}

2

0 ⁰

R R

W  Q 





^{W0 Ep}

7°-a) Après coupure de la liaison avec le sol le condensateur conserve sa répartition de charge avec 0

,

, _{1 0 2}

0

0  _R  _R 

R Q Q Q Q

Q soit une charge totaleQ_T 0.

En reliant les deux sphères concentriques, l’ensemble forme un conducteur unique avec un cavité .La charge dans la cavité doit être

nulle et charge totale passe sur la sphère R2 mais Q_T 0 il vient Q_R0 Q_R1 Q_R2 0 7°-b) Le champ en tout point de l’espace est nul W₁ 0

7°-c) W0 W_Joule W1

7°-d) La durée séparant les deux états d’équilibre dépend est de l’ordre de



RC où R est la résistance de R Exercice n° 4 : Condensateur diédrique

1°) Les deux armatures sont des plans équipotentiels l’une à V=0 et l’autre à V=V0 et on passe de l’une à V=0 à l’autre (V=V0 ) par une rotation d’angle 0 . Ainsi tout plan qui se déduit de l’armature V=V0 par une rotation d’angle  forme une surface équipotentielle.

2°)En coordonné cylindrique le condensateur présente un symétrie de translation suivant z (Oz est l’axe du dièdre) ainsi le potentiel V ne dépend pas de z .

Vu la forme des équipotentielles, pour  donné le potentiel est constant quelque soit  , ceci montre que le potentiel V ne dépend pas de 

Il vient que V(M)=V()

Dans l’espace entre les plaques on a V 0  1 0

2 2

2 









V  V k

 





 V k



k₁

Avec V(=0)=0 k1=0 et avec V(=0)=V0 on obtient

 



0

)

0

( V

V 

et le champ électrique s’écrit :

 

 ^e

V V grad

E 



 



 1

  ^e



E V



0

1

0





Par application du théorème de Coulomb on écrit l’expression du cham électrique au voisinage de chaque armature on trouve

^ _{ }







 V e

e

 

0 0 0

) 0

( ^

  1



0 0 0 )

0 (

1







_

   V

^{ } _{ }







 V e

e

 

0 0 0

)

( ^ 0

 1



0 0 0 )

(

1

0







_ 



^V

₀

V=0

+

V₀

équipotentiel

3°) La charge du condensateur est :

^ 

²

1 0

0

1

0 R

R

V hd

Q 







soit

1 2 0

0

0

ln

R h R Q V



 

et la capacité est donné par

V

C Q soit

1 2 0

0

ln R h R C 

 

4°) L’énergie dans le condensateur s’écrit

U  E d 

es lesarmaturentre espace

2

2

0

 1



soit

V d d dz

U

e lesarmaturentre espace





 



 



₂

0 2 0 2 0

2









^{R h}

R

dz d d

U V

0 0 2

1 2 0 2 0 0

0

2



 









1 2 0

2 0

0

ln

2 R

h R U V



 

comme ₀²

2 1CV

U  il vient que

1 2 0

0

ln R h R C 

 

Exercice n° 6 : Sphère métallique placée dans un champ initialement uniforme Première méthode

I-1°) Par influence avec le champE₀

, il apparaît en tout point M sur la sphère une distribution de charge surfacique (,) où  et  sont les coordonnées sphériques du point M . Le champ E₀

est invariant par rotation d’axe (Oz). La distribution

(,) est donc indépendant de, On peut donc prendre (). D’autre part le plan z = 0 est un plan d’antisymétrie (champ perpendiculaire en tout point) ; on doit donc avoir (-z)=-(z), soit en coordonnées sphériques,  (π−θ) = − (θ). On a cos(π−θ) = −cosθ ; on peut donc prendre  (θ)= 0cosθ.

I-2°-a)

Tout se passe comme si les parties non communes des deux sphères sont les seules chargées avec des densités volumique respectives

Pour a<R l’ élément de volume de cette couche s’écritd



HH'dS acos



dS . La charge de cet élément de volume s’écrit ^dq^acos^dS ^dS

₀ ^a

I-2°-b) Le champ crée par une sphère chargée par la densité volumique  est E OM

0 int 3







 ₀ ³

3

3 OM

OM E_ext R



 



Pour le système de deux sphères on utilise le principe de superposition. On trouve pour un oint M intérieur au deux sphères

( )

3 ₀ ^{1 2}

int OM O M

E  





  1 2

0

int 3 OO

E







  a ez

E 

0

int 3







 _

) sin 3 ₀(cos

int   



a e e

E  _r  



















 ¹ ₃ ² ₃

0 3

3 OM

M O OM

M O E_ext R







I-3°) Pour un point M extérieur aux deux sphères et avec a<<R on peut assimiler la distribution à un dipôle de moment

z

z R ae

e Qa

p 



³



 3

 4

 Le champ dipolaire s’écrit

( 2 cos sin )

4

₀ ³

 

^

 e e

r

E

_ext

 p

_r



 ce qui donne

(2cos sin ) 3 ₀ ³

3





 



e e

r

E_ext aR _r 





I-4°a) Le champ total s’écrit E_T EE₀ avec E₀ E₀e_z E₀(cose_r sine_)

 



 



a e E a _e

E

E_T _r 

sin 3 ) ( cos

3 ) (

0 0 0

0

int     et







 





e

r E aR r e

E aR

E_ext _r 

sin 3 )

( cos

3 ) 2

( ₃

0 3 3 0

0 3

0   



I-4°a)La condition de l’équilibre électrostatique impose que le champ intérieur soit nul .Ce qui donne

0

0 3

a E  Dans ces conditions le champ au voisinage immédiat de la sphère s’écrit ext a er

E

E









)cos 23

(

0 0 

 _{ou encore}

ext r R a er er

E  

0 0

cos



 





_

 



^{ acos}

O₁ O₂

II- Deuxième méthode

II-1°) Le champ et le potentiel électrostatiques d’un dipôle p  pe_z placé dans un champ uniforme E E e_z

0

0  en tout

point M extérieur à la sphère s’écrivent d’après ce qui précède

ext

e

r

e E e

z

r

E



p

  

3 0 0

) sin cos

2

4 (  

  

_



) sin )

( 4 cos

4 )

( 2

_{3 0}

0 3 0

0





 

 E e

r e p

r E

E

_ext

p

_r 









( )

4 cos

2 0 0

0

E z

r V p

V

V

_T

    





ou encore



 ) cos

( 4

_{2 0}

0

r r E V

_T

 p 

Compte tenu des conditions aux limites imposées pour la sphère conductrice V(r=R)=0 on trouve p4



₀E₀R³ et en injectant p dans l’expression du champ extérieur on trouve pour r+R

E 

_Text

E e 

_r

 cos 3

₀



avec

0

0 3





a E  _soit

^{ acos}

III-Troisième méthode

Pour r > R, on a ρ = 0 dans la région vide de charges. Pour r < R, on a ρ = 0 à l’intérieur de la sphère. Le potentiel électrostatique vérifie donc en tout point de l’espace l’équation de Laplace : V = 0.

III-1°) Le problème est invariant par rotation d’axe (Oz). Le potentiel est donc indépendant de ϕ, et on a ϕ = cte. On peut donc prendre w(ϕ) = 1.

III-2°) Le plan z = 0 est un plan d’antisymétrie (champ perpendiculaire en tout point) ; on doit donc avoir V(-z)=-V(z), soit en coordonnées sphériques,

V(π−θ) = −V(θ). On a cos(π−θ) = −cosθ ; on peut donc prendre v(θ)= cosθ.

III-3°) On a donc V(r,θ,ϕ) = u(r)cosθ. L’équation de Laplace s’écrit (sin )

sin 1 1

2 2

2

 











 



 











 

 V

r r r V r r

V

0 cos ) sin (sin

cos

2 2

2 







 



 











 





 







r u r

r u r

V r cos 2 2 0

2 2 2

2 



 



 



 



 u

r r u r r u r



soit

₂

2 2 0

2

2

  u 

dr r du dr

u r d

C’est une équation différentielle linéaire homogène dont on cherche des solutions de la formeu(r)rⁿ, ce qui donne 0

2 2 ) 1

(n  n 

n (n1)(n2)0, d’où n = 1 et n = −2. La fonction u(r) est donc de la forme

)

2

( r

Ar B r

u  

Le potentiel s’écrit finalement

( ,  ) (

₂

) cos  r

Ar B r

V  

et E gradV d’où





 e

r A B r e

A B

E



2 ) cos

_r

( ) sin



( 

₃

 

₃





Pour r →∞, loin de la sphère, on doit retrouver le champ uniforme E₀ E₀e_z E₀(cose_r sine_)

On a

E A  e

_r

A  e



r



 

sin cos

lim   



 , d’où par identification on trouve AE0

Sur la surface de la sphère, pour r = R, on a V = 0 (la sphère est au potentiel nul), d’où



₂

 0 R

AR B

, soit

B   AR

^{3; on a}

donc BE₀R³ Le potentiel s’écrit donc

( ,  ) (

₂

) cos 

3

0

r

r R E r

V   

; Le champ s’écrit





 



    



 

_



e

r e R

r E R

r

E _r 

sin ) 1 ( cos

2 ) 1 ( )

,

( ₃

3 3

3 0

Sur la sphère r=R E r R E



e_r



e_r

0 0 3cos

) ,

(



 



 

 _soit  3₀E₀cos acos

Exercice n°9 : Ecran électrostatique

1°) Q1 C11V1C12V2 C13V3

Q2 C21V1C22V2C23V3

Q3 C31V1C32V2 C33V3

2°)On reliant (1) et (2) au sol on obtient

Q1 C13V3 , Q2 C23V3 , Q3 C33V3

Dans cet état (1) et (2) forment un conducteur unique par suite

2 0

Q (propriété des cavités) soit C23 ⁰

3°) (1) est relié au sol, il vient avec C₂₃ 0 Q1 C12V2 C13V3 , Q₂ C₂₂V₂et Q3 C33V3 ce résultat montre que la charge de (2) ne dépend que du potentiel V2 de même la charge de (3) ne dépend que du potentiel V2 .On dit que l’espace intérieur est électriquement indépendant de l’espace extérieur.

Exercice n°10 : Energie électrostatique

(1)

(3) (2)